一类具三点边值问题的分数阶微分方程正解的存在性

一类具三点边值问题的分数阶微分方程正解的存在性

刘小刚1，刘慧敏2

(1.西北大学 现代学院，西安 710130； 2.郑州成功财经学院 共同学科部，郑州 451200)

摘要：讨论了一类具三点边值问题的分数阶微分方程正解的存在性，给出解的存在性条件，并运用Schauder不动点定理进行讨论，推广已有的某些结论.

关键词：分数阶微分方程；边值问题；正解；不动点定理；格林函数

中图分类号：O175.8文献标志码：A

文章编号：1008-5564(2015)03-0031-04

收稿日期：2015-04-08

基金项目：西安财经学院科研

作者简介：郭妞萍(1978—)，女，山西永济人,西安财经学院统计学院讲师，硕士，主要从事数值分析研究.

ExistenceofPositiveSolutionsofFractionalDifferentialEquationsforAClassofThree-pointBoundaryValueProblems

LIUXiao-gang1，LIU Hui-min2

(1.SchoolofModern,NorthwestUniversity,Xi’an710130,China; 2.DepartmentofGeneralSubjects,

ZhengzhouChenggongUniversityofFinanceandEconomics,Zhengzhou451200,China)

Abstract：In this paper, the existence of positive solutions of fractional differential equations for a class of three-point boundary value problems was discussed and the existence conditions of solutions were given. The Schauder fixed-point theorem was used to promote some existing conclusions.

Keywords：fractionaldifferentialequations;boundaryvalueproblem;positivesolution;theSchauderfixed-pointtheorem;Greenfunction.

近年来，分数阶微分方程在工程、科技、图像处理以及非线性动力系统等众多领域都有重要应用，其研究受到越来越多的关注，特别是分数阶微分方程边值问题引起了广泛的研究，一些相关专著已经出版.[1-2]

赵霞在文献[3]中利用不动点定理，给出了非线性分数阶微分方程边值问题

(1)

正解的存在性，1<α2,0<β1,0γ1,Dα是标准的Riemann-Liouville型分数阶微分.

受到此文献的启发，本文研究下面一类具三点边值问题分数阶微分方程正解的存在性：

(2)

2<α3, 0<β1,0<ξ1,Dα,DβCaputo均为Caputo微分.利用不动点定理，得到了边值问题(2)至少具有一个正解的存在性条件.

1预备知识和引理

参考文献Caputo型分数阶微分的定义见[3].

引理2[4](Banach 压缩映射原理) 设U是Banach空间X的有界闭子集，如果T:U→U满足∃0

引理4[5]设函数g∈L[0,1]，则边值问题

其中：

证明对方程(2)两边同时进行α阶积分，根据边界条件很容易得到.

引理5函数G(t,s)具有以下性质：

(1)G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])；

(2)对任意的t,s∈[0,1]，有G(t,s)>0成立.

2主要结果

在证明主要结论前，首先给出下列假设：

(H1)f:[0,1]×[0,+)×[0,+)→[0,+)关于t∈[0,1]是勒贝格可测的；

(H2)f:[0,1]×[0,+)×[0,+)→[0,+)关于x∈[0,)是连续的；

(H3)存在非负实值函数m(t)∈C([0,1],[0,)),使得；

下面给出本文的主要结果：

定理1设(1-ξ1-β)(2-β)Γ(α)>2Γ(α)(1-ξ2-β)+2Γ(α-2)(2-β)(1-ξ1-β)，

则边值问题(2)的解x≥0.

所以函数x(t)在[0,1]是凹函数.又因为x(0)=0，并且

f(s,x(s)Dβx(s))ds≥0.因此，边值问题(2)的解x≥0.

定理2如果(H1),(H2),(H4)成立，并且0<κ<1，

接着证明算子T在E中将一个有界集映射成有界集.取Ω⊂H是一个有界集，∀x∈Ω，结合条件(H4)有

(3)

(4)

因为

(5)

所以算子Tx将一个有界集映射成有界集.

最后证明算子Tx是等度连续集.对任意的x∈H，0

(6)

(7)

综上所述，根据Ascoli-Arzela定理可知，T是全连续算的.

因此，根据引理2，T至少存在一个正解.

证明对任意的x,y∈H，t∈[0,1]，有

(8)

(9)

下证λ=1不是算子L的特征值.事实

所以，‖x‖=‖Lx‖

根据条件(H5)，∀ε>0，存在充分大的N>0，使得对任意的t∈[0,1]，有

(10)

(11)

根据引理3，算子T存在一个不动点.

[参考文献]

[1]CABADAA,WANGGT.Positivesolutionsofnonlinearfractionaldifferentialequationswithintegralboundaryvalueconditions[J].JournalofMathmaticalAnalysisandApplications,2012,389(1):403-411.

[2]ZHANGYing-han,BAIZhang-bing.Existenceofsolutionsfornonlinearthree-pointboundaryvalueproblematreso-nance[J].JApplMathComput,2011,36(1/2):417-440.

[3]赵霞，刘洋，胡卫敏.分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性和唯一性[J].伊犁师范学院学报：自然科学版，2013(1)：1-4.

[4]ZEIDLERE.Nonlinearfunctionalanalysisanitsapplication-I:Fixed-pointtheorems[M].Springer：NewYork,NY,USA,1986.

[5]ZHANGS.Positivesolutionsforboundaryvalueproblemofnonlinearfractionaldifferentialequations[J].ElectronJDifferEqu.,2006,36:1-12.

[6]SAMKOSG,KILBASAA,MARICHEVOI.Fractionalintegralsandderivatives[M].GordonandBreach,Amsterdam,1993.

[责任编辑王新奇]

Vol.18No.3Jul.2015