Abel环的一些刻画（Ⅲ）

周慧敏，杜昕彦，魏俊潮

（扬州大学数学科学学院，江苏 扬州 225002）

Abel环的一些刻画（Ⅲ）

周慧敏，杜昕彦，魏俊潮＊

（扬州大学数学科学学院，江苏 扬州 225002）

设R为环，证明了如下结论：1）R为Abel环当且仅当对任意x，y∈R，当1－xy∈GPE（R）时必有1－y x∈GPE（R）；2）若R为正则环，则PE（R）为正则环；3）R为约化环当且仅当对每个e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae；4）R为强正则环当且仅当对任意a，b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab.

Abel环；幂等元；幂零元；约化环；正则环

0 引言

本文中的环都是有单位元的结合环.设R为一个环，E（R），N（R），Z（R）分别表示R的幂等元集合、幂零元集合及R的中心.设x∈R，若存在正整数n＝n（x）≥2，使得x n＝x，则称x是R的potent元.易见，幂等元总是potent元，但反之未必.例如：在环Z6中，是potent元，但不是幂等元.记PE（R）＝｛a∈R｜a与R的全体potent元可交换｝，则易证PE（R）是R的子环.若E（R）⊆Z（R），则称R为Abel环.众所周知，幂等元在环论中发挥了重要作用，很多著名的环类如强正则环、exchange环、clean环都与幂等元紧密相关.幂等元的很多性质已被逐步应用到矩阵代数与Hilbert空间中的正交投射算子中［1－2］.近年来，有关Abel环的研究很多，Han等［3］证明了一个环R是Abel环当且仅当对R的任意幂等元f，e，有fe，ef都是幂等元；屈寅春等［4－5］先后证明了一个环R为Abel环当且仅当CZE（R）（R）是R的理想，一个环R为Abel环当且仅当R的每个幂等元可唯一地表示为一个square元与一个幂等元之和；周颖等［6］证明了一个环R为Abel环当且仅当对任意e，g∈E（R），有｜e∨g｜≤3；Wei等［7］证明了一个环R为Abel环当且仅当R是quasi－normal环和左幂等自反环.关于幂等元的研究还可参见文献［8－10］.本文的主要目的是继续刻画Abel环.

1 主要结论

设R是一个环，记GPE（R）＝｛a∈R｜对R的每个potent元x，存在正整数m＝m（x），使得ax＝x max｝.一个环R是Abel环当且仅当对每个e∈E（R），总有（1－e）Re＝0.借助于GPE（R），有如下定理.

定理1 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为Abel环；

2）GPE（R）＝R；

3）对任意x，y∈R，当xy∈GPE（R）时必有x∈GPE（R）或y∈GPE（R）.

证明 1）⇒2）：由于R为 Abel环当且仅当ZE（R）＝R，并注意到ZE（R）⊆GPE（R），故GPE（R）＝R.

2）⇒3）：显然.

3）⇒1）：设e∈E（R）.任取a∈R，记h＝（1－e）ae，则he＝h，eh＝0且h2＝0∈GPE（R），所以h∈GPE（R），h＝he＝ehe＝0；因此，对每个a∈R，都有（1－e）ae＝0，从而R为Abel环.

由定理1的证明可得如下推论.

推论2R为Abel环当且仅当对任意x，y∈R，当xy∈ZE（R）时必有x∈ZE（R）或y∈ZE（R）.

由于一个环R是Abel环当且仅当N（R）⊆ZE（R），故利用定理1易得如下推论.

推论3R为Abel环当且仅当N（R）⊆GPE（R）.

定理4 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为Abel环；

2）对任意x，y∈R，当1－xy∈GPE（R）时必有1－y x∈GPE（R）；

3）对任意e，g∈E（R），当1－eg∈GPE（R）时必有1－ge∈GPE（R）.

证明 1）⇒2）：由定理1知成立.

2）⇒3）：显然.

3）⇒1）：设e∈E（R）.任取a∈R，记g＝e＋（1－e）ae，则eg＝e，ge＝g且g2＝g.由于1－e（1－g）＝1∈GPE（R），故由3）知1－（1－g）e∈GPE（R），即1－e＋g∈GPE（R）.于是，e（1－e＋g）e＝（1－e＋g）e，故ege＝ge，即g＝e.这说明对每个a∈R，有（1－e）ae＝0，因此R为Abel环.

由定理4，可得如下推论.

推论5 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为Abel环；

2）对任意x，y∈R，当1－xy∈ZE（R）时必有1－y x∈ZE（R）；

3）对任意e，g∈E（R），当1－eg∈ZE（R）时必有1－ge∈ZE（R）.

设R为一个环，若对每个a∈R，存在b∈R，使得a＝aba，则称R为正则环.若R为正则环，则Z（R）是正则环.文献［4］3中推论10证明了：若R为正则环，则ZE（R）为正则环.本文将推广这个结果如下.

定理6 设R为正则环，则PE（R）为正则环.

证明 设a∈PE（R），由于R为正则环，故存在b∈R，使得a＝aba.记e＝ba，g＝ab，则e，g是potent元且a＝ae＝ga.由于a∈PE（R），故ag＝ga＝a＝ae＝ea，因此a2b＝a＝ba2，从而a2b3＝b3a2.设x为任一个potent元，则xa＝ax，即ba2x＝xa2b＝a2xb，因此b3a2x＝a2xb3，于是b3a2∈PE（R）.由于a（b3a2）a＝ab2（ba2）a＝ab2a2＝ab（ba2）＝aba＝a，故PE（R）为正则环.

