基于变参数随机共振和归一化变换的时变信号检测与恢复

张海滨 何清波 孔凡让

1 引言

在传统的观念上，噪声总是被认为起破坏作用的。但是近二十年非线性理论和实验揭示，对许多非线性系统来说，适当的噪声干扰反而可以帮助系统提高信号输出的能力，这类现象即为随机共振（Stochastic Resonance, SR），其最初是在文献[1]中用来解释过去70万年地球的冰川期和暖气候期交替出现的现象。根据随机共振理论，当淹没在强背景噪声中的微弱信号通过某种非线性系统时，在噪声与信号的协同作用下会发生噪声能量向信号能量转移，使非线性系统的输出信噪比得到增强[2,3]。由于信号的输出信噪比随噪声的增大呈现先增后减的趋势，并在某一噪声强度值时出现峰值，产生类似力学中人们熟知的共振输出现象，故称为随机共振。正是由于随机共振能够提高含噪微弱信号的输出信噪比，人们将随机共振引入微弱信号检测[36]-、机械故障诊断[79]-、能量回收[10,11]等领域。

但是不难发现，在所有的随机共振应用领域中，用于驱动系统的信号都具有固定周期，即输入信号都是由周期信号和噪声所构成。但是在实际应用中，经常会遇到一些非周期性信号（aperiodic signal），比如线性调频（Linear Frequency Modulated, LFM）信号、非线性调频信号（NonLinear Frequency Modulated, NLFM）、多普勒（Doppler）信号等等。这些非周期信号在无线通信、雷达、声信号处理等领域都广泛存在，而且这类信号同样容易受到噪声的污染使其不容易被探测和甄别，特别对于LFM信号的检测和恢复也同样面临巨大挑战[12,13]。鉴于随机共振系统对微弱信号探测的优势，所以为了能够利用随机共振处理一些非周期信号，必须将输入信号推广到具有有限带宽的非周期信号中去。1995年以来，国内外学者对非周期随机共振作了大量研究[14,15]；国内也有一些研究人员利用传统的随机共振对周期信号的放大作用，将其用于线性调频信号的参数估计和信号恢复[16,17]。在利用随机共振处理非周期驱动信号时，由于非周期信号不再具有确定的频率，因此不能再用信噪比来度量，文献[16]提出了基于分数阶傅里叶变换的分数阶信噪比（Fractional Signal-to-Noise Ratio, FrSNR），但是这个只适用于线性调频信号，他们在某个确定的方向上仍然具有频谱能量集中的特点，对于其他的非周期信号则不适用，而且，目前对于非周期随机共振的研究模型，由于受到绝热近似条件的约束，输入信号仍然需要满足小参数条件，这就限制了模型在一些实际场合的应用。

出于以上几点考虑，本文采用四阶 Runge-Kutta数值求解的数值仿真分析，基于双稳态随机共振模型参数的归一化变换[18]，提出了一种变参数随机共振（Variable Parameters SR, VPSR）模型。该模型首先将系统参数进行归一化变换使其适应于高频输入信号；然后以输出信号的拟合决定系数及其和输入信号的互相关系数作为评判标准，得到时变信号的频率变化参数，利用该参数决定VPSR的系统参数变化规律；最后寻找系统参数的最优初始值，得到随时间变化的最优系统参数；将参数代入模型后获取系统的输出信号，即为有效去噪的时变信号的恢复信号。本文以线性调频信号为例研究说明了该模型对时变信号检测和恢复的实用性和有效性，并最终得到理想的输出信号，文章最后分析了不同时变信号的参数对系统输出的影响并和传统的随机共振模型输出做了对比分析。

2 双稳态随机共振及其参数归一化变换

在随机共振的研究中，受微弱周期力与白噪声驱动的非线性双稳系统实质上描述的是一个质点同时受到外力和噪声驱动时，在一个对称的双稳态势阱中运动的模型，其动力学方程可以用经典的朗之万方程来描述[2]：

式中，A为LFM信号的幅值，f0为初始频率，k为调频率， f （ t） = f0+ k t则表示 LFM 信号的瞬时频率； n （ t）=2Dξ（t）代表零均值的高斯白噪声并且满足 n （ t） n（ t + τ ） = 2 D δ （t ） （D 为噪声密度）。从式（2）中可以看出，对称双势阱的位置位于 xmin=±，势垒高度 Δ V = a2/4b 。

