求解非线性方程的指数迭代法

求解非线性方程的指数迭代法

郭妞萍

(西安财经学院 统计学院，西安 710100)

摘要：给出一种求解非线性方程的新迭代算法：指数迭代法,即用exk+1=φ(xk)(k=0,1,2，…)进行迭代，它是对简单迭代法的延托扩展.同时给出迭代函数收敛性判断条件和误差估计式.最后进行了数值实验,计算结果表明该方法是非常有效的.

关键词：指数迭代法；非线性方程；收敛速度

中图分类号：O241文献标志码：A

文章编号：1008-5564(2015)03-0035-04

收稿日期：2015-04-16

基金项目：陕西省教育厅自然科学专项基金资助项目(14JK1141)

作者简介：张燕(1975-)，女，宁夏中卫人，陕西理工学院数学与计算机科学学院副教授，主要从事粗糙集算法分析及应用研究.

ExponentialIterativeMethodforSolvingNonlinearEquations

GUONiu-ping

(SchoolofStatistics,Xi’anUniversityofFinanceandEconomics,Xi’an710100)

Abstract：A new iterative algorithm called exponential iterative method is provided for solving nonlinear equations. In this algorithm, exk+1=φ(xk)(k=0,1,2，…) was used to do the iterative, and it is an extension of the simple iterative method. Meanwhile, the judgment condition of the iteration function convergence and the error estimation formula were given. Finally, the numerical experiment was conducted and the calculation results show that the method is very effective.

Keywords：exponentialiterativemethod;nonlinearequation;convergencerate

在工程实践中，许多实际问题往往可以转化为非线性方程或方程组的求解，但是绝大多数的非线性方程不能求出其解析解.对于此类方程只能求解满足精度要求的近似解，探索有效数值求解方法一直是研究的重点和热点[1-4]，迭代法是一种逐步逼近其真实解的数值方法.因此，对非线性方程(组)的数值解法研究具有十分重要的意义.利用函数值和“两线相交”策略对非线性方程的根进行逐步逼近是传统的简单迭代法的思想[5-6].文献[7]提出了抛物线迭代法，而文献[8]提出了对数迭代法，在此前研究的基础上，提出一种新的逐步逼近方法—指数迭代法，即构造满足条件的指数函数来对非线性方程的根进行逼近.同时给出迭代函数收敛性判断条件和误差估计式.

1指数迭代法的迭代公式

对非线性方程

f(x)=0

(1)

设有根s，将其化为等价的方程

ex=φ(x)

(2)

因而有s=φ(s).选定s的初始近似值x0，用递推公式

exk+1=φ(xk)(k=0,1,2，…)

(3)

2指数迭代法的收敛定理

定理1设函数φ(x)∈[a,b],在(a,b)内可导,且满足两个条件

1)当x∈[a,b]时,ex∈[ea,eb],φ(x)∈[ea,eb]；

2)当x′,x″∈[a,b]时,有

(4)

其中c为常数,0

则有如下结论：

(ⅰ)方程(1)在区间[a,b]上有唯一的根s；

(ⅱ)对任取的x0∈[a,b],由(2)所产生的序列exk∈[ea,eb]且收敛于es；

(ⅲ)成立误差估计式：

(5)

(6)

(ⅳ)若φ′(x)存在，则有

(7)

证明(ⅰ)令F(x)=ex-φ(x),则F(x)∈C[a,b],并由条件1)可知F(x)=ea-φ(a)0，F(b)=eb-φ(b)≥0，若上面两个不等式中有一个等式成立，则方程(1)有根s=a或s=b；若两个都是严格不等式,即F(a)·F(b)<0,则根据连续函数介值定理,必存在一点s∈(a,b),使F(s)=es-φ(s)=0,则方程有根s∈(a,b).

(ⅲ)设m>k,则有

而

于是有

又因为

有

(8)

3几何解释

图1　指数迭代法的几何解释

指数迭代法的几何解释是：求ex=φ(x)的不动点,在几何上是求指数函数y=ex与曲线y=φ(x)的交点s,如图1所示,从点Pk(xk,φ(xk))出发,从该点沿平行于x轴方向前进交y=ex于点(lnφ(xk),φ(xk)),从该点沿y轴方向前交y=φ(x)于点Pk+1(lnφ(xk),φ(lnφ(xk))),Pk+1点的横坐标就是xk+1,如此进行下去直到s.

4算法举例

对下列不同类型的非线性方程进行数值求解：

(a)x-lnx=2 迭代公式exk+1=e2xk取x0=3.000 000 0

(d)x+sinx=1 迭代公式exk+1=e1-sinxk取x0=0.500 000 0

表1　非线性方程(a),(b)迭代计算结果

表2　非线性方程( c),( d)迭代计算结果

表1　非线性方程(e)迭代计算结果

表1～表3的计算结果表明，指数迭代法和对数迭代法、简单迭代法具有相近收敛速度.

5结语

本文提出一种求解非线性方程的新方法—指数迭代法，可以看作是对简单迭代法的延托扩展，提供了一种新的迭代函数，若能选择一合适的迭代函数以及迭代初值，则可以有效的求解非线性方程.因此，和其它的数值方法一样，如何选取收敛速度更快的迭代函数和合适迭代初值，以及如何改进迭代函数加速收敛,即由迭代函数产生的迭代序列较快的收敛到满足精度要求的根等问题是以后研究的重点.

[参考文献]

[1]颜庆津.数值分析[M].北京:北京航空航天大学出版社，2006：115-142.

[2]聂铁军.计算方法[M].北京:国防工业出版社，1988：85-91.

[3]李庆杨,莫孜中,祁力群.非线性方程组的解法[M].北京：科技出版社，1987：105-109.

[4]郑权.牛顿迭代法在弱条件下的二阶收敛性和比值收敛因子[J].北方工业大学学报，2003,15(1)：26-29.

[5]闻人凯.两种拟牛顿法的Kantorovich分析[J].华东师范大学学报：自然科学版，1996(4)：22-32.

[6]李董辉，张忠智.非线性方程组拟牛顿法线性收敛的一种改进[J].湖南大学学报，1996,23(4)：1-6.

[7]曲建明.求解非线性方程的抛物线迭代法[J].数学的实践与认识,2006,36(4):304-308.

[8]黄志强,郭妞萍,王希云.求解非线性方程的对数迭代法[J].西南民族大学学报(自然科学版),2011,37(4):514-518.

[责任编辑王新奇]

Vol.18No.3Jul.2015