Boussinesq方程的适定性

Boussinesq方程的适定性

谢鸣凤

(南京航空航天大学 理学院数学系，南京 211106)

摘要：确立了在Besov-Morrey空间框架下的非粘性布西涅斯克方程的局部时间的解的存在性，此处一类Besov-type函数空间建立在Morrey空间而不是普通的Lp空间.

关键词：Besov-Morrey空间；非粘性布西涅斯克方程；解的存在性

中图分类号：O175.29文献标志码：A

文章编号：1008-5564(2015)03-0015-05

收稿日期：2015-02-09

基金项目：国家自然科学

作者简介：杨森林(1979—)，男，陕西汉中人，西安文理学院机械与材料工程学院讲师，博士，主要从事图像处理、视频等研究；

Well-posednessfortheBoussinesqEquations

XIEMing-feng

(DepartmentofMathematics,SchoolofScience,NanjingUniversityof

AeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)

Abstract：In this paper, the existence of the local time solution of non-viscous Boussinesq equation was established within the Besov-Morrey space frame, and the space that a class of Besov-type functions being built is the Morrey space instead of the ordinary LP space.

Keywords：Besov-Morreyspaces;non-viscousBoussinesqequations;existenceofsolution

Besov-Morrey空间[1]是一个具有研究价值的空间.Morrey空间[2]中的非粘性布西涅斯克方程中解的存在性很值得我们研究，此处考虑非粘性布西涅斯克方程，本文我们考虑的模型如下：

(1.1)

1主要结论

定理1设11+n/p,1r,s=1+n/p,r=1.假设初始数据并满足divu0=0.则这里存在T1=T1(‖,‖使得(1.1)有唯一解.

接下来，给出本文的主要引理：

引理1[3]对s>0,1qp<,1r，则这里存在一个常数C使得

‖2sj‖[v·,‖lrC(‖v‖L‖‖‖

引理2[3]对s>0,1qp<,1r，则这里存在一个常数C使得

‖2js‖[v·,‖lrC(‖v‖L‖‖‖

2定理证明

2.1先验估计

(2.1)

此处

定义映射如下:

(2.2)

有

则

(2.3)

此时可推得

(2.4)

(2.5)

(2.6)

接下来对压强进行估计.对(1.1)进行散度估计，在divu=0的帮助下，我们得到

-ΔP=div((u·)u)-divθen,

并推出

∂i∂jP=RiRjdiv(u·)u-RiRjdivθen.

由文献[4]可以得到

(2.7)

综上可有

(2.8)

而

(2.9)

由(2.8)加上(2.9)并应用Gronwall不等式可得

(2.10)

2.2(1.1)的线性等式

(2.11)

对于(2.11)的可解性，我们得到以下结论

定理2设divv=0,v∈L对p<,r∈[1,]p<,r=1.则有对任何和divu0=0,对于(2.11)，我们则有唯一的解).而且P可以被唯一确定.

2.3近似解和一致估计

首先，我们设(u0,θ0)=(0,0).我们定义(um+1,θm+1)是下列方程的近似解

(2.12)

其中m=0,1,2,….如果我们有序列(um,θm)满足定理2.1，则(2.12)有解(um+1,θm+1).

类似于先验估计，我们定义映射：

(2.13)

则我们可以得到估计如下

(2.14)

其中算子被估计如下

(2.15)

(2.16)

压强估计为

(2.17)

将(2.14)～(2.17)相加可得

(2.18)

类似于(2.9)可得

(2.19)

由(2.18)(2.19)并应用Gronwall不等式可得

(2.20)

当m=0结论为真，当m>0时如果我们选择T1>0 (T1与m有关)非常小以至于exp(C(1+C1)T)2.由(2.20)可以推出

(2.21)

2.4收敛性与存在性

(2.22)

此处Πm+1:=Pm+1-Pm

(2.23)

其中

(2.24)

(2.25)

I3‖‖.

(2.26)

I4‖‖

(2.27)

I5‖‖.

(2.28)

(2.29)

综合(2.24)～(2.29)可得

(2.30)

另一方面

(2.31)

合并(2.30)-(2.31)并根据2.3可得

(2.32)

如果选择T2∈(0,T1]足够小并满足C(1+C1)T21/2和CC1T21/4，我们可以得到

(2.33)

这可以导致

(2.34)

2.5线性方程的解

为了完成局部存在性的部分，我们看到(2.11)的解是等价于以下系统的

(2.35)

我们可以近似得到[6]

(2.36)

而

(2.37)

应用Growall不等式可得

(2.38)

因此，考虑(2.38)的先验估计，并通过(2.36)的近似解{(um+1,θm+1)}，(2.35)中解的存在性和唯一性可以得到.

2.6唯一性

假设(u1,θ1),(u2,θ2)有相同的初始条件并都是(1.1)的解，设U=u1-u2,Θ=θ1-θ2，

我们可以得

其中Π=p1-p2.

类似于柯西序列的证明，我们得到

(2.39)

由2.1～2.6，定理1得证.

[参考文献]

[1]KOZOHO H,YAMAZAKI M.Semilinear heat equations and the Navier-Stokes equations with distributions in new funtion spaces as initial data[EB/OL], extit{Comm.PDE},{f{19}}(1994)959-1014.

[2]TANG L.A remark on the well-posedness of the Euler equation in the Besov-Morrey space,preprint[EB/OL]. extit{http:∥www.math.pku.edu.cn:8000/var/preprint/572.pdf}.

[3]XU J,TAN Y F.On the well-posedness of the quasi-geostrophic equations in the Besov-Morrey spaces[J].Nonlinear Anal.TMA,2013,92:60-71.

[4]TANG L.A remark on the well-posedness of the Euler equation in the Besov-Morrey space,preprint[EB/OL]. extit{http:∥www.math.pku.edu.cn:8000/var/preprint/572.pdf}.

[5]LIU X,WANG M,ZHANG Z.Local well-posedness and blow-up criterion of the boussinesq equations in critical Besov spaces[EB/OL]. extit{J.Math.Fluid Mech.} {f{12}}(2010)280-292.

[6]MAZZUCATO A.Besov-Morrey spaces:function spaces theory and applications to non-linear PDE[EB/OL]. extit{Trans.AMS},{f{355}}(2002)1297-1364.

[责任编辑王新奇]

Vol.18No.3Jul.2015

崇鑫(1981—)，女，陕西西安人，艾默生网络能源(西安)有限公司工程师，硕士，主要从事电力电子、控制算法、计算机等研究；

赵小侠(1970—)，女，河南济源人，西安文理学院机械与材料工程学院副教授，博士，主要从事激光、光学成像等研究.