为了在实际大参数下仍能利用绝热近似理论得到SR现象，并识别微弱信号，文献[18,19]分别提出了参数归一化变换方法和二次采样随机共振来解决这一问题。但是文献[18]提到当混合输入信号的信噪比保持不变，对幅度进行缩放时，运用该方法在搜索合适的二次采样频率过程中可能会出现数值仿真发散的情况，所以这里采用归一化变换方法。当双稳系统式（2）中的参数a, b取值不为1时，引入变换：

将式（3）代入式（2）中可得：

经过变换后，式（4）中的噪声信号为（）/naτ，而n（t）为白噪声，频域上均匀分布，因而（）/naτ仍然为零均值噪声强度为D的白噪声，简化式（4）可以得到

3 变参数随机共振和输出指标

实际上SR系统可以被当做是一个选通滤波器，传统意义上的SR现象出现需要输入信号中的微弱信号周期、系统噪声强度和模型参数之间满足一定的匹配条件，当两势阱间跃迁率rk=a/exp（-ΔV/D）的一半与周期信号频率相匹配时，随机共振现象就会出现。但是对于时变信号（非周期），这种匹配关系随着时间变化不可能一直满足。从文献[18]中可知，对于第2节提到的参数归一化变化过程中，参数a起着决定性作用，变换后的噪声密度D' = a3D / b，增大为原来的a3/b倍，将ΔV和D'代入跃迁率 rk表达式可得：

对于大参数信号，为了保证SR现象的出现，参数a往往会取很大的值，所以可以近似得到exp（- 1 /（4a D）≈ 1 。可以看出经过归一化变换后的SR系统的克莱姆斯跃迁率与参数a成正比。据此，本文提出一种用于检测确知时变信号的变参数随机共振系统，其参数a和输入信号频率保持相同的时变特点，表示为a（t），从另一角度看，此时变参数a（t）可以使得经过归一化变换后的信号对SR系统来说具有稳定的频率，以此来满足SR现象发生的条件，对于如式（2）所示的系统，输入信号为LFM信号时，所提出的模型可以表示为

其中，参数 a （ t） = a0+ a0k t/f0，可以使归一化变换后的信号等效频率为

式中，const表示一固定的常量，所以在式（7）所示的模型下，输入信号的等效驱动频率将保持恒定，可以满足与跃迁率匹配的条件，保证了SR现象的出现。同时，为了保证输出信号幅值的稳定性，必须使平衡位置xmin=保持恒定，取相应的参数b（ t） = b0+ b0k t/f0，同时将输入信号随时间变化放倍，求解式（7）得到结果即为VPSR输出信号。

但是另一方面，由于时变信号的傅里叶变换频谱上不会再出现单频信号的能量集中的单一谱峰，传统的SR系统中所使用的SNR作为衡量系统的标准将不再适用。对于非周期随机共振的研究工作中，多数研究[13]都使用输入信号中的纯净理想信号s（t）和经SR系统后的输出信号x（t）之间的时移最大互相关系数来表征，记作sxC ，对于离散化的信号，其表达式为

式中，残差平方和（Sum of Squares for Error, SSE）表示实际值与拟合值的误差平方和，总偏差平方和（Total Sum of Square, SST）表示实际值和平均值的误差平方和。xi和x分别表示SR输出信号及其平均值，ˆxi指输出信号的拟合结果。很容易看出 R2≤ 1 恒成立而且其值越大表示原始数据与拟合数据越吻合，拟合误差越小，也即输出效果越好。

4 LFM信号的检测和恢复结果

4.1 预定参数下的输出

首先，本文根据前面模型提出和理论分析过程中所提到的LFM信号模型，利用Matlab数学工具进行线性调频信号的数值仿真分析，并通过本文所提出的变参数随机共振系统来进行信号的参数估计和去噪恢复。根据信号的理论公式 s（ t） = A c os（2π （f0t+k t2/2）+ φ ），建立一个仿真信号s（t），该LFM信号满足：线调频率k=5 kHz/s，初始频率f0=1 kHz，初始相位 φ =-π / 2和信号幅值A=1，设定采样频率= 2 × 1 05Hz ，采样时间T=0.15 s，得到理想信号如图1（a）中的圆点虚线所示。利用Matlab的awgn函数向该信号中加入-5 dB的噪声，可以获得最终的混合输入信号如图1（a）的实线条所示，其左图和右图分～别为混合信号和理想LFM信号0～0.020 s和0.140 0.150 s时间段的放大细节视图。

