基于动态轧制力的四辊冷轧机七自由度振动特性研究

基于动态轧制力的四辊冷轧机七自由度振动特性研究

刘浩然1，张莹2，时培明3，赵红旭3

(1. 河北省 特种光纤与光纤传感实验室，秦皇岛066004;2.天津 一重电气自动化公司，天津300457； 3.燕山大学电气工程学院，秦皇岛066004)

摘要：针对四辊冷轧机座辊系系统，考虑轧辊振动位移对轧制力影响，建立基于动态轧制力的非线性七自由度振动模型；用平均法求解该模型获得系统的幅频特性方程，利用奇异性理论获得系统的分岔行为。通过现场数据分析各参数对幅频特性及对系统分岔、混沌特性影响。可为四辊冷轧机的动力学研究、抑制振动提供理论参考。

关键词：四辊冷轧机；动态轧制力；平均法；分岔；混沌

中图分类号:TH113.1;TB123文献标志码：A

基金项目：国家973基金资助项目(2011CB0132005)

收稿日期：2014-11-12修改稿收到日期：2015-05-20

收稿日期：2014-07-22修改稿收到日期：2014-12-18

Vibration characteristics of a cold rolling mill with a model of seven degrees of freedom and their influence on dynamic rolling force

LIUHao-ran1,ZHANGYing2,SHIPei-ming3,ZHAOHong-xu3(1. College of Information Science and Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China；2. Tianjin first heavy Electric Automation Co.,Ltd, Tianjin 300457, China；3. Institute of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:Considering the influence of roll vibration on the rolling force, a nonlinear seven degrees of freedom vibration model was established for the stand rolls system of a four-roll cold mill. The amplitude-frequency characteristic equation of the nonlinear multiple degrees of freedom model was derived by using the average method, further, the bifurcation behavior of the system was revealed in light of the singularity theory. The influence of various parameters on the amplitude-frequency characteristic, and the bifurcation and chaos characteristics of the system were analysed with practical data. The results provide a theoretical reference for studying the kinematics and inhibiting the occurrence of vibration of four-roll cold tandem mills.

Key words:four-roll cold mill; dynamic rolling force; average method; bifurcation; chaos

轧机座系统(尤其高速冷连轧机)在轧制过程中，辊系普遍存在的垂直振动会造成板带厚度波动及表面振痕，严重影响板带质量，降低生产效率，并威胁设备的生产安全，为亟需解决之问题[1-2]。

Younes等[3]据实验所得工艺参数建立轧机座线性垂直振动模型，且将轧件等效成具有线性刚度的弹性元件。马维金等[4]提出六自由度集中质量模型，利用MATLAB软件计算模型的固有频率，并与现场测试结果对比验证模型的正确性。杨旭等[5]通过建立两自由度垂向系统非线性自激振动模型，分析非线性参数变化对系统稳定性及振动特性影响，并利用数值方法验证理论推导结果的正确性。侯东晓等[6]通过分析非线性刚度、阻尼等参数对系统振动影响知，非线性刚度变化会引起激励幅值跳跃。因冷连轧机轧制过程的复杂性，多自由度模型更能正确反映轧机的工作状态，因此本文考虑轧辊振动位移对轧制力影响，建立七自由度非线性垂直振动模型；并用平均法对该系统解析求解；据某厂实际参数，通过仿真验证分析系统的幅频特性、分岔及混沌特性，为抑制轧机辊系间发生振动提供理论依据。

1轧机座辊系七自由度非线性垂直振动模型

1.1垂直振动力学模型

对轧机垂直系统一般采用集中参数模型，即将垂直模型视为若干惯性元件与弹性元件组成的质量弹簧系统。本文将四辊轧机垂直系统简化为七自由度弹簧质量系统计算模型，见图1。其中，m1～m7分别为上机架、液压缸、上支撑辊系、上工作辊系、下工作辊系、下支承辊系及下机架等效质量；k1，c1分别为上、下机架间等效刚度及阻尼；k2，c2分别为上机架与液压缸间等效刚度及阻尼；k3，c3分别为液压缸与上支承辊间等效刚度及阻尼；k4，c4分别为上支承辊与上工作辊间等效刚度及阻尼；k5，c5分别为上、下工作辊间等效刚度及阻尼；k6，c6分别为下工作辊与下支承辊间等效刚度及阻尼；k7，c7分别为下支承辊与下机架间等效刚度及阻尼；k8，c8分别为下机架与地面间等效刚度及阻尼；ΔP为轧制力变化量。

1.2垂直振动数学模型

据垂直振动动力学模型得轧机机械结构振动方程为

(1)

考虑轧机工作过程中上下辊振动位移、速度时刻变化，因此本文采用动态轧制力模型[7]，即

P(x)=P(x0)+ΔP(Δx)

(2)

式中：P(x0)为未发生振动时轧制力；ΔP(Δx)为动态轧制力变化量，Δx=Δx4-Δx5为上下工作辊位移变化量之差。

ΔP(Δx)=b1Δx+b2Δx2+b3Δx3

(3)

