机床热误差建模技术研究及试验验证*

李泳耀，丛　明，廖忠情，孙宗余，李宏坤

(1. 大连新宇理工科技开发中心有限公司，辽宁 大连　116024;2. 大连理工大学 机械工程学院，辽宁 大连　116023;3. 一汽解放汽车有限公司无锡柴油机厂，江苏 无锡　214026)



机床热误差建模技术研究及试验验证*

李泳耀1，2，丛明1，2，廖忠情1，2，孙宗余3，李宏坤1，2

(1. 大连新宇理工科技开发中心有限公司，辽宁 大连116024;2. 大连理工大学 机械工程学院，辽宁 大连116023;3. 一汽解放汽车有限公司无锡柴油机厂，江苏 无锡214026)

摘要：针对机床热误差补偿技术中预测模型建立的问题，综合多元线性回归及Bp神经网络的优点，提出一种机床热误差建模新方法。由不同样本数据建立若干多元线性回归模型，依据统计学理论筛选出预测精度及鲁棒性高的回归模型，预处理后将其结果输入到Bp神经网络中进行非线性拟合建模，在不断调节网络权值及对神经网络训练的基础上，最终建立热误差补偿模型。在卧式加工中心上进行试验验证，主轴Z向最大热误差从17.895μm减小到1.654μm。

关键词：热误差模型；多元线性回归；统计学；Bp神经网络

0引言

机床热误差是由其零部件间因温升变化而导致不同程度的热变形引起的，最终会反映到刀具和工件上，引起其相对位置的偏移，降低机床的加工精度[1]。大量研究表明，热误差占机床总误差的比例往往在40%~80%，越是精密的机床，所占比例越大[2-3]。热误差补偿技术是一种有效提高机床加工精度的方法[4]，而实现热误差补偿的前提是进行机床温度测点优化及热误差建模。

近年来，国内外学者对热误差建模技术进行了大量研究，提出了许多理论和方法，如多元线性回归法[5]，人工神经网络法[6-7]，时间序列分析法[8]，最小二乘支持向量机法[9]，灰色理论法[10]等。由于机床热误差是一个典型的非线性系统，这些单一的建模方法虽然取得了成功，但其补偿精度及鲁棒性均有待进一步提高。结合每种理论的优点，也有学者提出了多种理论相结合的方法，如灰色神经网络法[11-12]，时序分析及灰色理论法[13]，人体免疫神经网络法[14]等，这些方法综合了每种理论的优点，将两种模型的预测结果进行有效的组合，充分利用其预测信息，提高了模型的预测能力。

就单一模型而言，多元线性回归模型简单，容易计算，但缺乏自主学习能力及误差反馈调节机制，模型预测的精确性及鲁棒性得不到保证。Bp神经网络属前馈式网络模型，是一种广泛使用且较为复杂的神经网络[7]，不仅包括输入、输出节点，还有一层或多层隐层，可以获得很高的预测精度，但模型收敛速度慢，模型训练时间长，容易出现局部极值，不适于工作条件变化较大的场合。综合两者的优缺点，本文采用多元线性回归及Bp神经网络相结合的方法来实现机床热误差建模，基本思想是：首先采用多元线性回归对测点数据预处理，然后由Bp神经网络进行综合计算及误差反馈，以提高模型预测精度及鲁棒性。

1模型的理论分析及建立

1.1多元线性回归

多元线性回归建模方法采用统计学理论建立多输入、单输出关系的模型。就本文热误差建模而言，温度变量为多输入，机床某一方向上的热误差为单输出。以Z向为例，热误差模型一般形式可表示为：

ΔZ=β0+β1ΔT1+β2ΔT2+…+βpΔTp

(1)

式中，ΔZ为Z向热误差变化量，ΔTi(i=1,2,…,p)为各测点温度变化量，βi(i=0,1,…,p)为回归系数，ε为随机误差。

假设通过试验获取N组观测数据：(Ti1,Ti2,…,Tip;Zi)，则模型可表示为：

ΔZ=ΔTβ+ε

(2)

式中，

采用最小二乘法计算出回归系数βi的理论估计值。设bi(i=0,1,…,p)为参数βi的最小二乘估计，则bi应使得ΔZi的残差平方和最小，即使得：

(3)

达到最小。

要使Q(b0，b1，…，bp)达到最小，则需满足：

(4)

模型建立后，采用统计学理论对模型参数进行评价，如对回归系数、回归模型等进行显著性检验，通过检验的模型方可用于热误差预测。

1.2Bp神经网络

Bp神经网络具有非线性映射的特点，以及良好的数据并行处理、数据容错、存储等能力，并能实时反馈并校正输出误差[11]。其建立的一般步骤为：

(1)数据的准备

本文采用的是多输入、单输出的网络结构。输出层的传递函数为线性函数，输入层、隐藏层的传递函数为Sigmoid函数，表达式为：

(5)

