基于非负矩阵分解的高光谱解混算法研究现状和未来的发展方向

高 钛

（江西科技师范大学通信与电子学院，江西 南昌330000）

0 引言

高光谱遥感数据是一个光谱图像立方体，它包括传统的二维图像空间和一维的光谱信息。由于受到遥感仪器的分辨率的限制，混合像元在高光谱图像中普遍存在。如何从混合像元普遍存在的高光谱图像中准确的提取出端元和端元所对应的丰度，即高光谱解混，已经成为了高光谱图像研究的一个热点。

总体来说，高光谱解混模型主要有以下两种，线性解混模型和非线性解混模型。线性解混模型假定像元光谱是各个端元光谱的线性组合，而非线性解混模型则认为像元光谱是各个端元光谱按照非线性的关系综合而成。由于线性解混模型建模简单，物理意义明确，求解效果令人满意，是当前研究的主流。

基于线性解混模型的算法可以分为：基于几何学的方法和基于统计学的方法。作于统计学方法的一种，非负矩阵分解（NMF）[1]以其能够保证非负性和无需指定迭代步长的优点，让其在高光谱解混领域备受关注。

1 线性混合模型

线性混合模型可表示为：

其中X∈RL×N表示高光谱图像；A∈RL×P表示端元光谱矩阵；S∈RP×N表示丰度矩阵；ε∈RL×N为误差矩阵。L,N,P分别表示光谱的波段数，图像的像素的个数和端元的个数。在线性混合模型，对于每一个像素点，端元矩阵和丰度矩阵都要满足非负性（ANC），丰度矩阵还要满足和为一的约束(SNC):

2 非负矩阵分解算法

非负矩阵分解是一种将一个非负的矩阵分解为两个低秩非负矩阵的乘积的矩阵分解的方法。它是由Lee和Sueng于1999年正式提出的。

因此我们可以把求解NMF的问题看做是一个优化问题。Lee和Sueng提出基于欧式距离和基于K-L散度的求解方法。下面我们将介绍基于欧氏距离的求解方法。

其目标函数如下：

对于目标函数（4）的求解方法都是通过迭代的方法来求解。其基本步骤如下：首先对目标函数（4）求梯度

那么可以得到梯度下降算法的迭代公式为：

3 基于非负矩阵分解的高光谱解混算法研究现状

我们知道在上面提及的基本的非负矩阵分解的目标函数具有非凸性，这让我们求解出来的结果易陷入局部最优的陷阱。为了解决这个问题，提高高光谱解混的稳定性和精度，许多学者通过深入研究高光谱遥感图像的性质后，提出了许多有约束的非负矩阵分解的方法应用于高光谱解混，并取得了很好的效果。

2007年，Miao和Qi提出了一种基于最小体积约束的非负矩阵分解算法[2],该方法通过最小化单形体体积的方式来求解混合光谱数据。2009年,Jia和Qian提出了基于分段平滑和稀疏约束的非负矩阵分解[3]，该方法想非负矩阵分解中分别对端元矩阵和丰度矩阵分别加入了分段平滑性和稀疏性的约束条件。之后他们在2011年提出了基于L1/2稀疏约束的非负矩阵分解[4]，对丰度矩阵加入了L1/2范数的约束。2011年刘雪松提出了丰度分离性和平滑性约束的非负矩阵分解的方法,它考虑了端元之间的关系和每个端元的空间信息，从频域和空间域分别对非负矩阵分解的结果进行约束。受蔡登教授基于图正则化的非负矩阵分解方法的影响，许多学者把图正则化的非负矩阵分解的方法引入到了高光谱混合像元的分解中。2013年Lu在GNMF的基础上加入了L1/2范数的约束提出了图正则化的L1/2非负矩阵分解算法[5]。

4 基于非负矩阵分解的高光谱解混未来研究方向

我们对于基于非负矩阵分解的高光谱解混的研究虽然取得了一定的效果，但是还有许多问题需要我们去解决。我认为基于非负矩阵分解的高光谱解混的未来研究可以从以下几个方向进行展开：

1）现阶段基于非负矩阵分解的高光谱解混的算法已经从简单的单约束转移到了双约束，从单纯的丰度稀疏约束改进到了基于空间结构化稀疏。因此深入挖掘高光谱数据的结构将是未来的一个研究方向。

2）将非负矩阵分解算法进行并行优化。随着高光谱仪器中传感器的在光谱和空间分辨率的提高，这将会导致大量的计算量，现在机器的处理速度将跟不上数据的计算量的增加。由于非负矩阵分解算法的特点很适合进行并行优化来提高计算的速度，因此我们可以利用并行计算对算法进行并行优化设计，来提高算法的效率。这将是未来研究的一个热点。

3）现阶段的研究大部分是基于线性光谱解混模型而进行，对于在非线性混合模型下的基于非负矩阵分解的高光谱解混算法目前研究不多，但是实际上高光谱图像中的光谱是非线性混合的，因此建立一个准确，易于求解的非线性混合模型可能是未来一个潜在的研究热点。

［1］D.D.Lee and H.S.Seung.Algorithms for nonnegative matrix factorization[J].Adv.Neural Inf.Process.Syst.,1999,10,13:556-562,2001.

［2］L.D.Miao and H.R.Qi.Endmember extraction from highly mixed data using minimumvolume constrained nonnegative matrix factorization[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2007,3,45(3):765-777.

［3］S.Jia,Y.Qian.Constrained nonnegative matrix factorization for hyperspectral unmixing[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2009,47(1):161-173.

［4］Y.Qian,S.Jia,J.Zhou,and A.Robles-Kelly.Hyperspectral unmixing via L1/2sparsity-constrained nonnegative matrix factorization[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2011,11,49(11):4282-4297.

［5］X.Q.Lu,H.Wu and Y.Yuan.Manifold Regularized Sparse NMF for Hyperspectral Unmixing[J].IEEE Trans.Geosci.Remote Sens.,2013,5,51(5):2815-2826.