以上工作辊为研究对象，考虑动态轧制力下用轧制力变化量代替上下工作辊间等效刚度及阻尼，据图1模型得上工作辊的振动方程为

P(x0)+ΔP(Δx)

(4)

令x3=x30+Δx3，x4=x40+Δx4，x5=x50+Δx5，且x30、x40、x50为稳态位移，Δx3、Δx4、Δx5为位移变化量，则式(4)转化为

k4(x30+Δx3-x40-Δx4)=

P(x40-x50)+ΔP(Δx4-Δx5)

(5)

P(x40-x50)=-k4(x30-x40)

(6)

将式(3)、(6)代入式(5)，得关于位移变化量的非线性振动方程为

k4(Δx3-Δx4)-b1(Δx4-Δx5)-

b2(Δx4-Δx5)2-b3(Δx4-Δx5)3=0

(7)

为便于表达，令x3=Δx3，x4=Δx4，x5=Δx5，x=Δx4-Δx5，则式(7)可转化为

b1x-b2x2-b3x3=0

(8)

2七自由度非线性振动方程振动响应分析

2.1平均法求解系统非线性振动响应方程

冷连轧机轧制过程中机座的垂直辊系系统会受前后机座及周围环境影响，从而影响板带表面质量。设轧机受周期性外部扰动Q，则式(1)可写为

(9)

式中：Q为外部扰动矩阵。

当动态轧制力中非线性项为高阶小量时，可认为式(9)的解具有形式为

(10)

由平均法可解出

(11)

式中：

(12)

设上工作辊受外部扰动为q4cos(ωt)，由式(12)得

f4(aj,θj,φj)=

K45a5cosφ5)-(C43a3sinφ3+C44a4sinφ4+

b2(a4cosφ4-a5cosφ5)2+b3(a4cosφ4-

(13)

则(aj,θj)的微分方程为

(14)

由平均法定义，可导出系统的平均化方程为

(15)

式中：

b2(a4cosφ4-a5cosφ5)2sinφ4+b3(a4cosφ4-

a5cosφ5)cosφ4+b2(a4cosφ4-a5cosφ5)2cosφ4+

(17)

系统(9)与激励同频的解为

xsj=asjcos(ωt-θsj),(j=1,2,…,7)

(18)

对应平均化方程(15)的非零平衡点(asj,θsj)，满足超越方程为

U4(asj,θsj)=0，S4(asj,θsj)=0

(19)

由式(19)导出系统的幅频特性曲线为

(20)

2.2系统非线性幅频特性分析

以某四辊轧机实际参数为例，机架辊系各部等效质量见表1，等效刚度见表2，等效阻尼见表3。其中，q4=1.5×105N；b1=-2.291 8×1010N/m；b2=-9.769 5×1012N/m；b3=-9.345 2×1016N/m。

表1　机架辊系各部分等效质量(kg)

表2　机架辊系各部分等效刚度(GN/m)

表3　机架辊系各部分等效阻尼(MN·S/m)

因动态轧制力代替上下工作辊间等效阻尼及刚度，故K44=k4，C44=c4。c4，k4取不同数值时，由仿真获得上工作辊振动方程的幅频特性曲线，见图2、图3。由图2看出，阻尼因子不仅影响振幅，亦影响共振区域，且阻尼因子增大振幅减小，共振区域亦减小。由图3看出，刚度主要影响共振振幅，即刚度增加系统共振振幅逐渐增大。

图2　不同阻尼下幅频曲线 Fig.2 The amplitude-frequency curves under different damping

图3　不同刚度下幅频曲线 Fig.3 The amplitude-frequency curves under different stiffness

3系统非线性分岔特性分析

式(20)两边同除以J1，得系统分岔响应方程为

(21)

式中：l=-(J2-J3ω2)/J1；h=(J4ω4+J5ω2+J6)/J1；

g=(J7ω2+J8)/J1。

将式(21)两边同乘以a4，得

(22)

据奇异性理论，此时系统的转迁集为

(1)分岔点集：B0(Z2)=B1(Z2)=φ(φ为空集)

(2)滞后点集：H0(Z2)={h=0}，H1(Z2)={h=l2/3,l≤0}

(3)双极限点集：D(Z2)={h=l2/4,l≤0}

(4)转迁集：∑=B0∪B1∪H0∪H1∪D

系统转迁集将平面分成四个区域(1)、(2)、(3)、(4) 见图4，转迁集临界点与各区域对应的分岔拓扑见图5。图5中(1)反映系统在分岔点处于稳定状态，而(2)、(3)、(4)则表示在分岔点出现滞后、跳跃现象，造成轧机产生振动。因此应将开折参数选在系统的稳定区域。

图4　转迁集 Fig.4 Transition

图5　分岔拓扑结构 Fig.5 Bifurcation topology

4七自由度非线性系统混沌特性分析

冷连轧机轧制工艺的复杂性决定整个轧制过程会呈现不同的运动状态。轧机辊系系统全局分岔见图6、图7。由两图看出，系统出现周期、阵发性混沌及倍周期分岔等多种不同运动状态。外扰力取不同值时相轨迹及Poincare截面见图8～图12。

