悬臂梁式微加速度计动力学分析

高东强， 杨　磊， 郭　健， 韩　昆

(1.陕西科技大学 机电工程学院， 陕西 西安　710021； 2.长安大学 工程机械学院， 陕西 西安　710064)



悬臂梁式微加速度计动力学分析

高东强1， 杨磊1， 郭健2， 韩昆1

(1.陕西科技大学 机电工程学院， 陕西 西安710021； 2.长安大学 工程机械学院， 陕西 西安710064)

摘要：微加速度计是MEMS的关键部分之一.为保证微加速度计工作时的精确性和稳定性，对其进行动力学特性分析具有十分重要的理论意义.通过建立系统等效模型，再从悬臂梁的振动特性和气动性能等两部分进行了研究.对于振动特性，运用有限元分析软件ANSYS Workbench进行了模态分析，得到了前六阶振动频率和振型.在谐响应分析下，得到了悬臂梁不同频率的应力频率响应和位移频率响应曲线，由此确定了悬臂梁式微加速度计的频响范围；对于气动性能，主要是从悬臂梁与容器壁面间隙在1～9 μm来研究悬臂梁.利用流体计算软件FLUENT研究了悬臂梁周围截面流场及其悬臂梁流场的变化，得到了悬臂梁周围截面流场的压力分布和流速分布图，以及在不同间隙情况下悬臂梁表面的压强分布和流速分布图.最后得出，当间隙为5 μm时，气体对悬臂梁的阻尼影响最小，微加速度计的量程最大，从而得出了这种悬臂梁式微加速度计的量程.

关键词：MEMS； 微加速度计； 微悬臂梁； 振动特性； 气动性能

0引言

MEMS技术的快速发展，使得其对微加速度计的性能要求越来越高.因此，对微加速度计的研究就显得尤为重要.通常，微加速度计是测量加速度的惯性器件[1].按照传感器原理划分，主要有压阻式、悬臂梁式、压电式以及谐振式加速度计等[2].微加速度计是一个较复杂的小系统[3].

本文主要是对微加速度计的机械部分进行研究.它的机械部分可以等效为具有惯性质量的二阶弹簧阻尼系统.如图1所示，梁的有效刚度为K，质量块为M，影响动态性能的阻尼系数为D.工作时,这个悬臂梁式微加速度计的外部将测量质量块和梁产生的位移，与此同时相应地改变了梁的内部应力，利用悬臂梁位移和应力的变化可以测量加速度.

(a)加速度计结构简图

(b)等效弹簧-质量-阻尼系统图1　加速度计等效结构

1悬臂梁式微加速度计建模

微加速度计的种类很多，本文建立的微加速度计模型如图2所示.其结构简单，且灵敏度较高，同时表1给出了具体结构尺寸参数.这种简单的悬臂梁模型结构，在其表层上面同时含有检测质量和位移的敏感元件.

图2　悬臂梁结构

参数L/μmb/μmte/μmtp/μmd31/(pc/N)数值210300.52.02.3

图2所示悬臂梁可认为其惯性载荷是沿着梁纵向分布，此悬臂梁式微加速度计的灵敏度变化是来自惯性载荷所引起梁的纵向变形.

在表1中，d31表示横向压电耦合系数，b表示梁的宽度，L表示梁的长度，tp表示弹性梁基底的厚度，te表示压电层的厚度.

2有限元分析

悬臂梁材料选用铝.铝在常温下密度ρ=2.7×103kg/m3,弹性模量E=7.2×104MPa,泊松比μ=0.33，抗拉强度是80～100 MPa，屈服强度是100～170 MPa，疲劳极限强度是32 MPa，具有很强的耐腐蚀性、密度小、质量轻等特点[4].

2.1模态分析

对梁的模态分析，包括静模态特性分析与动模态特性分析[5]，主要研究它的固有振动频率和振型的变化规律，以及在预应力作用下梁的振动频率的变化规律.

