篦齿对悬臂薄壁圆柱壳模态特性的影响研究

王 宇，韩清鹏，李 昌，陈 东

（辽宁科技大学 机械工程学院，辽宁 鞍山 114051）

篦齿对悬臂薄壁圆柱壳模态特性的影响研究

王 宇，韩清鹏，李 昌，陈 东

（辽宁科技大学 机械工程学院，辽宁 鞍山 114051）

采用传递矩阵方法研究外壁带有周向篦齿(即密封齿)薄壁圆柱壳的模态振动特性。在悬臂边界条件下，首先基于Love壳体理论建立带篦齿薄壁圆柱壳的动力学方程，通过传递矩阵法和高精度的精细积分法对其模态特性进行分析，求得各阶模态对应的固有频率和三维模态振型，并通过有限元法对分析结果进行比较，最后讨论篦齿布置形式、篦齿高度和篦齿道数对悬臂薄壁圆柱壳振动特性的影响。结果表明，传递矩阵法适合于求解带篦齿悬臂薄壁圆柱壳的模态振动特性，篦齿结构的布置形式、高度和道数均对薄壁圆柱壳构件的振动特性有较大影响。

振动与波；悬臂薄壁圆柱壳；篦齿影响；固有频率；三维模态振型

在航空发动机和汽轮机等机械的密封装置中，广泛应用着一种几何尺寸较小的非接触式篦齿封严结构，例如带篦齿结构的圆柱壳构件，许多因为振动引起的疲劳问题和故障是由共振引起的，直接影响到设备的工作效率和可靠性[1]，对带篦齿悬臂薄壁圆柱壳进行振动特性分析受到了广泛的重视，可为结构的响应特征研究和故障诊断提供理论参考，深入研究带篦齿薄壁圆柱壳构件的动力学特性具有重要的工程意义。

关于带篦齿悬臂薄壁圆柱壳振动特性的研究，人们还没有完全掌握，关于篦齿封严结构的设计主要来自于实验研究和经验，理论分析和可供参考的文献较少，很多情况下对带篦齿圆柱壳结构进行了简化处理，相关文献可参考加肋圆柱壳的分析结果，研究成果如下：Denecke J[2]等研究的篦齿封严振动特性集中在盘式篦齿影响因素分析方面，包括具有相邻两道篦齿之间的轴向距离不相等和篦齿道数少的结构特征。Lee Y S和Kim YW[3]利用瑞利—里兹方法研究了不同边界条件下带加强肋圆柱壳的频率特性。Stanley A J和Ganesan N[4]采用半解析的有限元方法，分析了两端固支边界条件时带肋薄壁圆柱壳的固有特性。李罡和何俊勇[5]研究了阻尼套筒对篦齿封严结构的减振特性，采用时频转换的方法对篦齿封严结构的响应进行了分析。曾亮和李琳[6]采用动柔度法分析了阻尼套筒尺寸等参数对篦齿封严装置动力学特性的影响。王洪玉[7]等利用数值方法对鼓筒篦齿封严流场进行了仿真研究。刘伦[8]针对加肋圆柱壳，使用Gram-Schmidt正交化方法和瑞利-里兹法得到了圆柱壳的频率方程，分析了肋条参数对柱壳自由振动特性的影响。陈美霞[9]等对结构振动特性的中、高频段采用统计能量法，推导出振动能量的传递函数，得到了加肋圆柱壳表面的均方速度级。

针对带有周向篦齿薄壁圆柱壳模态特性分析的需要，在悬臂边界条件下，基于Love壳体理论，通过传递矩阵法和高精度的精细积分法求解得到了整体结构的固有频率和三维模态振型，并通过与有限元法的比较，讨论了篦齿位置、篦齿高度和篦齿道数对薄壁圆柱壳振动特性的影响规律。

1 带篦齿薄壁圆柱壳的模态特性分析

在柱坐标系Oxθz中，带有篦齿结构薄壁圆柱壳的模型和截面图如图1所示。

图1 柱坐标系中带有篦齿的悬臂薄壁圆柱壳模型

在图1中，薄壁圆柱壳的长度、中面半径和壁厚分别用L、R和H表示，坐标原点O为薄壁圆柱壳约束端面上的圆心，纵向x轴与轴线重合，径向z轴在端面径向上，切向θ为端面上偏离z轴初始位置的偏转角，u(x,θ,t)，v(x,θ,t)和w(x,θ,t)表示中面上任意一点在轴向x、切向θ和径向z的振动位移；篦齿断面为矩形，沿着轴向垂直布置2个篦齿，篦齿截面的高度为Hr、宽度为Lr，篦齿以间距Br等距离分布。

