基于轨道器的火星着陆器定位及精度分析

徐晴牛俊坡施伟璜谢攀

（1 上海卫星工程研究所，上海 201109）

（2 上海市深空探测技术重点实验室，上海 201109）

基于轨道器的火星着陆器定位及精度分析

徐晴1,2牛俊坡1,2施伟璜1,2谢攀1,2

（1 上海卫星工程研究所，上海 201109）

（2 上海市深空探测技术重点实验室，上海 201109）

文章结合中国首次自主火星探测任务，提出以轨道器为中继站的火星着陆器测量定位方法，采用双程多普勒测速方式，快速获得着陆点位置坐标，旨在分析轨道器与着陆器间不同测量方式、不同误差源影响下着陆器的定位精度以及位置误差分布情况。该手段充分利用轨道器和着陆器特高频器间通信链路，达到提高着陆器落点精度的目的。分析结果表明：轨道器轨道参数误差是影响着陆器最终定位精度的关键误差源；轨道器的轨道类型不同，着陆器的定位精度也会受到影响，基于非回归轨道的轨道器环绕测量，着陆器的定位精度更高；单个轨道器单轨测量，着陆器定位精度在102km量级；若采用2轨环绕测量，着陆器定位精度可以提高到10km以内，若圈数继续增加，定位精度能提高到5km以内。着陆器最终位置误差呈椭圆分布。基于轨道器的环绕测量方式简单有效，具有一定的实践指导意义。

中继通信 多普勒测速 误差椭圆 火星探测

0 引言

火星因其物理特性与地球相似一直是近十几年来深空探测的热点，国际上不断获取的科学数据多次表明火星表面存在“液态水”。到目前为止，美国“火星勘探轨道器”（Mars Reconnaissance Orbiter，MRO）探测结果表明，火星中纬度地区曾广泛分布流动冰。“凤凰号”探测发现高氯酸盐存在的痕迹。通过对火星的探索活动，有助于理解火星上的生命起源，同时也是促进多种基础学科交叉融合发展的重要手段。从长远着眼，我国首次自主火星探测任务集“绕、落、巡”三步一体，有利于推动国家综合国力和科技水平的发展，具有开启月球以外深空探测里程碑的深远意义。

火星探测器飞行全过程以地面无线电导航与轨道递推为主。无线电测量元素包括伪码/侧音测距、多普勒测速以及测角，我国探月工程二期“嫦娥三号”采用X频段测距测速联合甚长基线干涉测量（Very Long Baseline Interferometry，VLBI）测角进行定位[1-2]，着陆器月面定位误差50m。2011年发射的“好奇号”采用ΔDOR型VLBI时延误差降至0.04ns，测角精度达到毫角秒；我国VLBI网（Chinese VLBI Net, CVN）对“火星快车”进行数次观测，当时延精度为2～5ns时，“火星快车”测角精度约为0.1角秒[3]。总的来说，我国在火星探测精密定轨方面与国际先进水平相比，仍存在一定差距。文献[4]指出美国火星车的定位运用了航迹推算、太阳图像确定方位角、光束法平差定位以及视觉测程等手段，这些仅利用星上传感器和影像定位的方法受火星地形及大气影响大，累积误差随时间的推移而不断增加。美国探测器从“机遇号”和“勇气号”开始[5]，利用轨道器与着陆器的器间特高频（Ultra High Frequency，UHF）通信手段，在着陆器/火星车表面巡视中实施导航定位[6]，以弥补地面测控站无法与着陆器通信的盲区限制。

针对我国首次自主火星探测任务，本文提出基于轨道器的火星着陆器定位方法，快速获得着陆点位置坐标；同时在工程约束下，分析器间单轨/多轨测量、不同误差源对着陆器的定位精度、误差分布的影响。该手段作为地面深空网测定轨方式的有益补充，可以有效提高火星车定位精度，本文的研究结果可为我国后续火星探测任务提供一定参考。

1 定位数学模型

基于我国火星探测的背景下，本文提出单个轨道器对着陆器的静态定位方法。探测器与地面采用X频段通信，轨道器与着陆器之间采用UHF频段收发信机提供射频信道，本文采用双程无源反射测速方式，着陆器的UHF收发信机提供双向载波多普勒跟踪信标，轨道器的UHF收发信机提取返向信号载波多普勒信息。无线电定位示意如图1所示。轨道器发射电磁波，着陆器接收输入载波信号后透明转发，再由轨道器接收并解调出数据信号，完成轨道器与着陆器间的距离测量，结合轨道器的轨道参数及星历时间，通过火星惯性系与固连系下的坐标转换，再基于迭代优化的最小二乘算法，最终得到着陆器在火表上的位置参数[7]。

