方差成比例时2个正态总体均值的假设检验

冒霜霜，焦肖红，邓锦叶

（中南大学 数学与统计学院，湖南 长沙 410006）

方差成比例时2个正态总体均值的假设检验

冒霜霜，焦肖红，邓锦叶

（中南大学 数学与统计学院，湖南 长沙 410006）

在方差未知但相等，或方差未知且大样本的情况下，2个正态总体均值的假设检验已经给出了解决方法；但是在方差不等且小样本的情况下，2个正态总体均值的假设检验少有研究。针对这一问题，给出了理论证明的处理方法，并设计了实现流程和用于实现的MATLAB程序，最后，以实际案例给出了实现的具体方法。与大样本情况下的方法对比，该方法所需样本数量较小。

概率论与数理统计；假设检验；方差成比例；MATLAB

1 研究背景

对于假设检验

有如下3种情形：

情形1 对于2个正态总体方差都已知，要检验2个正态总体均值是否相等，有检验统计量[1-2]

情形2 对于2个正态总体方差都未知但相等，要检验2个正态总体均值是否相等，有检验统计量

情形3 对于2个正态总体方差都未知，要检验2个正态总体均值是否相等，当m, n很大时(m, n≥50)，有检验统计量

对于方差不等且小样本的情形下，2个正态总体均值的假设检验，目前的研究成果少见。本文给出对于方差不等且小样本的情形下，2个正态总体均值的假设检验的方法。

2 方差成比例时2个正态总体均值的假设检验有关定理

3 方差成比例时2个正态总体均值的假设检验步骤

此时的拒绝域为

综上所述，在小样本的情形下，对于2个正态总体均值的假设检验可按图1所示流程进行。

图1 小样本情形下2个正态总体均值的假设检验流程Fig.1 Flowchart of hypothesis test of the means of two normal populations in the case of small samples

4 应用案例

根据调查得知男女各250名的月收入[6]（见附表1）。首先，对数据进行正态性检验[7]（相应函数的MATLAB程序见附录1），在MATLAB中输入如下程序：

检验结果如下：

正态性检验的结果表明，男性和女性2组样本均服从正态分布。

此时，样本容量为250，属于大样本的情形，可直接利用函数fun_2[8-9]进行假设检验

在MATLAB中输入如下命令：

运行结果如下：

现在考虑更符合实际的一种情况，由于抽样受限，只得到了其中男女各40组数据。

男性：16 500，7 800，1 200，16 900，4 900，7 700，48 100，44 300，14 500，22 900，14 200，11 900，55 300，29 400，30 500，32 600，51 000，1 400，31 400，44 400，19 800，8 400，23 700，18 500，17 600，39 400，37 500，16 200，4 400，40 900，2 500，37 200，17 500，26 900，25 400，15 300，22 600，44 500，34 200，7 700。

女性：27 400，16 300，11 100，8 200，15 400，11 200，13 100，32 000，29 200，9 400，800，21 500，18 400，1 300，9 000，13 600，23 000，12 400，11 600，27 600，20 500，200，13 000，14 400，21 800，40 900，7 100，8 200，26 900，12 300，8 100，8 400，3 900，9 500，23 800，38 800，16 000，18 400，12 900，2 400。

此时，属于小样本情形，可按图1给定的流程进行假设检验。

同样地，首先对数据进行正态性检验，在MATLAB中输入以下程序：

检验结果如下：

正态性检验的结果表明，男性和女性2组样本均服从正态分布。

现为确定男性与女性的工资是否存在显著差异，从男女中各随机抽出20组数据。

男性：22 600，55 300，7 800，44 300，4 900，16 900，16 500，39 400，1 400，15 300，48 100，16 200，7 700，32 600，1 200，14 200，44 400，11 900，37 200，17 500。

女性：16 000，18 400，16 300，32 000，15 400，8 200，27 400，40 900，12 400，38 800，1 3100，8 200，2 400，13 600，11 100，800，27 600，21 500，8 400，3 900。

利用函数fun_3，在MATLAB中输入如下命令：

运行结果如下：

然后，进行假设检验

此时，用抽中的样本确定常数，得c=2.139 1。

利用函数fun_4，在MATLAB中输入如下命令：

运行结果如下：

最后进行假设检验

利用函数fun_5，在MATLAB中输入如下命令：

运行结果如下：

综合以上结果可知，男女工资均值不相等，方差成比例，因此男女工资存在显著性差异。这与用大样本的方法直接进行假设检验所得的结果一致。

5 结语

从以上实际应用可以看出，本文在方差成比例时2个正态总体均值的假设检验方法是可行的，而且此方法所需的数据量较少，在实际应用中具有一定的优势。此外，本文编程得到的5个MATLAB函数fun_1，fun_2，fun_3，fun_4，fun_5，能为解决一些假设检验问题提供便捷的方法。

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（责任编辑：邓光辉）

附表1 男女各250名月收入表Appendix 1 Monthly income table of 250 men and 250 women

续表

续表

附录1 fun_1～ fun_5的MATLAB程序

Hypothesis Test of the Means of Two Normal Populations with Proportional Variances

Mao Shuangshuang，Jiao Xiaohong，Deng Jinye
（School of Mathematics and Statistics，Central South University，Changsha 410006，China）

For two normal populations with unknown but equal variances or unknown variances but with large sample size, hypothesis test of the means has given a solution. But there is short of research for unequal variances with small sample size. To address the problem, the processing method of theoretical proof is put forward, and the realizing process and MATLAB program for realization are designed. Finally an actual case is used to illustrate the feasibility of the method. Compared with the situation of large sample, this method needs less samples.

probability and statistics；hypothesis test；proportional variances；MATLAB

O212.1

A

1673-9833(2015)03-0101-08

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.03.019

2015-04-07

冒霜霜（1990-），女，湖南邵阳人，中南大学硕士生，主要研究方向为概率论与数理统计，E-mail：canjingdao@163.com