依据梁在工作中的安装情况，参照右手笛卡尔直角坐标系定则，把坐标原点O设置在梁左侧面中心，X轴方向与梁长度方向一致，Y轴方向与宽度方向一致，Z轴方向与梁上下摆动平面垂直.

对梁进行边界条件设置时，为了模拟实际工况，应对悬臂梁左侧面进行位移约束.悬臂梁进行网格划分后，得到了18 900个网格单元、97 147个节点.

2.1.1微悬臂梁的静模态分析

根据梁的实际工况，提取前六阶模态响应，其固有频率数据如表2所示，振型图如图3所示.

表2　模态分析结果汇总

(a)一阶

(b)二阶

(c)三阶

(d)四阶

(e)五阶

(f)六阶图3　悬臂梁前六阶振型

由图3可知，梁振动形式主要有两种：弯曲和扭转.第一、二、三阶振型以弯曲为主，第四阶以扭转为主，第五阶主要是弯曲振动，第六阶为弯曲与扭转的耦合振动.由振动理论可知，在梁振动过程中，能量主要集中在一、二阶频率处，而扭转振动发生在高阶频率处.因此，悬臂梁的主要振动形式为弯曲振动.

2.1.2微悬臂梁的动模态分析

梁在工作过程中,受到的载荷主要是纵向载荷，则可认为所受的力为恒定载荷.此时,可以对外载荷所产生的预应力进行动频特性分析.

由于发生振动时的各阶振动形式不发生变化，振幅的大小与所给的外激励的振动频率有关，因此，在研究悬臂梁振动特性时，最关心的问题是梁振动频率.通过有限元仿真，在存在预应力的情况下，求解得到动模态分析的频率如表3所示.

表3　载荷对振动频率的影响(单位：Hz)

表3给出了梁在不同载荷作用下，前六阶动模态频率的仿真结果.在恒定载荷10 N、20 N预应力作用下，梁的各阶动模态频率与静频率大小一样；在40 N作用下，梁第六阶频率比静频率大1 Hz；而在100 N下，梁仅仅是在第三阶的频率比静频率大4 Hz、第四阶的频率比静频率大7 Hz、第六阶的频率比静频率大11 Hz.

由此可知，当载荷为10 N或者更小时，对梁的振动频率几乎没有影响；在20～80 N范围时，对梁的振动频率影响亦很小，梁的主要振动发生在一阶和二阶频率上，此时纵向外载荷对低阶频率并无影响.因此，可以得出：当悬臂梁在实际工作时，外载荷几乎不会对梁振动频率产生影响.

梁在静模态分析和动模态分析中，在不同外载荷下频率几乎不发生变化.因为梁的长度可以影响微悬臂梁加速度计的灵敏度，那么我们假设在外载荷一定时，就可以求解出尺寸参数对频率的影响.依次定义梁的长度L=180 um，L= 190 um，L=200 um，L= 210 um，L= 220 um，L=230 um，L=240 um等，列为方案一到方案七.利用ANSYS Workbench进行多次分析,得到了梁在不同尺寸影响下的频率值，其结果如图4所示.

图4　不同尺寸参数对振动频率的影响曲线

由图4可知，在梁的一阶频率中，当长度尺寸为180μm时，频率为63 879 Hz；尺寸为210μm时，频率为46 859 Hz；尺寸为240μm时，频率为35 833 Hz；随着尺寸增大，频率逐渐减小.同样，在第二、三、四、五、六阶频率中也是一样的.从而得出：当悬臂梁随着尺寸的不断减小时，其频率不断增大.

2.2谐响应分析

谐响应分析主要用来确定线性结构在承受持续的周期载荷时的周期性响应(谐响应).对梁进行谐响应分析，就是通过计算梁结构在周期载荷下不同频率时的响应值(通常为应力-频率响应和位移-频率响应曲线)，找出曲线上的峰值点，并获得峰值频率对应的应力，从而为能否克服共振、疲劳等受迫振动所引起的有害影响提供依据[6].