将带有篦齿薄壁圆柱壳沿着篦齿位置处分成厚度相等的多个区段，基于Love壳体理论[10]，每一区段圆柱壳的自由振动微分方程为

式中，Nx、Nθ和Nxθ表示薄膜力和薄膜剪力，Mx、Mθ和Mxθ表示弯矩和扭矩，Qx和Qθ表示横向剪力，ρ为密度。

内力与内力矩和中面位移间的关系为

式中，K为薄膜刚度，D为弯曲刚度，μ为泊松比，E为杨氏模量。

面内剪力、横向剪力、转角θx和θθ分别为

令m表示轴向半波数，n表示周向波数，定义x、θ和z三个方向上的位移解为

式中ωmn表示固有频率。

对于每一区段的圆柱壳，可以沿轴向分为N0个子段，共N0+1个截面，在任一截面ξi上，定义8个具有明确物理意义的状态向量为

则位移、转角、内力和内力矩表示为

将式(2)和式(6)带入式(1)和式(3)，消除其它变量后得到1阶常微分方程组为

对于每一区段的左右两个相邻端面，从一个端面到另一个端面的整体传递矩阵为

其中，每相邻两个截面的传递矩阵关系为

采用精细积分法[11]进行精确求解时，可将具有同一厚度的光滑圆柱壳，沿着轴向x方向分成长度为L1,L2,…,Lk-1,Lk的k个子段，子传递矩阵关系表示为

令式(11)的系数行列式等于零，可求得各阶的固有频率值，对于某1阶模态(m,n)，令由式(11)可得

2 算例分析

在悬臂边界条件下，利用传递矩阵法和精细积分法求解带有篦齿薄壁圆柱壳在不同模态阶次时的振动特性。如图1所示，取带两个沿轴向均布篦齿的薄壁圆柱壳，篦齿道数为两个，沿着轴向均匀分布，篦齿宽度Lr=0.004 m，篦齿高度Hr=0.002 m，篦齿间距Br=0.057 m，其材料参数和薄壁圆柱壳的材料参数相同，其中圆柱壳的材料和几何参数如表1所示；同时采用有限元程序ANSYS中的模态分析功能对结果进行比较，单元类型选择20节点的高阶三维实体单元Solid 186，利用从相邻面扫过体的方法填充生成网格，使用Block Lanczos法进行模态求解。

表1 薄壁圆柱壳的材料参数和尺寸参数

2.1 带篦齿薄壁圆柱壳的固有频率

带篦齿圆柱壳的固有频率变化曲线如图2所示，当轴向半波数m=1时，在低阶模态处由传递矩阵法和有限元法得到的固有频率的关系曲线基本重合，变化趋势一致，随着周向波数的增加，由传递矩阵法得到的固有频率值比有限元法得到的固有频率值增加幅度相同；当轴向半波数m=2时，对于中间的几阶模态，由传递矩阵法得到的固有频率略大于有限元法得到的固有频率值，但是随着周向波数的增加而逐渐趋于一致；带篦齿时通过两种方法求得的最低阶固有频率出现在第(1,5)阶，无篦齿时的最低阶固有频率出现在第(1,6)阶。由于下端是固定的，对于圆柱壳有较强的约束，而对于上部约束影响较小，同时篦齿对圆柱壳也起到了约束作用，所以篦齿增加了结构的整体刚度，导致固有频率值出现增加的现象。

2.2 带篦齿薄壁圆柱壳的模态振型

对带有两个轴向均布篦齿薄壁圆柱壳的模态振型，如表2所示，取固有频率最低的3阶模态，即当轴向半波数和周向波数分别为(1,4)、(1,5)和(1,6)时，通过两种方法求得的带篦齿薄壁圆柱壳的三维模态振型一致，在悬臂端表现为周向波数分别为4、5和6的花瓣形状，并且在悬臂端的振动位移最大。

图2 带篦齿薄壁圆柱壳的固有频率比较

表2 带篦齿悬臂薄壁圆柱壳的模态振型

3 篦齿对薄壁圆柱壳振动特性的影响

悬臂圆柱壳构件在工程实践中比较常见，下面对篦齿结构对光滑薄壁圆柱壳模态特性的影响进行研究。当单道篦齿分别位于薄壁圆柱壳的上侧、中部和下侧，篦齿中心距上端的距离分别为0.017 m、0.047 5 m和0.078 m，篦齿高度分别为0.003 m、0.004 m和0.005 m，篦齿宽度均为0.004 m，其它参数不变，对其模态特性进行分析。

取单道篦齿位于薄壁圆柱壳的上侧，但篦齿高度不同时，如图3所示，篦齿高度对薄壁圆柱壳固有特性的影响较大，当周向波数n=1～4时，带篦齿薄壁圆柱壳和光滑薄壁圆柱壳的固有频率非常接近，随着周向波数的增加，带篦齿薄壁圆柱壳的固有频率值均大于光滑薄壁圆柱壳的固有频率值；随着篦齿高度的增加，固有频率随之增大，但随着周向波数的进一步增大固有频率值逐渐趋于一致。这是由于篦齿高度的增加提高了结构的整体刚度，导致了固有频率的增加。