图1 LFM仿真信号以及传统SR和VPSR的输出信号波形

本文分别利用预定参数的传统SR系统和所提出的VPSR系统对信号进行去噪处理。对于传统的SR模型，设定参数a=b=10000，同时将输入信号放大= 1 0000倍，代入式（2）中，进行数值求解后，得到的输出信号如图1（b）实线所表示波形。使用Matlab的lsqcurvefit函数对输出信号进行曲线拟合，图1（b）中圆点虚线为拟合信号，且求得输出信号与原信号相关系数 Csx1= 0 .8193，拟合决定系数= 0 .5617。然后再利用所提出的VPSR模型，设定参数k=5 kHz/s, f0=1 kHz, a（ t） = b （ t） = a0+ a0kt/f0（a0= 1 0000），同时将输入信号幅值随时间放大10000倍，代入式（7）可以得到系统的输出信号如图1（c）实线所描绘。进行拟合后，图1（c）中圆点虚线表示波形为拟合信号，同时求得输出信号与原信号相关系数 Csx2= 0 .9229，拟合决定系数= 0 .8243。与传统随机共振系统的输出结果相比，可以看出，输出信号的低频段二者波形相差不大，都较为理想；但是到高频段（图1（b）和图1（c）右图），所提出的VPSR模型输出波形更平整接近实际信号，而且可以从相关系数和拟合决定系数看出新模型的两个参数也得到了明显的提高。

4.2 最优参数条件下的输出

首先作为对比分析，本文利用最优参数下传统的双稳态 SR模型对信号进行去噪处理。以系统输出信号的拟合决定系数R2为参考指标，计算在不同系统参数a（b=a）条件下的输出信号决定系数，得到的2

R a- 变化曲线。同样利用4.1节中仿真的信号，可以得到如图2（a）所示的曲线，从结果中可以看出，当取 a=23000时，系统输出参数20.8357 R= 达到最大，此时系统对输入信号达到最优状态。将参数和放大23000倍的输入信号代入式（2），得到输入信号的最有输出结果如图 2（b）中的实线所示，圆点虚线为对输出信号按照线性调频信号的拟合结果。

之后，利用VPSR模型对输入信号进行处理。根据前面的描述，该模型（式（9））的参数有 a0=b0, f0和 k。所以需要对这 4个参数分别进行搜索，求得最优值，然后代入系统。为了让搜索过程可视化，本文给出了如图3所示的几个搜索结果。第1步，固定a0=b0=10000，然后对参数f0, k进行全局搜索，在搜索过程中，对每组参数ˆ对应的输出结果x（t）使 用 s '（t） = A 'c os（2π+/2）+ φ '） 进 行数据拟合，并将计算的拟合决定系数 R2）作为输出指标，可以得到系统参数 f0, k的最优组合 f0=1 kHz, k=5 kHz/s。图 3（a）中，固定 f0=1 kHz，同时将k以0.1 kHz/s的增幅从3 kHz/s增加到7 kHz/s，得到输出参数R2随参数k的变化规律；同样取k=5 kHz/s，将f0以10 Hz的增幅从0.8 kHz增加到1.2 kHz，得到R2随参数f0的变化规律如图3（b）所示。从两幅图中明显可以看出，在f0=1 kHz, k=5 kHz/s时，R2达到一个峰值0.8243，所以得到这两个参数的最优组合，同时也对应着输入信号的初始参数。

第2步，在获得了输入信号的参数之后，固定这两个值，同时改变系统参数 a0（b0=a0）。将 a0从5000开始以1000的间隔增加到50000，得到输出参数 R2随 a0的变化关系如图 3（c）所示，从结果中得到系统结构参数的最优值 b0=a0=14000，此时输出拟合决定系数R2=0.8721，相比于图1和图2中的结果都有了进一步的提升。将最优参数组合代入式（7），得到最优输出如图4所示。可以看出输出信号中，原始信号中的噪声经过VPSR之后能量得到了有效转移，输出信号与理想的拟合结果已经十分吻合。

本文将前面分析的结果综合到表1中，其中包括最优条件和非最优条件下传统随机共振以及VPSR系统的相关参数和输出结果，从表中可以看出所提出的系统对 LFM 信号具有更好的去噪和恢复效果，而且模型可以有效检测出信号的固有参数，更好地用于后期信号的恢复工作。

5 模型输出的性能分析

前面几节以 LFM 信号为例详细介绍了对噪声背景下时变信号，利用本文所提出的模型进行信号检测和恢复的过程。为了说明VPSR模型用于时变信号恢复的效果和优势，本文进一步研究分析了系统在不同输入信号条件下的输出结果，通过对比分析，具体揭示了输入信号参数的不同对系统输出的影响。

