勾股定理史话

2015-12-28 16:11张伟俊
初中生世界·八年级 2015年12期
关键词:毕达哥拉斯平方和直角

张伟俊

有人说,但凡伟大的发现背后都有一个美丽的传说.像勾股定理这样一个伟大的发现,又有什么传说呢?

在我国,勾股定理又被称为商高定理.据西汉古算书《周髀算经》记载:周公问商高:“天不可阶而升,地不可得尽寸而度,请问数安从出?”意思是说:天的高度和地面的一些测量的数字是怎样得到的呢?商高说:“数之法出于圆方.圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三,股修四,径隅五.既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三、四、五,两矩共长二十有五,是谓积矩.故禹之所以治下者,此数之所生也.”即我们常说的勾三股四弦五.什么是“勾、股”呢?在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”,下半部分称为“股”.由此我国古代学者就把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”.商高的意思是:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.这是最早对于勾股定理的记载,但当时并未给予勾股定理的一般形式和证明.由于勾股定理的内容最早见于商高的话中,所以人们就把这个定理叫做“商高定理”.直到公元3世纪,我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时,利用拼图的方法对勾股定理进行了证明,其证明用的拼图,被后人称为“赵爽弦图”. 2002年,国际数学家大会在我国北京举行,“赵爽弦图”被采纳为大会的会标(如图1),这是对我国古代数学辉煌成就的充分肯定.

在国外,对于勾股定理较普遍的称法是毕达哥拉斯定理.相传,在公元前5世纪,古希腊著名数学家毕达哥拉斯到朋友家作客,受朋友家地板图案的启发发现并证明了“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”.当时毕达哥拉斯从平淡无奇的方形地砖密铺的地板发现了“等腰直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”的奥秘,继而思考一般的直角三角形是否也具有类似的性质.通过探究,毕达哥拉斯想出了一种非常简洁的证明方法:如图2,小直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,拼成的两个大正方形面积相等,各去掉四个全等的直角三角形,剩余部分的面积相等,即可得到直角三角形的直角边长a、b和斜边长c满足a2+b2=c2,也就是“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”.这种证明方法在数学上还称之为“无字证明”呢!

据说,毕达哥拉斯在完成这一定理的证明之后欣喜若狂,杀牛百头以示庆贺.因此这一定理还获得了一个带有神秘色彩的称号——百牛定理.后来,古希腊的另一位数学家欧几里德(Euclid)在编著《几何原本》时,认为这个定理是毕达哥拉斯最早发现的,因而称之为“毕达哥拉斯定理”.为了纪念毕达哥拉斯学派,1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票(如图3),图案由三个棋盘排列而成,显示的正是勾股定理的信息.

事实上,在很多国家都有关于勾股定理内容的记载.据了解,在现有的记载中,我国的记载是世界上最早的.我国著名数学家华罗庚,曾经提出这样一个想法:凡是有文明存在的地方,都应该会发现勾股定理.于是,他建议将反映勾股定理的图形(勾三股四弦五)发送到太空去,寻找是否有外星人的存在.

(作者单位:江苏省常州市武进区湖塘实验中学)

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