图6　外扰力q 4变化时分岔图 Fig.6 Bifurcation with changing of external incentive force q 4

图7中，当外扰力q4<3.3×105时，Lyapunov指数位于零位以下，系统处于稳定的周期性运动状态。图8中，q4=1×105时相轨迹由三条闭合曲线组成，Poincare截面由三个孤立点组成，反映出此时系统处于周期运动状态。

图7　Lyapunov指数 Fig.7 Lyapunovexponent

图8　q 4=1×10 5时相轨迹与Poincare截面 Fig.8 The phase trajectories and Poincare with q 4=1×10 5

图9　q 4=3.3×10 5时相轨迹与Poincare截面 Fig.9 The phase trajectories and Poincarewith q 4=3.3×10 5

图10　q 4=5×10 5时相轨迹与Poincare截面 Fig.10 The phase trajectories and Poincarewith q 4=5×10 5

图11　q 4=6.5×10 5时相轨迹与Poincare截面 Fig.11 The phase trajectories and Poincarewith q 4=6.5×10 5

图12　q 4=8×10 5时相轨迹与Poincare截面 Fig.12 The phase trajectories and Poincare with q 4=8×10 5

外扰力q4处于3.3×105～4×105区间时系统发生阵发性混沌，由图7 Lyapunov指数曲线在零位以上、以下交替出现，即系统运动状态在混沌运动与周期运动状态之间切换。由图9看出，q4=3.3×105时相轨迹与Poincare截面的图像表述均满足系统阵发性混沌特征。外扰力q4处于4×105～6×105区间时系统处于稳定的周期运动状态。由图10相轨迹与Poincare看出，系统相轨迹由八条闭合曲线组成，Poincare截面由八个孤立点组成，此时系统处于周期8运动状态。当q4=6.5×105时系统由阵发性混沌退化为周期3运动。由图11看出，相轨迹反复缠绕，Poincare截面出现混沌吸引子，且图7Lyapunov指数位于零位以上，证明系统此时处于混沌运动状态。当q4=8×105时系统再次发生阵发性混沌，由图12看出，Poincare截面出现混沌吸引子，Lyapunov指数大于零，满足系统混沌状态特征。

5结论

(1)考虑工作辊在轧制过程中振动因素对轧制力影响，建立基于动态轧制力的七自由度非线性振动模型。

(2)用平均法求解七自由度非线性振动方程获得上工作辊的幅频特性方程。分析幅频曲线知，阻尼因子增大共振振幅、区域逐渐减小；刚度增大共振振幅增加。

(3)利用奇异性理论讨论系统分岔特性，确定使系统稳定运行的开折区域。分析分岔图、Lyapunov指数、相轨迹及Poincare截面知，外扰力变化会使系统呈现不同运动形式。

参考文献

[1]瞿志豪,王康健,魏立群,等．冷连轧机颤振的一种振因研究[J]．机械设计与研究,2006,22(1):89-92.

QU Zhai-hao,WANG Kang-jian, WEI Li-qun,et al. A study of the chatter cause on the cold tandem rolling mill[J]. Machine Design and Research, 2006, 22(1): 89-92.

[2]闫晓强.连轧机振动控制重要进展综述[J]. 冶金设备, 2013(2): 55-57.

YAN Xiao-qiang. Important progress on tandem rolling mill vibration control[J]. Metallurgical Equipment, 2013(2): 55-57.

[3]Younes M A, Shahtout M, Damir M N. A parameters design approach to improve product quality and equipment performance in hot rolling[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2006, 171(1): 83-92.

[4]马维金,李凤兰,王俊元,等．四辊轧机的六自由度垂直振动模型研究[J].中国机械工程,2011,22(24):2962-2965.

MA Wei-jin, LI Feng-lan, WANG Jun-yuan,et al. Modelling and validation of vertical vibration with 6 degrees of freedom for 4-high hot strip mill stand[J]. China Mechanical Engineering, 2011, 22(24): 2962-2965.

[5]杨旭,李江昀,童朝南. 冷轧机垂向辊系非线性振动建模与稳定性分析[J]．振动、测试与诊断,2013,33(2): 303-307.

YANG Xu, LI Jiang-yun, TONG Chao-nan. Nonlinear vibration modeling and stability analysis of vertical roller system in cold rolling mill[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013, 33(2): 303-307.

[6]侯东晓,陈浩,刘斌,等轧机辊系垂直非线性参激振动特性分析[J]．振动与冲击,2009,28(11):1-6.

HOU Dong-xiao, CHEN Hao, LIU Bin,et al. Analysis on param etrically excited nonlinear vertical vibration of roller system in rolling mills[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(11): 1-6.

[7]侯东晓,朱月,刘浩然,等. 基于动态轧制力的冷轧机非线性振动特性研究[J]．机械工程学报,2013,49(14):45-50.

HOU Dong-xiao, ZHU Yue, LIU Hao-ran,et al. Research on nonlinear vibration characteristics of cold rolling mill based on dynamic rolling force[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(14): 45-50.

第一作者董得义男，博士，副研究员，1979年生

通信作者李志来男，研究员，1965年生

第一作者张大海男，博士生，1988年生

通信作者费庆国男，教授，1977年生