参数不确定时滞随机系统的滑模变结构控制＊

张伟伟，亓会平，常美华

（潍坊学院，山东 潍坊 261061）

变结构控制是20世纪50年代在前苏联产生的一种控制策略。它有许多优点，特别是对系统的摄动和干扰有较强的鲁棒性，是一种很有前途的综合方法。

近年来，关于时滞系统的鲁棒镇定和鲁棒稳定的研究一直很活跃［1-10］。由于系统在运动过程中往往会受到外界随机因素的干扰［4-8］。因此，研究时滞随机系统的变结构滑模控制是有必要的和有意义的。本文利用Lyapunov方法，在几乎必然稳定的意义下，给出了存在滑动模态的充分条件，并且进一步设计了到达运动控制器。

1 系统模型描述

考虑线性参数不确定时滞随机系统

的变结构问题。其中Aτ，ΔAτ，A，ΔA∈Rn×n，B∈Rn×m，D∈Rn×m；x（t）∈Rn，u（t）∈Rm。（Ω，F，｛Ft｝t≥0，P）是完备的滤子概率空间，Ω 是样本空间，F 是Ω 上的σ 代数，｛Ft｝t≥0是Ω 上的单调递增的子σ 代数族（滤子），P 是定义在其上的概率测度。w（t）∈Rm是完备滤子概率空间（Ω，F，｛Ft｝t≥0，P）上的标准m 维纳过程，且同时满足E（wT（t）w（t））=I，E（w（t））=0，E（x（0）wT（t））=0。φ（t）是任意已知的满足给定条件的连续状态向量。

假设矩阵对（A，B）是可控的，干扰ΔAx（t），ΔAτx（t-τ）满足完全匹配条件：ΔA=BE，ΔAτ=BF。

2 滑动模态设计

取切换函数为

其中，S（t）=（S1（t），S2（t），…，Sm（t））T∈Rm×1。C，G 是常数矩阵，且C 满足CB 非奇异，CD=0，G 是控制反馈增益矩阵。

对（2）式关于时间t微分得

令S′（t）=0，则得到等效控制

把ueq带入系统（1）得，滑模动态方程

其中，I表示单位矩阵。由于在滑模块上对干扰具有不变性，且由完全匹配条件成立知滑动模存在。从而，滑动模系统（3）对干扰ΔAx（t）+ΔAτx（t-τ）具有不变性，（3）简化为

从而，怎么设计控制器u（t）以保证滑动模的存在和怎样选择控制反馈增益矩阵G 使得系统的解可以到达滑动模是本文的主要问题。

3 到达运动控制器的设计

对随机系统（1）选取滑动流形S（t）=0，构造变结构控制律

其中，sgn（S（t））=（sgn（S1（t）），sgn（S2（t）），…，sgn（Sm（t）））T，k＞max｛‖ΔA‖，‖ΔAτ‖｝，α＞0。‖x（t）‖表示向量x（t）的2-范数，‖ΔA‖，‖C‖表示矩阵ΔA，C 的2-范数。

在变结构控制律（3）的作用下，系统（1）的闭环系统为

定义1 对于闭环系统（6），发生在滑动流形S（t）=0上的运动称为滑动模运动。从任意位置φ（t）出发的运动如果能在有限时间内，几乎必然满足S（t，x（t））=0，则称滑动模具有可达性。

引理1 对系统（1），如果选取Lyapunov函数V（S（t））如下

且E（wT（t）w（t））=I，CD=0成立，则有

证明 由Ito定理知

又CD=0，故

证毕。

注1 系统（4）的滑动模的动力学行为与矩阵C 无关，只要C 的选取满足CD=0即可。

定理1 对系统（1），如果CD=0，令控制器为

则系统可由控制律（5）在有限时间内驱动，以概率1收敛到切换超面S（t）=0，且在其余的时间内在滑动面上达到稳定。

证明 对（2）式关于时间t微分，然后乘以ST（t），得

把S′（t）的表达式代入（7），得

从而，

这意味着系统（1）以概率1收敛到S（t）=0，且在其余时间内达到稳定。

4 结束语

本文利用滑模控制原理，基于Lyapunov 函数方法，给出了系统存在滑动模态的充分条件，又在此基础上给出了到达运动控制律。该策略能保证闭环系统几乎必然渐近稳定。

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