梁的一端为全约束，对另一端施加正弦载荷，在纵向载荷力为10 N的情况下，研究其在振动频率范围内因受迫载荷所产生的应力响应值和位移响应值.通过分析，得出如图5所示的应力F与频率f的关系曲线，以及图6所示的位移S和频率f的关系曲线.

图5　应力-频率响应曲线

图6　位移-频率响应曲线

从图5可看出，梁在受迫载荷作用下，当振动频率f从16 000 Hz到48 000 Hz时，响应应力从0.44 MPa迅速上升到7.07 MPa；从48 000 Hz到64 000 Hz时，响应应力从最高点7.07 MPa急剧下降到0.36 MPa；从64 000 Hz到800 000 Hz时，响应应力基本保持在0.01～0.2 MPa范围内.只有当频率在288 000 Hz时,响应应力达到0.89 Mpa.

从图6中可看出，当振动频率f从16 000 Hz到48 000 Hz时，响应位移从0.19μm迅速上升到3.3μm；从48 000 Hz到64 000Hz时，响应位移从最高点3.3μm急剧下降到0.18μm；从64 000 Hz到800 000 Hz时，响应位移基本在0.01～0.05μm范围内.只有当频率在288 000 Hz时,响应位移达到0.1μm.因此，可以确定梁在受迫载荷作用下，能够激发起的振动频率为48 000 Hz，接近梁固有频率中的一阶频率(46 859 Hz).

由上述分析可知，梁在受迫载荷作用下能够激发起的振动频率为48 000 Hz.应避开共振频率，在频率45 000 Hz进行分析.图7给出了在45 000 Hz时，整个悬臂梁的应力分布图和位移分布图.

(a)应力云图

(b)变形云图图7　在频率45 000 Hz时悬臂梁的应力和变形

由图7(a)可知，靠近梁左侧面中间应力最大，最大值为7.67 MPa,而在梁中间大部分区域的应力值都在5.11 MPa或以下，不及铝疲劳极限强度32 Mpa；由图7(b)可知，梁在最右端处位移最大，其值为3.37，并且位移变化沿梁轴向从右到左逐渐变小，而在根部处几乎没有位移响应.因此,梁在纵向载荷为10 N、正弦周期载荷的作用下，满足结构许用疲劳极限要求，不会发生疲劳破坏[7].

综上所述，由模态分析可知，此悬臂梁的一阶固有频率为46 859 Hz；由谐响应分析可知，梁在最大受迫载荷作用下能够激发起的振动频率为48 000 Hz，即在共振时频率值接近梁的一阶固有频率值.因此，这种悬臂梁式微加速度计的频率响应范围为1～45 000 Hz.

3气动性能仿真分析

针对悬臂梁与容器壁面的间隙在1～9μm的情况下，研究了悬臂梁周围和表面的压力与流速两方面的气动性能，从而得出了其对梁的振动影响.利用FLUENT流体分析软件进行了数值模拟分析，为最终的悬臂梁设计提供参数和理论依据[8].

本文研究的悬臂梁是在一个长为215μm，宽为40μm，高为215μm的长方体容器里面，左端是固定的，右端是自由的，里面的介质为空气，流场的入口在悬臂梁的下端(z轴方向)，出口在上端.其三维模型如图8所示.

图8　悬臂梁流场的模型

3.1悬臂梁2D周围流场仿真

采用前处理软件GAMBIT对悬臂梁流场划分网格.

(1)入口边界：采用压力入口条件.由于空气是可压缩的气体，故选择压力进口，对悬臂梁计算域的压力进口设置为160 Pa.

(2)固壁边界：设定悬臂梁和容器壁面均为无滑移的移动壁面.

(3)出口边界：采用压力出口条件，且假定出口处空气自由流动(压力为0).

由于本文的悬臂梁在实际工作过程中，其周围的局部空气流动会发生湍流现象[9]，所以本文研究悬臂梁的数值模拟方法是建立在湍流基础上展开的.此外，本文对悬臂梁周围的气动特性分析是在只考虑静态时的绕流情况，并且是在不考虑平行移动的情况下进行，故选用Spalart-Allmaras的湍流模型[10-12].

