h-差分意义下Hölder不等式的证明及应用

肖志勇，任晓娜

1陇东学院数学与统计学院；2古战九年制学校

h-差分意义下Hölder不等式的证明及应用

肖志勇1，任晓娜2

1陇东学院数学与统计学院；2古战九年制学校

借助于普通意义下Hölder不等式的证明技巧,本文建立了h-差分意义下Hölder不等式.其次利用所建立Hölder不等式得到h-差分意义下的Cauchy-Schwarz不等式和Minkowski不等式.

h-差分分析；Hölder不等式；Cauchy-Schwarz不等式；Minkowski不等式

一、引言

差分方程理论是现在数学研究的一个重要分支,随着差分方程在数学、工程及其他领域的广泛应用[1-4],h-差分方程理论在近几年得到广泛关注[5],但是它的理论研究还很不成熟,有待于进一步探究.众所周知，Hölder不等式在泛函分析及偏微分方程等学科中发挥着重要作用,尽管连续情形下Hölder不等式的理论研究已取得丰富成果[6-8],但对离散h-差分意义下Hölder不等式研究结论仍十分罕见.基于此本文将对离散h-差分意义下的Hölder不等式进行研究.

二、基础知识及引理

以下给出h-差分基础知识,见文献[5]

对于给定实数h＞0.记：

对任意a,b∈Τ，a＜b，记离散区间：

对于定义在[a,b]Τ上的实函数f(t),定义其向前h-差分为

为了在下一部分证明离散h-差分Hölder不等式,我们先给出如下引理

三、主要结果

证明若f(t)≡0或g(t)≡0,t∈[a,b]Τ,则(3.1)式显然成立.所以不妨设f,g在区间[a,b]Τ上不恒为0，则

定义非负函数

由引理2.1有

即有

在(3.2)式两端同乘以

可得

证毕。

特别地,当定理3.1中p=q=2时,便可得如下h-差分Cauchy-Schwarz不等式.

定理3.2(h-差分Cauchy-Schwarz不等式)设f,g是定义在离散区间[a,b]Τ上的实函数,则

证明利用数学归纳法来证明（3.4）式.

（1）当n=2时，显然成立（即为Hölder不等式）；

（2）假设当n=m时成立，即

成立.

由Hölder不等式有

由假设可知

将上式代入（3.6）式即得（3.5）式,结论得证。

接下来,我们利用Hölder不等式来推导h-差分意义下的Minkowski不等式

定理3.4(h-差分Minkowski不等式)设f,g为定义在离散区间[a,b]Τ上的实函数,则

即：

便得

即(3.7)式成立. 证毕。

两边同除以

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