轨道器接收机测得不同tk时刻频移量Δfk为：其中m为总的测量数据个数。则频移与相对径向速度的关系为：

式中 Vkr为轨道器与着陆器相对径向速度；f0为轨道器发射信号的基频；c为光速，忽略相对论效应；vrx,k,vry,k,vrz,k分别为Vkr在固连坐标系下的三个分量。

将轨道器与着陆器的位置和速度状态参数统一到火星赤道固连坐标系。火星固连坐标系Ofix-XfixYfixZfix的定义如图2所示。坐标系原点Ofix为火星质心，Xfix在火星赤道面内指向零度经线方向，即Ariy-0环形山方向，Zfix与火星自旋轴重合，Yfix与Xfix、Zfix满足右手定则。

图1 轨道器与着陆器间无线电定位示意图Fig.1 The diagram of radio positioning between orbiter and lander

图2 火星固连坐标系示意图Fig.2 Mars fixed coordinated system diagram

假设tk时刻轨道器的位置Xfix,k与速度参数Vfix,k分别为：其中，分别为X和V在固连坐标系下的fix,kfix,k三个分量，由地面测定；着陆器的位置为xL,yL,zL为着陆器位置在固连坐标系下的三个分量，即待求量，速度为tk时刻两者的相对位置和相对速度为分别为Xrel,k,Vrel,k，则轨道器接收机解调后的信号频移量表达式为：

2 迭代最小二乘及三角分解

迭代最小二乘以相邻迭代值的方差最小为准则，通过反复迭代直到估计值收敛到某个值。式（2）表征观测量Δfk与状态量xL间非线性的观测方程，应用Taylor级数展开，给定着陆器位置估计初值r0，利用一系列不同时刻轨道器接收机解调后的频移量迭代修正初值，最终得到着陆器的火心经度和纬度。假定即为观测量Δfk，通过Taylor级数一阶展开后得到：

式中 Hk为观测量关于状态量xL的一阶导数，其各个分量表达式为：

定义雅克比矩阵Bn为：

式中 n为迭代次数，初值为1。假定ΔfD,n为通过最小二乘第n次迭代后修正的频移量与实际解调频移量的差值，则：

以rn+1作为下一轮迭代初值继续优化，直至rn+1-rn趋于小量，收敛于着陆器位置坐标。

考虑到矩阵求逆可能出现数值稳定差以及计算量大的问题，从传统的最小二乘出发，提出了基于三角分解（又称LU分解）的数值解算，避免矩阵求逆的过程。令则测量矩阵A为对称正定矩阵，由线性代数的相关知识可以得到，A能够进行LU分解，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵[8]，具体表达式如下：

假定Δρn=rn+1-rn，因此，转换为令UΔρ=y，原方程等价为：

先求得y值后再回代求解Δρn，避开矩阵求逆的过程。

3 不同误差源对定位影响的分析

为验证本文提出的基于单个轨道器的火星着陆器静态定位的可行性，下面给出仿真实例。轨道器选取两种轨道类型：轨道I为3天回归轨道；轨道Ⅱ为非回归轨道，升交点有漂移性；两种轨道的近火点在北极，着陆器标称位置在赤道上。UHF信机基频取400MHz，转发比为1，多普勒测量准确度取10mHz。仿真过程中着陆器定位精度受轨道器轨道参数误差、UHF收发信机的基频误差、传播过程中的电离层误差、火星引力场模型的不确定性以及宇宙背景辐射等影响，本文主要考虑前三个主要误差源，轨道参数误差由地面测控站VLBI测量精度确定，基频误差由收发设备性能确定，传播过程中电离层误差与火星大气模型有关。

3.1 收发信机的基频误差

轨道器双程测速为闭环跟踪模式，表征收发信机频率标准源的性能指标有频率准确度、频率稳定度和频率漂移率。如果不考虑其他因素影响，双程多普勒测量误差在非差分情况下约为频率标准源自身误差的M倍。

式中 Δf~S为频率标准源自身误差；v1, v2为收发信机速度大小。该测量误差取决于轨道器UHF信机短期稳定度与转发比，按照400MHz基频计算，对高稳晶振短稳要求为10-11/s。

3.2 电磁波传播速度误差

目前国内外尚未建立较为精确的火星大气模型。火星大气分对流层、电离层以及高层大气。对流层对电磁波传播的影响在于：均匀的大气层会产生折射，大气湍流会产生闪烁。根据相关文献[9]，火星对流层造成的闪烁影响为地球上的1/200；当电磁波从天穹顶方向射入时，火星的折射度约为地球的1.2%。本文忽略火星对流层对电磁波传播过程中折射和闪烁的影响。火星电离层在200km以下的大气范围内，电子密度随高度的变化采用Chapman模型[10]刻画如下：