图2 不同参数条件下传统SR模型的输出结果及最优条件下的系统输出

图3 VPSR模型下不同参数变化对输出结果的影响

图4 最优参数条件下VPSR模型的输出波形及其细节视图

表1 不同参数下两种模型的输出比较

5.1 调频率k的影响

首先，固定初始频率f0=1 kHz，输入信噪比SNR=-5 dB，保持采样频率和前面的仿真信号一样 fs=200 kHz，初始相位 φ =-π / 2和信号幅值A=1，采样时间T=0.15 s，同时，将k以200 Hz/s的间隔从4 kHz/s增加到20 kHz/s。对于每个k值，获取最优系统参数并得到输出信号的决定系数R2和相关系数Csx，结果如图 5 所示，图 5（a）和图 5（b）分别表示输出信号的决定系数和相关系数，图中三角点表示VPSR模型中不同 k值对应的输出结果，圆点表示传统SR模型的输出结果，星点表示原始信号的相关参数。

图5 线调频率对不同模型输出结果的影响

图 5（a）和图 5（b）中，不同模型下输出参数都随着 k的增加而降低，但是本文所提出的模型输出参数下降的速率比传统的SR模型要低得多，其降低的趋势并不明显，而传统的SR模型的输出参数下降迅速，这就说明k值越大，本文所提出的VPSR模型优势越明显。

5.2 初始频率f0的影响

选取调频率k=10 kHz/s，将初始频率f0从0.5 kHz到2.5 kHz之间每隔50 Hz取一个点，信号其他参数保持和5.1节一致。同样，对每一个f0，搜索最优的系统参数并得到输出信号的决定系数R2和相关系数Csx。图6为不同的初始频率对应的输出参数，可以看出，两种模型的输出信号和输入信号相比都能有效地提高输出参数，抑制噪声，恢复原始信号。但是还可以发现，在初始频率较大时，VPSR和传统的 SR模型相比优势并不明显，输出参数相差无几，但是在初始频率较小时，两种模型输出结果相差很明显，而且初始频率越小，VPSR的输出参数出现上升的趋势，但是传统SR却逐渐下降，VPSR模型的优势也越来越明显。

图6 初始频率对不同模型输出结果的影响

通过上面研究表明，本文所提出的VPSR模型能够在LFM信号（时变信号）的去噪处理中有着更好的效果并且提供更为理想的恢复信号，特别是在低初始频率、高调频率（对应其他时变信号的频率变化率）的输入信号时，该模型更有效，对于频率带宽较宽的信号具有更强的适应性。

6 结束语

论文针对已知时变特性的时变信号（以 LFM 信号为例），提出了一种基于变参数的随机共振系统（VPSR），用于检测时变信号固有参数和恢复强噪声背景下的信号。该模型通过以输出信号的决定系数为标准，通过搜索估计输入信号的固有参数（k和f0），确定固有参数后，再利用相同的指标搜索决定模型的最优系统参数，最后通过两组参数得到输入信号的最优输出结果，即为本文所需要的去噪后的理想信号。通过仿真分析，可以看出所提出的模型能够获取更满意的输出结果，同时也具有诸多的优势。（1）该模型结合了参数归一化方法，有效解决了随机共振系统中由于绝热近似条件所带来的小参数限制；（2）本文提出的模型通过引入时变系统参数（a（t）和 b（t）），能够一样很好地处理时变信号，这为对处理一些其他的像多普勒信号等非线性时变信号提供了新的方向和思路；（3）仿真结果显示，该方法在处理一些频率变化率较大、初始频率较小的时变信号时优势明显，也就是对于一些频率随时间变化较快、频率范围较宽的信号，利用传统的SR系统就无法有效恢复出理想信号，这时本文所提出的模型仍然具有更好的适应性和有效性。

所以，VPSR能够在时变信号的检测和恢复中有着很好的表现，具有一定的指导意义和实用价值。但是尽管具有很多优点，但是目前该系统需要知道待处理信号的频率变化规律，下一步的工作也将集中在处理一些未知规律的时变信号处理，发展自适应地时变随机共振系统，并且将模型有效利用到实际信号和工程应用中。

[1] Benzi R, Sutera A, and Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1981, 14（11）: L453-L457.

[2] Gammaitoni L, Hanggi P, Jung P, et al.. Stochastic resonance[J]. Reviews of Modern Physics, 1998, 70（1）:223-287.

[3] 郑仕谱. 基于随机共振的弱信号提取方法研究[D]. [硕士论文],浙江大学, 2014.Zheng Shi-pu. Study on weak signal extraction technology using stochastic resonance[D]. [Master dissertation], Zhejiang University, 2014.