图3 篦齿高度对悬臂薄壁圆柱壳的影响

取篦齿的高度Hr为0.003 m，但单道篦齿分别位于薄壁圆柱壳的上侧、中部和下侧时，结果如图4所示，篦齿位置对圆柱壳固有频率的影响是显著的，当篦齿位于薄壁圆柱壳上侧时对固有频率的影响最大，当篦齿位于薄壁圆柱壳的下侧时对固有频率的影响最小。这是由于下侧篦齿对于结构整体刚度的影响不大，而上侧篦齿能显著增加结构的整体刚度，所以导致固有频率显著增加。

图4 篦齿位置对悬臂薄壁圆柱壳的影响

当在薄壁圆柱壳构件上带有几道篦齿但布置形式不同时，即分析下侧带有2道篦齿而上侧无篦齿、下侧带有2道篦齿而上侧1道篦齿、下侧带有2道篦齿且上侧2道篦齿三种情况，具有不同篦齿道数时的结构简图如图5所示，分析结果如图6所示。

图5 带不同道数篦齿时薄壁圆柱壳的断面图/mm

由图6可知，在悬臂边界条件下，篦齿道数对薄壁圆柱壳的影响不同，当周向波数n≤4时，带篦齿薄壁圆柱壳的固有频率对光滑薄壁圆柱壳的固有频率影响很小，但是随着周向波数的增加，带篦齿薄壁圆柱壳的固有频率要大于光滑薄壁圆柱壳的频率值；当下侧带有两道篦齿且上侧无篦齿时对薄壁圆柱壳固有频率的影响最小，当下侧带有两道篦齿且上侧也带有两道篦齿时对薄壁圆柱壳的固有频率影响最大。由于下侧篦齿对于结构整体刚度的影响不大，表现在图5和图6上，下侧有篦齿时的固有频率与无篦齿时的两条曲线基本重合，而上侧的篦齿能显著增加结构整体刚度，所以导致固有频率显著增加，而且上侧篦齿的道数越多，固有频率增加越显著。

图6 带不同道数篦齿时薄壁圆柱壳的固有频率

4 结语

在悬臂边界条件下，采用传递矩阵法和精细积分法分析了带有篦齿薄壁圆柱壳的模态特性，并与有限元法进行比较。对于带有周向篦齿结构的薄壁圆柱壳，当周向波数较低时的固有频率值和无篦齿时的固有频率值保持一致，随着周向波数的增加，带篦齿薄壁圆柱壳的固有频率值大于无篦齿的圆柱壳固有频率值，带篦齿时通过两种方法求得的最低阶固有频率出现在第(1，5)阶，而无篦齿时圆柱壳的最低阶固有频率出现在第(1，6)阶；同时，通过两种方法得到的三维模态振型均表现为花瓣形状，在自由端的振动幅度最大。由于固定端约束和篦齿结构对整体刚度的作用，篦齿高度、篦齿布置位置和篦齿道数均对薄壁圆柱壳的振动特性有较大影响，所得结果为带篦齿薄壁圆柱壳构件的响应特征和故障研究提供了参考。

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Influence of Sealing Teeth on the Modal Characteristics of a Cantilever Thin Cylindrical Shell

WANG Yu,HAN Qing-peng,LIChang,CHEN Dong
(School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051,Liaoning China)

The transfer matrix method was presented to study the modal vibration characteristics of a cantilever thin cylindrical shell with a circumferential tooth structure on its outer wall(i.e.sealing teeth).Firstly,the dynamic model of the thin cylindrical shell under cantilever constraint condition with sealing teeth was established based on Love’s shell theory. Then,the transfer matrix method and high-precision integration method were introduced to solve the modal characteristics of the cylindrical shell.The natural frequencies and three-dimensional modal shapes of the cylindrical shell were obtained. Results were compared with those of finite element method.Finally,the effects of different sealing teeth’s layouts,heights and numbers on the shell were studied.The results show that the transfer matrix method is suitable for solving the modal vibration characteristics of the cantilever thin cylindrical shell with sealing teeth,and sealing teeth’s positions,heights and numbers have great influences on the vibration characteristics of the shell.

vibration and wave;cantilever thin cylindrical shell;sealing teeth influence;natural frequency;threedimensional modal shape

O326

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.03.018

1006-1355(2015)03-0082-05

2014－10－24

国家自然科学基金资助项目(51105187)；辽宁科技大学青年基金资助项目(2014QN13)

王宇（1979－），男，辽宁铁岭人，博士，讲师，主要研究方向：机械系统动力学研究。E-mail:wangyu435@126.com