开孔有限平板应力集中问题的有限元分析

谭　林，郭　原

(重庆大学 航空航天学院，重庆　400044)

开孔有限平板应力集中问题的有限元分析

谭林，郭原

(重庆大学 航空航天学院，重庆400044)

摘要：针对中心带有圆孔的有限宽平板的应力集中问题，利用软件ABAQUS对其进行有限元分析。定义了孔边应力集中系数K和描述板宽与孔径相对尺度的特征参数ξ，研究得到了反映不同板宽下孔边应力集中程度的ξ-K关系曲线图，并将其与无限大板宽情形下的解析解进行比较，给出解析解的适用范围。在此基础上，数值分析了不同形状的椭圆孔口应力集中问题，并对椭圆尖端奇异性进行简要讨论。

关键词：开孔有限平板；应力集中；圆孔；椭圆孔；相对尺度

开孔构件在机械、车辆、土木以及航空航天等工程领域中有着广泛应用。由于开孔，孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大于距离孔口较远处的应力，这种现象被称为“孔边应力集中”[1]。由于孔边的应力水平较高，开孔构件在承受较小载荷时，孔边应力集中区域很可能已经产生塑性变形。尤其是当零件受周期性变化的应力或受冲击载荷作用时，应力集中对零件的强度有严重影响，往往是零件破坏的根源[2]。因此，开孔构件的应力集中问题是工程设计中的关键问题之一。

工程上通常定义孔边最大应力与板件远场应力之比为应力集中系数，用以表征应力集中的程度。应力集中系数与孔的形状有关[3]。一般而言，圆孔的应力集中程度相对较低，在结构设计中应对其优先考虑。此外，考虑到具有尖角的孔口在尖角处会发生高度的应力集中，工程中通常用近似于圆形的孔——椭圆孔予以代替。因此，研究带有不同形状的椭圆孔口的平板应力集中问题具有一定的工程应用价值。此外，带孔平板应力集中问题作为弹性力学中的经典问题，自德国的G.Kirsch首先得出圆孔附近的应力分布结果以来，引起了众多中外学者的广泛关注[4-6]。但他们多采用弹性力学基本理论，借助复变函数和保角变换等数学方法，进而求得无限大板宽的孔边应力分布的解析解。但工程中的构件常常不能当作“无限大”来处理，而孔边应力集中系数又会随着板宽的不同而发生显著改变，故较为准确地求解带孔有限宽平板的应力集中问题尤为重要。

本文利用有限元软件ABAQUS，对受单轴均布拉伸载荷作用下的有限宽中心圆孔板进行有限元分析，并研究不同板宽对孔边应力集中系数的影响。在此基础上，探讨了固定板宽下，中心带有不同形状的椭圆孔口(即不同的长、短半轴)的平板应力集中问题，并与解析解进行比较。

1基于ABAQUS的开圆孔有限平板应力集中问题研究

1.1　开圆孔无限大平板孔边应力集中问题的理论解答

圆孔应力集中问题的力学模型如图1所示：一个x方向承受均布载荷q的板宽为L的正方形平板，板中有半径为r的小圆孔，平板厚度远小于其宽度。

图1　带圆孔平板力学模型

由于小圆孔的存在，平板内的应力分布必然会受到影响，但根据圣维南原理，这种影响仅局限于孔的附近区域，在距离孔边的较远处，此影响显著减小。故在经典弹性力学理论中，当平板宽度远远大于小孔半径时，可得如下基尔斯解答[1,7]：

(1)

沿着y轴，即当φ=90°时，环向正应力为

(2)

(3)

称为应力集中系数(stressconcentrationfactor)，本文K=3。

1.2　基于ABAQUS的不同板宽的圆孔孔边应力集中问题研究

在工程实际中，有限板宽下的孔口应力集中问题可借助有限元软件ABAQUS得到近似解答。平板材料采用高纯度镍[8-10]，其弹性模量E=207 000MPa，泊松比ν=0.312。对于图1所示的力学模型，考虑到平板厚度远远小于板宽，故可将其视为平面应力问题。而基于结构和载荷的对称性，只需取模型的1/4进行分析。边界条件设定为：x=0，ux=0；y=0，uy=0。平板右端所受均布载荷q=2MPa。由于孔边附近会出现应力集中，为了保证计算精度，对靠近孔边的局部区域需细化网格，如图2所示。

图2　孔边附近细化网格

表1　ξ-K关系表

图3　ξ-K关系曲线

分析表1和图3可知：当ξ≤8时，孔边应力的分布情况受到边界条件的影响，相对误差较大(最大已超过114.77%)。此时，由于开孔而减少的截面尺寸等因素也会对应力值产生较大影响，已不能称其为“小孔口问题”，但K会随着ξ的增大而迅速减小。当ξ≥9时，随着ξ的继续增大，K继续缓慢减小直至趋近于解析值3。若按照工程中常用的相对误差小于5%的标准考虑，则此时有限宽带孔平板的孔边应力集中问题可作为无限宽带孔平板近似处理。此外，不妨考察当ξ=20时，平板的应力分布情况，如图4所示。由x方向的应力云图可知，其应力分布主要有2个明显特点：一是集中性，孔口附近应力远大于较远处应力，且应力最值发生在孔边上；二是局部性，由于小孔引起的应力扰动，主要发生在距离孔边1.5d的局部范围内[1]。这些特点和前文所述的此问题的理论分析吻合较好，从侧面论证了本文所建立的有限元计算模型具有较好的适用性及合理性。

