矩阵Hadamard积和Fan积特征值的新界

矩阵Hadamard积和Fan积特征值的新界

李艳艳,蒋建新

(文山学院数学学院,云南文山663000)

摘要：给出了非负矩阵的k次Hadamard幂和M矩阵的r次Fan幂的定义，并对关系式应用Cauchy-schwitz不等式(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)得到了非负矩阵A，B的Hadamard积的谱半径ρ(A°B)和M矩阵A,B的Fan积最小特征值τ(A*B)的一些新界，这些结果包含了方茂中对于该类问题给出的相应结论。

关键词：非负矩阵；M矩阵；Hadamard积；Fan积；特征值

收稿日期:2014-11-13

基金项目:国家自然科学

作者简介:李艳艳(1982-)，女，甘肃庆阳人，讲师，硕士，主要从事矩阵理论及其应用方面研究。

中图分类号：O151.21文献标志码：A

0引言

令N={1,2,…,n}；Rm×n(Cm×n)为m×n阶实(复)矩阵集；σ(A)为矩阵A的谱，ρ(A)为n阶方阵A的谱半径；τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}为A的模最小特征值[1]。

设矩阵A=(aij)∈Rn×n，1)若A的所有元素非负即aij≥0，i,j∈N, 则称A为非负矩阵，记A≥0; 2) 若A的非主对角元素非正即aij≤0，i≠j，i,j∈N，且A-1≥0, 则称A为非奇异M矩阵，记Mn为n阶非奇异M矩阵全体所成之集合[1]。

r×r子矩阵，A22是(n-r)×(n-r)子矩阵，1≤r

对于不可约非负矩阵一定有正向量u使Au=ρ(A)u；对于不可约非奇异M矩阵，一定有正向量v使Av=τ(A)v， u，v统称为这两类矩阵的右perron特征向量[1]。

1相关引理

这部分给出文章要用到的一些引理

引理1[1](Cauchy-schwitz不等式)

设a=(a1,a2,…,an)T≥0, b=(b1,b2,…,bn)T≥0,k=1,2. 则有

(1)

引理2[2]设n阶矩阵P≥0且不可约，若存在不为零的非负向量z使得Pz≤kz，则ρ(P)≤k。

引理3[2]设Q∈Mn且为不可约，若存在不为零的非负向量z使得Qz≥kz，则τ(Q)≥k。

2主要结果

这部分给出ρ(A°B)和τ(A*B)新的上界

定理1：设A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，k=1,2；则

(2)

证明：令C=A°B，下面分两种情况证明。

(3)

令z=uv(向量乘积)，则对于任意i∈N

再由引理2知

注1当定理1中的k=1时该结论就是文献[3]中的估计式

aiibii+(ρ(A)-aii)(ρ(B)-bii)=2aiibii+ρ(A)ρ(B)-aiiρ(B)-biiρ(A)。

推论1设A=(aij)≥0，B=(bij)∈Mn，则

≤{2aiibii+ρ(A)ρ(B)-aiiρ(B)-biiρ(A)}n。

定理2设A=(aij)，B=(bij)∈Mn，k=1,2；则

(4)

分别为A,B，A[k],A[k]的右perron特征向量，且

A[k]u[k]=τ(A[k[[k],B[k]v[k]=τ(B[k[[k]。

于是

(5)

若D可约，设T=(tij)，t12=t23=…=tn-1,n=tn1=1，除此之外所有的tij=0，因为A,B∈Mn，则对任意给定的正数ε，当ε充分小时构造的新矩阵A+εT,B+εT∈Mn，进一步用A+εT，B+εT替换A,B同时让ε趋近于0，由上面证明的A*B不可约的结果及连续性得此时结论仍然成立。

注2当定理2中的k=1时，就是文献[3]中的结论

推论2设A=(aij)，B=(bij)∈Mn，则

总结：注1和注2说明了本文定理1，定理2给出的结果从理论上改进了文献[3]中的估计式。

下面用数值算例说明当定理1，定理2中的k=2时，所得的结果优于方茂中在文献[3]中给出的相应结果

3数值算例

应用文献[3]中的结果得ρ(A°B)≥54.4156，应用本文定理1得ρ(A°B)≥22.3739，事实上ρ(A°B)=15.7878。

应用文献[3]中的结果得τ(A*B)≥1.5730，应用本文定理2得τ(A*B)≥2.8720，事实上τ(A*B)=3.2296。

参考文献:

[1]Horn R A,Johnson C R.Topics in matrix analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press, 1991.

[2]杜琨.矩阵Hadamard积和Fan积特征值的界[J].华东师范大学学报(自然科学版), 2008(5):45-50.

[3]Fang M Z. Bounds on eigenvalue of the Hadamard product and the Fan product of matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2007(425):7-15.

[4]李艳艳,李耀堂.矩阵Hadamard 积和Fan 积的特征值界的估计[J]. 云南大学学报(自然科学版),2010,32(2):125-129.

[5]李艳艳.非奇异M矩阵的Hadamard积的特征值界的进一步研究[J]. 云南民族大学学报(自然科学版), 2012,22(3):186-189.

[6]高美平.M-矩阵与其逆的Hadamard积的最小特征值下界新的估计式[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2014,(01):90-97.

[7]杨晓英,刘新.M-矩阵及其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值下界的估计式[J]. 山东大学学报(理学版),2012,47(8):64-67.

[8]卢飞龙,何希勤.M-矩阵与其逆的Hadamard积的特征值下界[J]. 辽宁科技大学学报,2010,33(5):555-560.

责任编辑：程艳艳

New Bounds of Eigenvalues of Hadamard Product and Fan Product of Matrices

LI Yanyan， JIANG Jianxin

(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Abstract：The paper gives the definitions of k Hadamard power for nonnegative matrix and r Fan power for M matrix., it uses Cauchy-schwitz inequality (ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)to obtain the spectral radius ρ(A°B)of Hadamard product for nonnegative matrices A and B, as well as some new bounds of minimum eigenvalue τ(A*B)of Fan product for M matrices A and B. These results contain the corresponding conclusions that Fang Mao-zhong gives for this kind of problems.

Keywords：nonnegative matrix; M matrix; Hadamard product; Fan product; eigenvalue