式中 Nm为电子密度峰值；hm为峰值所在高度；H为标高。

式中 x为太阳天顶角；N0和h0是在x=0º时电子密度峰值和峰值所在高度。对于理论的Chapman模型，参照文献[9]，系数p选取0.5，其他参数选为：N0=2× 1011m-3,h0=1.25× 105m,H=11 000m 。参照地球上GPS信号传播过程中电离层延迟的计算过程，电离层对测距码传播的折射率ng可近似表示为：

式中 f为载波频率；ai（ i=2,3,4…）为折射率相关系数，与电离层的电子密度有关。忽略二次以上的高阶项，系数a2的估值可表示为：a2=-40.3Ne（Ne为电离层电子密度）。则电磁波的传播速率vg变为：

通过概率论相关性分析：电磁波真实速度符合正态分布，其均值为2.999977× 108m/s，标准差为828.145m/s。参照文献[9-12]和以上关于基频误差、电离层误差的分析过程，表1给出三种主要误差源的误差量级。

表1 误差来源及量级大小Tab.1 Error sources and amplitudes

3.3 仿真结果分析

同时考虑上述三种误差源作为系统仿真输入，仿真步长60s，仿真开始时间：2021-08-15 00:00:000UTCG，结束时间：2021-11-15 00:00:000UTCG。其中，UTCG表示儒略日。由于轨道器轨道类型不影响外界误差源对定位精度的影响，轨道器选取轨道Ⅰ参数，模型误差均做高斯白噪声处理，结果如图3所示。仿真结果考虑以下几种工况：未考虑误差；考虑电离层误差、考虑轨道器轨道参数误差、考虑基频误差；考虑三种误差共同作用。以轨道器2轨获取的数据作为一组测量，着陆器受以上三种误差共同作用下综合定位精度为10多千米，其中轨道器轨道参数误差是最主要的误差源，基频和电离层误差大小量级都在几十米左右。

图3 不同外界误差源下的着陆器定位精度Fig.3 Positioning precision of lander under different external errors

4 单轨/多轨测量精度分析

4.1 单轨测量误差

轨道器单轨测量时，由于火星自转，不同圈数轨道器与着陆器的可见弧段不同。单轨内不同采样间隔，不同迭代次数都会影响着陆精度。本文利用蒙特卡洛法，取100次多普勒测量信息，分析轨道器在100轨内与着陆器可通信弧段以及迭代收敛的轨数，计算轨道器单轨下着陆器定位精度ζ（以3σ进行计算）在小于某一上限值时所占的比例，结果如表2所示。

表2 不同间隔时间下的着陆器定位精度Tab.2 Positioning precision of lander under different interval errors

由仿真结果可知：轨道器与着陆器存在无法通信的弧段，随着采样间隔的增加，可通信弧段的轨数在减少。轨道器单轨测量时着陆器的定位误差在百公里量级以内；每轨的测量误差大小不同，这与每轨的测量弧段长度及测量值的有效值有关，如图4所示（其中红线表征误差上限为100km）。轨道器每轨采集的测量数据间隔越小，着陆器的定位精度得到提高。单轨测量情况下，轨道器在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上对着陆器定位精度差别不明显，都在百千米量级。此外，轨道器在轨道Ⅰ上对着陆器单轨测量中，着陆器定位误差大小变化呈现周期性，这是由于轨道Ⅰ的回归特性；轨道Ⅱ升交点赤经存在进动，星下点呈现漂移特性，着陆器定位误差大小周期性不明显。

图4 单轨间隔60s时，单轨测量着陆器位置精度Fig.4 Positioning precision of lander under single track measurement with 60s-interval

4.2 多轨测量误差

为提高着陆器的定位精度，采用轨道器多轨测量方式，以超过1轨的数据作为一组量测值进行解算分析，图5和图6分别给出了2，4轨情况下着陆器定位精度情况。

图5 每间隔60s，环绕2轨测量得到的着陆器位置精度Fig.5 Positioning precision of lander under 2 tracks measurement with 60s-interval

图6 每间隔60s，环绕4轨测量得到的着陆器位置精度Fig.6 Positioning precision of lander under 4 tracks measurement with 60s-interval

由仿真结果可知：无论是轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ，以每2轨测量的数据作为一组量测数据，定位精度都大大提高，达到10km以内。以每4轨测量作为一组量测数据时，轨道器在轨道Ⅰ测量时着陆器的定位精度提高不大，在轨道Ⅱ上测量时着陆器定位精度缩减到3.5km左右。由于轨道Ⅰ是3圈回归，当环绕圈数超过3圈后，测量数据的有效性降低，与最初3轨的测量信息基本一致。

