关于含逆断面正则半群的平移壳

郭晓永，刘新泽

（临沧师范高等专科学校a.应用数学研究所；b.数理系，云南临沧677000）

关于含逆断面正则半群的平移壳

郭晓永a，刘新泽b

（临沧师范高等专科学校a.应用数学研究所；b.数理系，云南临沧677000）

研究了含有逆断面的正则半群S的平移壳 Ω(S )及若干特征，并得出了Ω (S)的一些相关的性质。

正则半群；逆断面；平移壳

自Blyth等［1］引入逆断面的概念以来，关于半群的各种断面（如逆断面、恰当断面、纯正断面）已成为半群代数研究方面的重要内容［2–20］。由于半群的一个断面是该半群的一个子半群，因此，研究的思路就是通过半群的某一性质比较好的子半群把握整个半群，由此达到由局部把握整体的目的。后来，陈建飞和朱光辉［15］研究了含逆断面的正则半群的平移壳。在此基础上，笔者进一步研究了含逆断面的正则半群的平移壳的若干特征，并得出了一些相关的性质。

1 预备知识

如果 S0SS0⊆S0，则称S0为S的拟理想。

如果对于任意的x、 y∊ S，有 x0xyy0∊E( S0)，则称S0是可乘积的，其中E（S0）为S0的所有幂等元组成的集合。

如果对于任意的x、 y∊ S，半群S上的映射 λ满足λ( xy) = (λx) y，则称 λ是半群S上的左平移；若半群S上的映射 ρ 满足 (xy) ρ = x( yρ)，则称 ρ是半群S上的右平移。

如果S中任意的x、y和 λ、ρ 满足 x(λ y ) =(xρ) y，则称 (λ, ρ)为半群S的一个联系对。

记半群S上所有的联系对构成的集合为 Ω(S)。

设(λ,ρ) ∊ Ω(S )，定义 λ0和 ρ0如下，即对任意的x∊S，有

为了得到本文结论，我们先给出以下引理。

引理1［13］：设S0是半群S的逆断面，若S0是S的拟理想，则对任意的x0∊S0，x∊S，有：1） x0yy0=x0y00y ，0y0yx0= y0y00x0；2）(x0y)0= y0x00，( y x0)0=x00y0。

引理2［14］：设S是正则半群， Ω(S)是S的平移壳，若S是弱可消的，则 Ω(S )是可置换的，即对任意(λ,ρ)∊Ω(S)，(λ1,ρ1)∊ Ω(S)及任意x∊S，有 (λs)ρ1=λ( sρ1)。

2 主要结论

若 Ω(S)是半群S的平移壳，则平移壳 Ω(S)有如下性质。

定理1：对任意的 (λ,ρ) ∊ Ω(S)，有如下结论：

证明：1）设 e∊ E( S0)，由 λ(eρ )0·λ ( eρ)0= λ( e · eρ )0·λ( e · eρ )0= λ(eρ)0eρ( eρ )0=λ(e ρ)0，可得(λ(e ρ)0)00= λ(eρ )0∊ E( S0)。又由于(λ0λλ0)e= λ0λ(e ρ )0e=((λ( e ρ )0)00(λ(e ρ )0)0ρ)0·λ(e ρ0) e =((λ(e ρ )0)0ρ)0·λ(e ρ0) e = ((λ( e ρ )0)0ρ)0·(λ(e ρ0))0e=((λ(e ρ )0)0ρ)0·e= ( e(λ( e ρ )0)0ρ)0·e= ((λ( e ρ)0)0· eρ)0· e= ( eρ )0·(e ρ )00(eρ)0· e= ( eρ)0· e=λ0e ，因而，有λ(eρ )0∊ IS0∩E( S0)⊆I 。对任意的x∊S，有(λ0λλ0)x= (λ0λλ0)(xx0)· x = (λ0λλ) (x00x0)· x = λ0(x00x0) x =λ0x ，因此，有 λ0λλ0= λ0。同理可证 ρ0ρρ0=ρ。0

2）设 x ∊ Ω(S)，则有x (ρ ρ0ρ)0=x (λ λ0λ(x0x00))0=x(λ( x0x00))0=x ρ0，因此，有 (ρ ρ0ρ)0=ρ0。同理可证(λ λ0λ)0=λ0。

定理2：设( λ,ρ)∊ Ω(S )，( λ, ρ1) ∊Ω(S )，则对任意e∊ E( S0)，有 (eρ )0=(eρ1)0。

定理4：设 (λ,ρ) ∊ Ω(S)，且x∊S，则有如下结论成立：

证明：1）取x∊S，记 i = λx(λ x)0，则有 λx = iλ x ，且i∊I，于是有 (λ λ0λ) x =(λλ0i)λ x =λ( i0ρ)0λx ，因而，有λx(λ x)0(λ λ0λ) x = i·(λ ( i0ρ)0)· λx = i·( i0λ( i0ρ)0)·i·λ x = i·( i0ρ( i0ρ)0)·i0ρ ·x= i· i0ρ·x= iλ x =λx 。同理可证xρ = x (ρ ρ0ρ) ·(xρ)0( x ρ)。

2）由结论1）可知 i0λ x = i0i( λλ0λx )= i0(λλ0λ)x ，因而有(λx )0=( i0λ x)0=( i0λλ0λx )0= (λ λ0λx)0i0= (λ λ0λx )0。同理可证 (x (ρ ρ0ρ) )0=(xρ)0。

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【责任编辑 王云鹏】

On Translational Hulls of Regular Sem igroups w ith Inverse Transversals

GUO Xiaoyonga，LIU Xinzeb
（a.Institute of Applied Mathematics；b.Department ofMathematics and Science, Lincang Teachers'College,Lincang 677000,China）

This paper introduced the translational hull Ω(S)of a regular semigroup S with inverse transversals.Some characters and properties of Ω(S)were characterized.

regular semigroups；inverse transversals；translational hulls

O152.7

A

2095-7726（2015）06-0001-03

2015-02-28

云南省教育厅科学研究基金资助项目（2012Y273，2012Z150C，2013Y102）

郭晓永（1975-），男，河南南阳人，教授，博士，研究方向：半群代数理论和控制理论。