层状地基与深置薄板静力相互作用解析研究

王春玲 ，张科宇 ，郭 莹

(1.西安建筑科技大学理学院，陕西 西安 710055；2.陕西科技大学机电工程学院，陕西 西安 710021)

随着经济的发展和科技的进步，大型、重型、超高层建筑工程以及地下结构工程日益增多，深基础的采用随之越来越多．因此，深置基础板的弯曲问题成为技术上必须突破的瓶颈．现有的荷载作用于层状地基内部的研究中，几乎都是以Mindlin解[1-3]为基础，没有考虑地基的层状特性．本文同时考虑到地基的层状性和板与地基的异性性，得出深置于层状横观各向同性弹性地基中的正交各向异性矩形薄板的弯曲解析解，包括地基反力、板的挠度及内力的解析表达式．克服了数值法的弊端，取消了对地基反力的假设，得出板的内力与地基反力更切实际的分布规律．因此用本文的研究方法，可精确分析地基深度、埋深比、层土特性及荷载特性等对地基和基础板相互作用的影响．

1 地基的直角坐标解

文献[6]基于横观各向同性体的静力胡海昌通解，借助双重傅里叶变换，分两种情况获得单层横观各向同性地基的静位移场和应力场，即:

1.1 各层地基厚度有限时

若第N层地基厚度为h(N)，其待定常数为通解矩阵为如果地基有N层，则共有6N个待定常数．最上层地基上表面有三个边界条件：

其余层连续条件用矩阵形式表示为

其中：假设总层数为N，n=1,2,…,m-1,m＋1,…,N-1，共6(N-1)个连续条件（含第m层与第m＋1层连续条件）．

则第N层与第1层的待定常数关系表达式为

由式(2)和式(3)得：

1.2 最底层地基厚度无穷大的情况

根据文献[6]知，第N层位移通解如下（以第一种情况为例）：

抽取式(6)矩阵中的3、4、5行得：

最上层地基的应力边界条件的矩阵表示如(1)，联立(1)和(7)可求得首层待定常数[C(1)]．第二种情况的推导类似．

2 控制方程及边界条件

地基上深置长为a、宽为b的正交各向异性矩形板，受垂直于板面横向分布力q(x,y)作用，若地基作用于板的反力为F(x,y)，取x、y坐标轴同板的主方向平行，则有控制微分方程：

式中物理量Dx、Dy、H、Dxy含义见文献[6]．

板的内力可以用挠度函数表示为

边界条件可表示为

3 方程求解

受文献[8]启发，设W为

将荷载及地基反力都展为双重余弦级数

式中λmn、qmn见文献[7]．

将(11) 、(12)式代入基本微分方程(8)式，采用结构力学中的富里叶级数解中的办法，将补充项中含有的多项式，展为余弦级数，然后对比(8)式两侧展式相应项的系数得：

现在考虑弯矩边界条件．由x=0时，得：

由x=a时得：

用相同的方法，分别以y=0,b时，得：

由式(12b)可得地基反力的双重Fourier变换为

不管地基属于情况1还是情况2，从由前面地基解分析知都有

经双重傅里叶逆变换得：

则:wzmn可表示成

采用文献[5]中的方法，得到变形协调方程

(13)至(17)及(22)这6组方程，即层状横观各向同性弹性地基上正交各向异性矩形薄板弯曲的控制方程．联立求解待定系数wmn,Qmn,Cm,Dm,Gn,Hn．

4 算例分析

算例 1.考虑文献[5]中算例，用本文办法计算．其中地基计算深度取h=50 m．各向同性体可看作一种特殊的横观各向同性体，同性板又是异性板的特例，因此可用本文方法求解该算例．其结果见表1．

表1 板中心挠度值和弯矩值Tab.1 Deflection and moment at the plate center

结果吻合，证明本文的理论的正确性．

研究计算深度h的影响，分别计算h取10 m、20 m、30 m、40 m、80 m、100 m和120 m时，计算板中心处的挠度值和弯矩值：

表2 板中心挠度值和弯矩值Tab.2 Deflection and moment at the plate center

由表2知，随地基计算深度h的增大，板的挠度逐渐增长，且当h≥100 m后逐渐趋于稳定；板上弯矩几乎不变化．当计算深度h≥100 m时结果与文献[5]中结果吻合良好．在本例数据选取的情况下，有限厚度各向同性弹性地基当计算深度h≥100 m时可模拟弹性半空间地基．

算例 2分析埋深比(板底面至地基表面距离Z与板边长a之比)影响．选取的两层弹性地基，板底面落在两层地基交界处；板的尺寸及物性参数见图 1．板上作用均布荷载．

图1为板的1/4区域．作为荷载均布的正方形板，板上挠曲与受力是对称的．在对角线上取图示三点（1为中点、2为对角线四分点、3为角点），分别计算它们的挠度和弯矩（角点弯矩为 0，故不考虑）．

图1 计算点选取Fig.1 The selection of calculation point

图2 埋深比对板沉降的影响Fig.2 The influence of depth ratio Z/a on settlement

图3 埋深比对板弯矩的影响Fig.3 The influence of depth ratio Z/a on moment

在采用本例物性参数、板尺寸和荷载的前提下，考察板上指定点的沉降和弯矩可以看出：板的沉降首先随埋深比Z/a的增加迅速减小，当Z/a的进一步增大，沉降曲线趋于平缓，沉降趋于稳定；板上弯矩首先随埋深比Z/a的增加而增加，当Z/a=0.2时到达峰值，后随埋深比的进一步增大而迅速减小，并在Z/a＞2后趋于稳定．

算例3.板与其上荷载均与算例1相同；地基为三层横观各向同性地基，各层地基厚度均为20 m，板底面落在第一层与第二层地基交界处，各层地基其余物性参数的选取见表3．

表3 土层物性参数的选取Tab.3 The selection of physical parameters

图4 板的接触压力Fig.4 Groundsill counterforce of the plate

图5 板的挠度Fig.5 Deflection of the plate

图6 板的弯矩MxFig.6 Moment Mx

本文方法对层状地基与基础板共同作用的计算有效，能够计算基础板落在任意深度处时板的受力和变形情况．

5 结论

(1) 考虑到地基的层状性和板及地基的异性性，得出深置于层状横观各向同性弹性地基中的正交各向异性矩形薄板的弯曲解析解．包括地基反力、板的挠度及内力的解析表达式．克服了数值法的弊端，取消了对地基反力的假设，得出板的内力与地基反力更切实际的分布规律．

(2) 本文的求解方法和技术可以推广研究分析深置于层状横观各向同性弹性地基中的正交各向异性矩形薄板的稳态振动问题．

(3) 应用本文得到的结果，我们分析了地基厚度和埋深比对地基与基础板的影响．

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