本文对悬臂梁的气动性能分析选用SSTk-ω湍流模型.该湍流模型是Meter F.R在Wilcox提出的k-ω模型基础上再结合k-ε模型的优点而发展起来的，其充分发挥了k-ω模型处理壁面约束流动和k-ε模型处理自由流的特长.

SSTk-ω两方程模型为：

上式中:v1表示湍流运动黏度，β、γ、σk、σω表示模型参数，F1和F2表示混合函数.

3.2悬臂梁周围流场的压力分布

由于悬臂梁振动幅度的一部分来自升力的影响，故升力越大，梁受到流体的阻力越大，它的振动幅度就越小.升力主要靠压力面与吸力面的压力差产生，压差越大，梁升力就越大，梁的振动幅度就越小.因此,梁周围的压力分布决定了升力的变化.图9给出了悬臂梁与容器壁面在不同间隙下梁周围区域压力分布云图.

(a)间隙为1 μm

(b)间隙为3 μm

(c)间隙为5 μm

(d)间隙为7 μm

(e)间隙为9 μm图9　悬臂梁周围压力分布

由于篇幅原因，本文只列出部分云图.由图9可知，梁周围的高压区域均分布在梁与容器壁面的间隙那一部分小区域内.并且当间隙在1～3μm范围内时，梁的压力面和吸力面同时增大，相应的压力系数差也增大，此时梁能得到较大的升力系数和阻力系数；当间隙在3～9μm范围内时，梁周围的压力分布情况呈现了相反的变化，梁的压力面的正压面减小.当间隙为5μm时,吸力面的压力也出现减小的情况，且压力系数差也在减小，此时梁的升力系数和阻力系数较低.故当间隙在3μm时，其振动阻尼最大.在梁根部周围压力最小，在梁右端周围压力最大，故悬臂梁从根部到右端受流体阻力逐渐变大.

3.3悬臂梁3D流场模型仿真

采用前处理软件GAMBIT对悬臂梁流场划分网格.

(1)入口边界：采用压力入口条件.由于空气是可压缩的气体，故选择压力进口，对梁计算域的压力进口设置为160 Pa.

(2)固壁边界：设定梁和容器壁面均为无滑移的移动壁面，悬臂梁旋转轴为Y轴，转速大小为60 rpm，容器壁面转速为0.

(3)出口边界：采用压力出口条件，且假定出口处空气自由流动.

3.4悬臂梁表面的流速分布

(a)间隙为1 μm时悬臂梁表面流线图

(b)间隙为1 μm时悬臂梁表面速度矢量图

(c)间隙为3 μm时悬臂梁表面流线图

(d)间隙为3 μm时悬臂梁表面速度矢量图

(e)间隙为5 μm时悬臂梁表面流线图

(f)间隙为5 μm时悬臂梁表面速度矢量图

(g)间隙为7 μm时悬臂梁表面流线图

(h)间隙为7 μm时悬臂梁表面速度矢量图

(i)间隙为9 μm时悬臂梁表面流线图

(j)间隙为9 μm时悬臂梁表面速度矢量图图10　悬臂梁表面流线图与速度矢量图

为了更清楚地了解悬臂梁表面的流速分布规律，图10给出了悬臂梁与容器壁面间隙尺寸分别为1μm、3μm、5μm、7μm、9μm时的气流分布图.图10(b)、(d)、(f)、(h)、(j)是悬臂梁在不同截面时的速度矢量图，表示X轴与悬臂梁左端根部的距离是5μm、105μm、200μm的YZ面的截面图，截面图是由上到下.

从图10(a)看出，当间隙为1μm时，梁表面的根部和中部区域的流速流线基本没有变化，只有右端区域有小范围大的流线，这说明梁基本上被附着流动，在右端的流动中出现了小部分的分离流动，随着间隙尺寸的变大，在图10(c)、(e)、(g)、(i)中梁表面的流线由中间向间隙处变多，分离流动越明显.当悬臂梁振动时，使其延展向表面产生了离心力，在离心力的作用下，使梁表面气流沿径向间隙流动，径向流动扩展到整个悬臂梁上.