图4　平板σx的应力分布(ξ=20)

2基于ABAQUS的开椭圆孔有限平板应力集中问题研究

考虑到带有椭圆形孔口的构件在工程中被广泛应用，而其应力集中程度受到椭圆孔口形状的影响较大。因此，有必要进一步探讨单轴均拉作用下的带有椭圆孔口的平板应力集中问题。现考虑如图5所示的力学模型，其中a，b分别为椭圆的长、短半轴。在弹性力学中，借助复变函数和保角变换等数学方法，可求得带椭圆孔平板的应力分布情况，而且最大周向拉应力出现在椭圆长轴的两端，椭圆孔口的应力集中系数为[11]：

(4)

结合前文相关研究，出于控制变量的考虑，将板宽L固定为40 mm，长轴2a定为2 mm。另外，平板材料、单元类型以及均布载荷等工况与圆孔问题保持一致。现基于ABAQUS软件平台，有规律地改变b，分析对应于不同b/a情况下的平板应力分布情况，求得相应的K值，将其与解析解进行比较并计算其相对误差，详见表2和图6。

图5　带椭圆孔平板力学模型

图6　b/a-K关系曲线

b/a0.10.20.30.40.50.60.70.80.91K-解析解21117.6667654.33333.85713.53.22223K-数值解15.60569.47697.32965.97605.06574.41353.93453.57053.28483.0466δ(100%)25.687713.84634.39700.40031.31471.84912.00432.01371.94171.5535

由表2与图6可知：椭圆孔口应力集中系数随着短轴b的增大而减小，直至b=a时(即椭圆的特殊情况——圆孔)，K趋近于3。观察其相对误差，当 b/a≥0.3时，两者吻合较好(误差均在5%以内)；但当b/a<0.3时，误差较大。其原因大于，随着b的不断减小，在椭圆长轴两端会逐渐出现几何奇异性，进而导致椭圆尖端的高度应力集中，采用的常规单元已经不能较准确地反映椭圆尖端的奇异性。因此，为得到可靠的结果，尖端的网格必须划分得足够细(网格尺寸通常为(10-2~10-3)×2a)，或者采用诸如奇异元素法、汇聚参数法等特殊有限元法[12]。

3结论

1) 利用有限元软件ABAQUS，对受单轴均布拉伸载荷作用下的有限宽中心圆孔板进行数值分析，研究了应力集中系数K随特征参数ξ的变化规律，并将其与解析解比较得出(详见表1和图3)：当ξ≤8时，K会急剧增大；当ξ≥9时，K会随着ξ的继续增大而缓慢减小直至趋近于解析值3，其相对误差均在5%以内。即在工程实际中，只有当ξ≥9时，有限板宽的孔边应力集中系数才可用无限大板宽下的解析解近似代替。

2) 基于ABAQUS，进一步探讨了中心带有椭圆孔口的平板应力集中问题，数值验证了孔边应力集中系数K与椭圆短、长半轴之比b/a之间的关系(详见表2与图6)，并将其与解析解比较得出：当b/a≥0.3时，两者吻合得较好；当b/a<0.3时，误差较大，即此时再用常规单元已不能较准确地反映椭圆尖端的奇异性。

3) 本文的研究为工程中开孔构件的设计及其力学分析提供一定的参考。值得注意的是：由于本文考虑的是带孔薄板(厚度远小于板宽)，故可将其视作平面应力问题处理。在工程中，当沿厚度方向上的应力变化不可忽略时，宜采用三维有限元模型以得到更为精确的结果[13]。另外，若令椭圆的短半轴b趋于零，椭圆孔口则退化为长度为2a的穿透型裂纹，此时裂纹尖端的应力分布将是理论和工程研究的重点[14-16]。

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(责任编辑刘舸)

收稿日期：2015-03-16

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11372365)；煤矿灾害动力学与控制国家重点实验室自主研究课题重点项目(2011DA105287-ZD201403)

作者简介：谭林(1990—)，男，重庆万州人，硕士研究生，主要从事结构振动与控制、冲击动力学研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.07.006

中图分类号：O343.4

文献标识码：A

文章编号：1674-8425(2015)07-0035-05

FiniteElementAnalysisofFinitePlatesfor
StressConcentrationofHoles

TANLin,GUOYuan

(CollegeofAerospaceEngineering,ChongqingUniversity,Chongqing400044,China)

Abstract:The stress concentration problem of finite-width plates with a central circular hole were analyzed in terms of finite element method by ABAQUS software. We defined the stress concentration factor K and characteristic parameter ξ used to describe the relative scale between the width of plates and the diameter of the circular hole. By means of a series of numerical experiments, the ξ-K curve was obtained to reflect the stress concentration level around the hole and then compared with the analytical solution to get its scope of application. In addition, the stress concentration phenomena of elliptic holes with various shapes were numerical analyzed. Besides, the singularity of elliptic tip was discussed briefly.

Key words:finite plates with holes; stress concentration; circular hole; elliptic hole; relative scale

引用格式：谭林，郭原.开孔有限平板应力集中问题的有限元分析[J].重庆理工大学学报：自然科学版，2015(7):35-39.

Citationformat：TANLin,GUOYuan.FiniteElementAnalysisofFinitePlatesforStressConcentrationofHoles[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience，2015(7):35-39.