定理7 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为Abel环；

2）对任意e，g∈E（R），存在x∈R，使得eg＝gexge；

3）对任意e，g∈E（R），存在y∈R，使得eg＝geyeg.

证明 1）⇒2），1）⇒3）：显然.

设e∈E（R）.任取a∈R，记g＝e＋ea（1－e），则eg＝g，ge＝e，g2＝g；若2）成立，则存在x∈R，使得eg＝gexge，故g＝exe，从而e＝ge＝（exe）e＝exe＝g；若3）成立，则有y∈R，使得e（1－g）＝（1－g）eye（1－g），由于（1－g）e＝e－ge＝e－e＝0，从而e（1－g）＝0，故e＝eg＝g；因此，无论在条件2）还是条件3）下，总有e＝g；因此，ea（1－e）＝0，故R为Abel环.

设R为一个环，若N（R）＝0，则称R是约化环［11］.关于约化环，有如下刻画.

定理8 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为约化环；

2）对每个e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae；

3）对每个e∈E（R），a∈N（R），存在x∈R，使得ae＝eaxea.

证明 1）⇒2），1）⇒3）：由于R为约化环时，故N（R）＝0，易证结论成立.

2）⇒1）：现设a∈N（R）且a2＝0，由2）知存在x∈R，使得a＝axa.设e＝xa，则a＝ae且e2＝e.再由2）知存在y∈R，使得ae＝eayae.因为ea＝xa2＝0，所以a＝ae＝0，从而R为约化环.

同理可证，3）⇒1）.

由定理8易证如下推论.

推论9 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为约化环；

2）对每个a∈N（R），每个b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab；

3）对每个a∈N（R），每个b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxba；

4）对每个a∈N（R），存在x∈aRa，使得a＝axa.

关于强正则环，有如下定理.

定理10 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为强正则环；

2）对每个a∈R，每个e∈E（R），存在x∈R，使得ae＝eaxea；

3）对每个a∈R，每个e∈E（R），存在x∈R，使得ae＝eaxae.

证明 1）⇒2），1）⇒3）：设R为强正则环，则R为正则环和Abel环，故对每个a∈R，都有x∈R，使得a＝axa.从而，对每个e∈E（R），有ae＝eaxea＝eaxae.

2）⇒1）：由2）知R为正则环，再由定理7知R为Abel环，从而R为强正则环.

同理可证，3）⇒1）.

推论11 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为强正则环；

2）对任意a，b∈R，存在x∈R，使得ab＝baxab.

证明 2）⇒1）：定理10的直接推论.

1）⇒2）：设a，b∈R，由于R为强正则环，故R为正则环和Abel环，从而存在m，y，z∈R，使得ab＝abmab，a＝aya，b＝bzb.设e＝ay，g＝bz，则a＝ea，b＝gb且e，g∈E（R），于是ab＝abmab＝agbmab＝gabmab＝bzabmab＝bzeabmab＝bezabmab＝bayzabmab＝ba（yz）ab.令x＝yz，则ab＝baxab.

由环R的一个元a是强正则元当且仅当存在R的可逆元u，使得a＝aua且ua＝au，因此有如下定理.

定理12 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为强正则环；

2）对任意a，b∈R，存在R的可逆元u，使得ab＝bauab.

证明 2）⇒1）：推论11的直接推论.

1）⇒2）：设a，b∈R，由于R为强正则环，故R为正则环和Abel环，从而存在x，v，w∈R，其中v，w是可逆元，使得ab＝abxab，a＝awa，b＝bvb.设e＝bv，g＝aw，则a＝ga，b＝eb，且e，g∈E（R），因此ab＝abxab＝agbmab＝gaebxab＝egabxab＝bvgabxab＝bgvabxab＝bawvabxab＝ba（wv）ab.取u＝wv，则u是R的可逆元，且ab＝bauab.

推论13 设R为一个环，则下列条件等价：

1）R为强正则环；

2）对任意a∈R，存在b∈aRa，使得a＝aba.

证明 1）⇒2）：设a∈R，则存在R的可逆元u使得a＝aua且ua＝au.取b＝uauau，则a＝aba，且b＝au3a∈aRa.

2）⇒1）：由推论9知R是约化环.由于约化的正则环是强正则环，故R是强正则环.

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Some characterizations on Abel rings（Ⅲ）

ZHOU Huimin，DU Xinyan，WEI Junchao＊

（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

In this paper，the following results are proved：1）A ringRis an Abel ring if and only if for eachx，y∈R，1－xy∈GPE（R）implies that 1－yx∈GPE（R）；2）IfRis a regular ring，thenPE（R）is a regular ring；3）Ris a reduced ring if and only if for eache∈E（R）anda∈N（R），there exists an elementxofRsuch thatae＝eaxae；4）Ris a strongly regular ring if and only if for eacha，b∈R，there existsx∈Rsuch thatab＝baxab.

Abel ring；idempotent element；nilpotent element；reduced ring；regular ring

O 153.3；O 154

A

1007－824X（2015）04－0016－03

2015－04－23.＊ 联系人，E－mail：jcweiyz＠126.com.

国家自然科学基金资助项目（11471282）；2014年扬州大学大学生科技创新资助项目.

周慧敏，杜昕彦，魏俊潮.Abel环的一些刻画（Ⅲ）［J］.扬州大学学报（自然科学版），2015，18（4）：16－18，23.

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（责任编辑 青 禾）