4.3 着陆器定位误差分布

轨道器与着陆器两者间的相对位置关系也会对最终定位精度造成影响。以轨道Ⅰ为例，误差影响因素仍按表1选取，在火星表面上选取不同的着陆器位置，采用最小二乘法分析误差解算收敛情况和误差分布的几何形式，将上述解算的着陆器位置坐标用火心赤纬和赤经表示，分析着陆器位置误差在赤经，赤纬方向上的分布情况。表3给出着陆器在不同标称着陆点情况下，轨道器对其多普勒测量解算收敛时所需的环绕圈数，以及相应的定位精度；图7给出不同着陆点在经纬度方向上误差大小分布。

表3 每间隔10s，不同着陆位置的解算收敛情况和定位精度Tab.3 Convergence conditions and positioning precision at different landing sites with 10s-interval

图7 着陆器位置经纬度误差大小Fig.7 Latitude and longitude amplitudes of lander position errors

由仿真结果可知：轨道器对不同着陆点解算的收敛情况不同，南北极收敛性较差，中纬度收敛性较好。这是由于轨道器的近火点在北极附近，器间通信弧段短，有效测量数据少。不同着陆点的误差在赤纬和赤经上分布也不同，总体上定位精度分布呈现椭圆形状，其中在北极（90º,0）处由于无论经度为何值都不影响定位精度，因此其着陆点在经度上比较分散。

为定量分析着陆器最终定位误差大小，引入误差椭圆的概念。等概率误差椭圆能够给出定位误差数值和分布方向，克劳美罗下限（Cramer-Rao Low Bound, CRLB）可作为反映某点的定位误差协方差阵P[11-12]，即：

则空间中等概率密度椭球可以定义为：

式中 X=［x, y, z］T；D表征目标点落在该椭球内置信度为一个固定值De的门限，在二维平面内等概率密度椭球简化为等概率密度椭圆[13]。则误差椭圆的长短轴a和b可以表示为：

式中 λ1, λ2分别为误差协方差阵的特征值。仍然选取赤道上（0，90º）的着陆点进行研究，当置信度选取为50%时，D≈5，定位误差协方差矩阵的特征值为1.787，0.268。定位点以50%置信度落于以其中心的椭圆，长轴为6.684km，短轴2.588km，面积为54.35km2。

5 结束语

以轨道器为中继站的火星着陆器测量定位，旨在快速获得着陆器的着陆坐标，分析不同测量手段和不同误差影响下的定位精度。结果表明，轨道器自身的位置和速度精度是影响着陆器定位精度的关键因素。轨道器对着陆器的多轨测量能够将最终定位精度控制在10km以内。轨道器与着陆器的相对位置影响测量数据的有效性，非回归轨道测量数据的有效性高于回归轨道。该手段充分利用轨道器星上设备，得到着陆器落点区域范围及误差分布方向，研究结果可为我国首次火星自主探测任务提供参考。

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Positioning and Precision Analysis for Mars Lander Based on Orbiter Measurement

XU Qing1,2NIU Junpo1,2SHI Weihuang1,2XIE Pan1,2
（1 Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109, China)
（2 Shanghai Key Laboratory of Deep Space Exploration Technology, Shanghai 201109, China)

Under the background of China’s first independent Mars exploration program, a novel two-way doppler range rate measurement based on relay orbiter is proposed for acquiring landing site position quickly. This paper considers different measurement methods and analyzes positioning precision, error distribution under comprehensive influence of different error sources. This method takes advantage of the ultra high frequency communication link between orbiter and lander to increase final positioning precision of Mars lander. The results indicates that orbit parameters errors are critical for lander final positioning precision and non-recursive orbit of orbiter is more conducive for increasing positioning precision. If a single orbiter adopts single track statistics, positioning precision is within hundred kilometers order. Positioning errors could decrease to 10km under two-track measurements and if tracks increase, positioning precision could be within 5km. Positioning errors almost present elliptical distribution. The positioning analysis based on orbiter measurement is simple and effective, which is beneficial and meaningful for practice.

relay communication; doppler range rate measurement; error ellipse; Mars Exploration

V448

A

1009-8518(2016)06-0028-11

10.3969/j.issn.1009-8518.2016.06.004

徐晴，女，1992年生，2014年获南京航空航天大学飞行器设计与工程学士学位，现在上海卫星工程研究所攻读硕士学位，研究方向为深空探测器总体技术。E-mail: qqqw2012@126.com。

（编辑：陈艳霞）

2016-05-30

国家重点基础研究发展计划（973计划）项目（2014CB744200）