矩量法求解半波偶极子天线上的电流分布

李新献+李伟勤+施岱松

摘要：矩量法是将连续方程离散为代数方程组的方法，此法对于求解微分方程和积分方程均适用，本文以半波振子天线为例，详细推导了半波振子天线的Pocklington积分方程，利用分域三角基和伽辽金方法的矩量法求解Pocklington积分方程，得到了半波振子天线上的电流分布，分析了对应的电场和磁场的分布情况，并简单介绍了半波阵子天线在电子药丸上实现无线通信及能量传输的应用。

关键词：矩量法；半波阵子天线；分域三角基；伽辽金方法

中图分类号：TM144

文献标识码：A

DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2015.06.026

本文著录格式：李新献，李伟勤，施岱松，矩量法求解半波偶极子天线上的电流分布阴，软件，2015，36（6）：139-145

CalculationoftheSurfaceCurrentDistributionoftheDipoleAntennaBasedonMoM

LIXin-xianl，LIWei-qin2，SHIDai-song2

[Abstract]：Suitableforsolvingthedifferentialequationsandintegralequations，MethodofMomentsisthediscretecontinuityequationintoalgebraicequations.Takingthehalf-wavedipoleantennaasanexample，detailedhalf-wavedipoleantennaforthePocklingtonintegralequationisdeduced，andthemomentmethodtosolvePocklingtonintegralequationsbyusingthetrianglebasisandgammaLiao.jinmethodandthecurrentdistributionhalf-wavedipoleantennawereobtained.Thedistributionofthecorrespondingelectricfieldandmagneticfieldareanalyzedandtheapplicationofhalfwavedipolearrayantennaforwirelesscommunicationandenergytransmissioninelectronicpillareintroduced.

[Keywords]：Methodofmoment；Half-wavedipoleantenna；Piecewisetrianglefunction；Galerkinmethod

0引言

天线是用来进行电磁波辐射和接收装置，主要用于通信、探测和能量输送，结构上主要有由导线或金属棒构成的用于长波、短波、超短波线天线和由金属面或介质面构成的面天线，主要是用于微波波段[8]；对天线的求解方法有三种：一种为精确求解的解析方法，是通过求解满足边界条件下的麦克斯韦方程组实现，第二种是以逐步逼近法、微扰法、变分法和迭代法为代表的近似法（准解析法），其求解结果一般表示为级数解，多用于第一种方法不能解决的问题；第三种方法是数值方法，其核心思想是将微分方程化为差分方程，或将积分方程化为有限求和，从而建立代数方程组，也可以将微分方程或积分方程用矩量求解。

半波偶极子天线是一种典型的低增益的辐射组件，其感应电流分布在零阶近似的情况下数学处理非常方便，其传输函数、频域和时域的辐射场均可以用解析函数表达出来[7]。因此，通过分析其天线辐射机理和特性，对弄清楚宽带和超宽带天线天线如何工作具有重要意义。而基于数值方法的矩量法不仅可以用来求解积分方程，而且可以用来求解其他算子方程，是一种误差最小的方法，具有广泛的应用。矩量法是一种采用基函数和检验函数离散化积分方程的数值方法，它的基本思想是将一个泛函方程化为矩阵方程，然后求解该矩阵方程。对于天线问题可以建立描述天线表面感应电流的积分方程，求出该电流即可进一步得到天线的辐射特性。本文应用矩量法求解偶极子天线电流的Pocklington积分方程，进而由电流分布求出该天线的其他特性。

1矩量法基本原理

根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量，故此法称为矩量法。

如果非齐次方程为：

L（f）=g

（1）

式中L是线性算子，g为已知激励函数，f为未知响应函数，算子L的定义域为算子作用于其上的函数f的集合，算子L的值域为算子在其定义域上运算而得到的函数g。L取不同形式，人们便可描绘不同的电磁场工程问题，如：

1.1矩量法（MoM）的基本步骤

1）展开未知函数厂为有限个线性无关的已知简单函数fn之和。式中an是系数，fn被称为N线性无关的展开函数或基函数。N个未知数al.a2，a3aN，此时算子L作用域已知函数fn上，待求系数a移到算子L之外，使求解方便。

2）作内积

在L的值域内选一组线性无关的函数Wm（权函数），分别与Lf和g作内积式（4）即为三∽_g的近似算式

3）变换为矩阵方程：lmm=gm=则Llmn][an]=[gn]

4）矩阵求逆如果矩阵Llmn]是非奇异，则

注意：fn必须是线性无关，选择恰当可使∑anfn很快逼近fo权函数wm的选择适当也会是计算方便，

二1

当fn=Wm时称仂Ⅱ略金法（GarlerKin'smethord）

1.2基函数和权函数的选择

基函数：MoM法的一个重要问题是基函数fn的选取，理论上有许多基函数可供选择，只要它们是线性独立的即可。但实际上，人们往往只能有少量的某些函数可较好地逼近待求地f通常选取地基函数应使矩阵有较少的阶次，求逆阵方便，收敛快等要求。