[4] 杨祥龙, 汪乐宇. 一种强噪声背景下弱信号检测的非线性方法[J]. 电子与信息学报, 2002, 24（6）: 811-815.Yang Xiang-long and Wang Le-yu. A new detection method of weak signal in strong background-noise level[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2002, 24（6）: 811-815.

[5] 梁军利, 杨树元, 唐志峰. 基于随机共振的微弱信号检测[J].电子与信息学报, 2006, 28（6）: 1068-1072.Liang Jun-li, Yang Shu-yuan, and Tang Zhi-feng. Weak signal detection based on stochastic resonance[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2006, 28（6）:1068-1072.

[6] 王强. 基于变步长随机共振的弱信号检测技术[J]. 信息通信,2014, 12（8）: 25.Wang Qiang. Weak signal detection based on step-change stochastic resonance[J]. Information & Communications, 2014,12（8）: 25.

[7] Li Ji-meng, Chen Xue-feng, and He Zheng-jia. Multi-stable stochastic resonance and its application research on mechanical fault diagnosis[J]. Journal of Sound and Vibration,2013, 332（22）: 5999-6015.

[8] 冷永刚, 田祥友. 一阶线性系统随机共振在转子轴故障诊断中的应用研究[J]. 振动与冲击, 2014, 62（17）: 1-5.Leng Yong-gang and Tian Xiang-you. Application of a first-order linear system's stochastic resonance in fault diagnosis of rotor shaft[J]. Journal of Vibration and Shock,2014, 62（17）: 1-5.

[9] Lu Si-liang, He Qing-bo, and Kong Fan-rang. Stochastic resonance with Woods-Saxon potential for rolling element bearing fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, 45（2）: 488-503.

[10] Xu Jia-wen, Shao Wei-wei, Kong Fan-rang, et al.. Right-angle piezoelectric cantilever with improved energy harvesting efficiency[J]. Applied Physics Letters, 2010, 96（15）:152904（1-3）.

[11] Harne R L and Wang K W. A review of the recent research on vibration energy harvesting via bistable systems[J]. Smart Materials and Structures, 2013, 22（2）: 023001（1-12）.

[12] 朱文涛, 苏涛, 杨涛, 等. 线性调频连续波信号检测与参数估计算法[J]. 电子与信息学报, 2014, 36（3）: 552-558.Zhu Wen-tao, Su Tao, Yang Tao, et al.. Detection and parameter estimation of linear frequency modulation continuous wave signal[J]. Journal of Electronics &Information Technology, 2014, 36（3）: 552-558.

[13] 朱健东, 赵拥军, 唐江. 线性调频连续波信号的周期分数阶Fourier变换检测与估计[J]. 电子与信息学报, 2013, 35（8）:1827-1833.Zhu Jian-dong, Zhao Yong-jun, and Tang Jiang. Periodic FRFT based detection and estimation for LFMCW signal[J].Journal of Electronics & Information Technology, 2013, 35（8）:1827-1833.

[14] Collins J J, Chow C C, Capela A C, et al.. Aperiodic stochastic resonance[J]. Physical Review E, 1996, 54（5）:5575-5584.

[15] 段江海, 宋爱国. 双稳系统中非周期随机共振的数值仿真[J].电路与系统学报, 2004, 9（5）: 149-152.Duan Jiang-hai and Song Ai-guo. Numerical simulations of aperiodic stochastic resonance in bistable systems[J]. Journal of Circuits and Systems, 2004, 9（5）: 149-152.

[16] Wang Xiao-min and Wen Chuan. Detection and parameter estimation of LFM signal based on stochastic resonance[C].Proceedings of the 2011 2nd International Conference on Networking and Information Technology, Singapore, 2011,112-119.

[17] Peng Hao, Zhong Su-chuan, Tu Zhe, et al.. Stochastic resonance of over-damped bistable system driven by chirp signal and Gaussian white noise[J]. Acta Physica Sinica, 2013,62（8）: 080501（1-6）.

[18] Yang Ding-xin, Hu Zheng, and Yang Yong-min. The analysis of stochastic resonance of periodic signal with large parameters[J]. Acta Physica Sinica, 2012, 61（8）:080501（1-10）.

[19] Leng Yong-gang, Wang Tai-yong, Qin Xu-da, et al.. Power spectrum research of twice sampling stochastic resonance response in a bistable system[J]. Acta Physica Sinica, 2004,53（3）: 717-723.