由图10(b)可以看出，当间隙为1μm时，三处截面的流动情况良好，且为层流；由图10(d)、(f)、(h)、(j)可以看出，三处截面均不同程度地出现了涡流，漩涡最大出现在梁的右端，由于涡流影响流速，所以绕梁最大的速度出现在梁中间部位.故间

隙越大，越容易产生分离流动，并且易产生涡流，影响了流速，从而影响了悬臂梁的振动幅度.即随着间隙的增大，对悬臂梁的振动幅度产生了递减作用，并且这种递减程度越来越大.综上所述，当悬臂梁与容器壁面间隙为5μm时，气体对悬臂梁的阻尼影响最小.

4结束语

本文建立了悬臂梁式微加速度计的实体等效模型，通过对梁结构进行模态分析，为预测结构产生破坏的位置点、共振等提供了理论基础；同时得知，在纵向载荷预紧力下，梁受迫振动频率和自然振动频率几乎一样，以及梁的频率随尺寸的减小而变大，为微悬臂梁的尺寸设计对频率影响提供了理论依据；进行了谐响应分析，得出微悬臂梁式微加速度计的频响范围为1～45 000 Hz.

通过FLUENT流体仿真，得到了梁与容器壁面截面间隙尺寸在1～9μm范围内梁周围气动特性变化规律.梁的升力系数和阻力系数先增大后减小，在间隙为3μm时梁压力系数最大，即绕梁的气流压力差最大，对梁的振动阻力最大.所以，在设计尺寸时，间隙3μm应尽量避免.随着间隙尺寸的增大，梁整个正面压强大于背面压强；同时随着间隙的变大，对梁的振动幅度产生了递减作用，并且这种递减程度越来越大，得出当间隙为5μm时，气体对悬臂梁的阻尼影响最小.

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Dynamics analysis for cantilever of micro-accelerometer

GAO Dong-qiang1， YANG Lei1， GUO Jian2， HAN Kun1

(1.College of Mechanical and Electrical Engineering， Shaanxi University of Science & Technology， Xi′an 710021， China; 2.School of Construction Machinery, Chang′an University， Xi′an 710064， China)

Abstract:Micro-accelerometer is one of the most important part of MEMS.To ensure the accuracy and stability of the micro-accelerometer at work,the analysis of dynamic characteristics is of important theoretical significance.Establishes its equivalent model,to research the two parts of the vibration characteristics and aerodynamic performance of the cantilever.For the vibration characteristics,using the finite element analysis software ANSYS Workbench has carried on the modal analysis,obtained the first six order vibration frequency and vibration mode.Under the harmonic response analysis,it obtains the curve of beam stress frequency response and displacement frequency response of different frequency of the cantilever,it determines the frequency response range of micro-accelerometer based on this cantilever beam.For the aerodynamic performance,it mainly studies the aerodynamic performance by using the different gap of cantilever and container wall in the range of 1～9 μm,using the fluid flow calculation software FLUENT studies the aerodynamic characteristics of the cross flow and cantilever flow around the cantilever beam,and gets the graphs of pressure distribution and velocity distribution in the surrounding space under different circumstances around section flow field of cantilever beam.Finally it comes to a gap of 5 μm,the gas has the least effect for the damping of cantilever beam,and the micro-accelerometer has the most range.Thus obtained the cantilever decline range of the accelerometer.

Key words:MEMS; micro-accelerometer; micro-cantilever beam; vibration characteristics; aerodynamic performance

中图分类号：TH7

文献标志码：A

文章编号：1000-5811(2015)01-0136-08

作者简介:高东强(1960-)男，陕西咸阳人，教授，博士，研究方向:异形件CAD/CAM及快速成型、有限元分析

基金项目:陕西科技大学博士科研启动基金项目(BJ12-13)

收稿日期:*2014-12-01