1）全域基函数：在待求函数厂的全部定义域中存在且不为“0”，如：

（1）幂级数

fn=x-xn+1

（3）麦克劳林级数n=InX2（n-l）

2）分域基函数：在待求函数厂的全部定义域中存在，但部分为“0”。如

（1）脉冲函数（分段均匀）

如图1所示，其表达式为

（2）分段线性函数

如图2所示，其表达式为

（4）二次插值函数

（5）正旋插值函数

权函数：作为对展开基函数的检验函数，常用的有以下两类。

1）全部基函数均可作为权函数（或阶段函数）

Wm的作用是对Lf-g系统加权（激励）。通常Lf=g通过选取基函数已经简化为anlfn=g在N个待求的ai的方程，此时选N个激励去列N个方程从而解出N个ai。一般这种激励选δ函数是方便的。

当选择基函数等于权函数时，（厶=%时为伽略金法）称为伽略金法。在特定的问题中，主要任务是选择展开基函数和权函数，它们必须是线性无关的。展开基函数可以分为全域基和分域基，分域三角型基函数如图1所示；权函数一般有点匹配法，伽略金法，最小二乘法等，伽辽金方法是选用和展开基函数相同的函数作为检验函数的方法。应用矩量法需注意误差分析、方程收敛性和积分奇异点处理等问题。δ2矩量法在线天线分析中的应用

由于线天线在实际中应用广泛，而且是分析其它天线的基础，所以用矩量法分析线天线有重要意义，多数文献采用脉冲基函数和点匹配的方法分析线天线的Hallen积分方程[7]，本文详细推导了线天线的Pocklington积分方程，应用分域三角基和伽辽金的矩量法对半波对称振子天线上电流分布特性进行了分析分析研究。δ2.1Pocklington积分方程的建立

考察如图3所示的l=λ/2半波偶极天线，并作以下近似：电流沿导线轴流动；体电流密度，可以用线电流，近似；体电荷密度p用线荷密度σ近似；忽略天线端面的周向电流IΦ和和径向电流Ip，认为线上电流仅为长度变量z的函数，即I=I（z）与φ，p无关[6]。

当半波振子天线上在加上馈电信号V时，或在接收电场作用时，近似有Eo=V/△z，阵子上将产生感应电流，我们将电流分布按分域三角基函数展开。下面推导对应的波克林顿积分方程。

令天线线长为，，线径为a，且满足>>a，天线端面处之Je和天线侧面处之Jω略之不计，由于a<<λ，所以Je贡献很小，可以忽略不计，又由于圆对称，所以J=0，Jsz沿导体周界均匀分布，所以Jsz面电流分布可视为集中于轴线上的线电流，其表达式如下：根据以上假设可知动态矢量位A只有Az分量，即边界条件EsIt+E1|l，=0（电场切向分量=0）导体表面处E|t=2Ez；Z向分量即为切向分量

利用洛沦滋条件

代人（12）式

在导体表面处

导体表面上

将Az代人（14）式，并交换微积分次序，可得

由导体边界条件

式（16）即为Pocklington'sEquation，写成算子形式为：

上述方程即是Pocklington，Pocklington积分方程激励为E。对于一段d的电流元，其矢量位为

z位观测点位置，z为源点位置，如图1所示，对长度为2，的载流导体得Pocklington积分方程为

E，是由源场Ez，在阵子上产生感应电流辐射产生的场，源场则来自施加在天线馈电端的电压，由边界

条件知在导体上的电场之和趋于零，则有

对Ez的表达式进行微分重组可得到如下形式

2.2矩量法求解Pocklington方程

根据第3节的模型，将电流函数，（z7）按图所示的分域三角型基函数厶（z7）展开，并取有限近似，即选伽辽金方法，即取和展开基函数相同的检验函数记为厶（z），得

得到矩阵方程

根据以上推导，进行MATLAB仿真，得到偶极子天线的各项特性如图4—图7所示，从图可以看出，该天线在E面的辐射方向图呈8字形，在H面是一个全向辐射。

3偶极子天线在生物医学上应用

2013年6月24日出版的美国《纽约时报》印刷版刊文称，正当人们探讨可穿戴计算设备时，形似药丸的内服式计算设备也逐渐开始兴起。通过在药丸中整合各种传感器和发射器，便可以实现监控人体内部状况的目的。如今也有一种新的可吞服电子产品，可以当药品或医疗器械。

“我给你开了两枚电子药丸。请每隔12小时服用一次。你吃下它之后，我会收到它发来的电子邮件，获得你最新的内脏器官运行数据。分析完这些数据，我会通知你详细结果。”

如图9所示的电子药丸，包裹在胶囊内部的主要部件是超微传感器和发射器。和普通药丸一样，它可以用水或牛奶冲服。服用它就是监控你的身体状况，并将数据无线发送到外部设备中。由于偶极子天线的小型化和高集成性能，使得无线药丸或胶囊中无线收发多采用偶极子天线来实现。4结论

本文分析了矩量法在半波偶极子线天线计算中应用，通过采用分域三角基函数和伽辽金方法求解了Pocklington方程，用Matlab仿真实现偶极子天线的各项特性，计算结果与解析解比较吻合，表明矩量法在线天线计算中能得到较好的效果，当然矩量法还可以用于其他天线的分析，如八木.宇田天线，阵列天线等，文中也简单介绍了偶极子线在电子药丸上的应用。

参考文献

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