其值域为[0, 1]。输入变量的取值范围亦要求为[0, 1]，否则不同数量级的输入变量值将直接影响到网络权值的确定及最终的预测结果。通常采用极差法对输入变量进行标准化处理，即：

(6)

其中，xmax和xmin分别为输入变量的最大值和最小值。

(2)网络结构的确定

网络结构的复杂度(预测精度)与模型收敛速度反相关，应在两者间做出权衡。而决定神经网络复杂度的是隐藏层层数及其隐节点个数。在保证预测精度的前提下，通常选择一个隐层的网络最合算。隐节点的选取没有确定的准则，通常隐节点越多模型越易收敛，但可能会产生模型过拟合问题，应根据模型实际训练情况进行选取。

(3)网络权值的确定

(7)

网络权值调整的目标是使预测误差Ej(t)最小，采用梯度下降法可以实现。则第个i节点对输出节点的权值调整量为：

(8)

其中，负号表示负梯度方向，η为学习率。

那么，t+1时刻节点的权值调整为：

Wij(t+1)=α·Wij(t)+ΔWij

(9)

其中，α通常为常数。

一般是初始随机给定一网络权值(通常来自均值为0，取值范围[-0.5，0.5]间的正态分布)，根据上述原理反复调整权值，直至误差达到一个较理想值为止。这样，网络权值便被确定下来。

1.3预测模型的建立

对于同一组建模数列，采用不同样本数据建立的模型不尽相同，且模型预测精度亦存在差别。为获得最佳预测效果，建立多元线性回归-Bp神经网络热误差预测模型，如图1所示。首先采用多元线性回归模型对关键温度测点及热误差数据进行第1次预处理，根据样本划分不同，建立多个回归模型；其次对回归模型2次预处理，根据统计学理论筛选出若干预测效果较好的模型；然后将其预测结果输入到Bp神经网络中进行非线性拟合建模，在这个过程中需要不断对神经网络进行训练，不断调节网络权值；最终建立热误差预测模型。

图1　预测模型结构图

就预测模型中的Bp神经网络模块来讲，输入层为第2次预处理后的多元线性回归模型的预测值，输出层则为最终的热误差预测值，很好的解决了Bp神经网络不适于工作条件变化较大场合的问题，亦有利于发挥其非线性映射及误差反向传播学习的特点。

2试验验证及结果分析

2.1试验分析

试验在某卧式加工中心上进行，采用电涡流位移传感器测量主轴Z向热误差(图2)，在经过温度测点优化后的四个关键位置上布置温度传感器，分别为：X向电机表面ΔT4，主轴中外环面ΔT6，环境温度ΔT10，X向远机端轴承座表面ΔT12，如图3所示。试验采用空切削方式及阶梯转速，尽量模拟实际加工过程，共进行3小时的数据采集，如图4、图5所示。

图2　Z向位移传感器布置图

图4　关键温度测点数据

图5　Z向热误差

2.2模型的建立

根据关键温度测点及Z向热误差数据，首先建立多元线性回归模型。随机对试验数据进行划分(70%用于训练，30%用于测试)，共进行十次划分。根据每次用于建模数据的不同，共建立十组回归模型，并对模型进行基于统计学原理的分析，如表1所示。

表1　多元线性回归模型分析

续表

注：此处的残差均取了绝对值，下同。

下面根据一定规则，筛选出预测精度及鲁棒性均较高的五个模型。

(1)对回归系数进行显著性水平为0.01的t检验，可知模型8、9检验没通过，排除。

(2)R为复相关系数，取值范围[0,1]，表征自变量和因变量间线性回归关系的密切程度，其值越大回归关系越密切。调整的R2反映模型的拟合效果，其值越大说明拟合效果越好。剩余标准差(残差的标准差)表征了模型预测结果的精确度，其值越小预测效果越好。模型摘要如图6所示。根据以上规则，排除模型2。

图6　模型摘要

(3)残差表征了模型预测值与实际值的差别程度，最大残差则在一定程度上反映了模型的鲁棒性。如图7所示，模型4和5的前后训练和测试的预测值的最大残差差别较大，且模型5的鲁棒性更差些，这里先排除掉模型5。

(4)平均残差反映了模型的整体预测精度，如图8所示。模型4的训练和测试预测值的平均残差差别较大，且测试预测值的平均残差要远高于其他模型，排除模型4。

图7　模型最大残差

图8　模型平均残差

通过以上分析，筛选出5个精度和鲁棒性均较高的回归模型：1、3、6、7、10。

2.3结果验证

Bp神经网络预测模型采用5-8-1的拓扑结构，即输入层有5个节点，隐藏层有8个节点，输出层有1个节点，设置学习速率。以筛选出的五个模型的预测值作为输入，建立Bp神经网络预测模型(记为模型A)，如图9所示。

若不采用本文方法，直接建立多元线性回归模型(记为模型B)或Bp神经网络模型(记为模型C)，其误差预测如图10、图11所示。

图9　模型A的预测图

图10　模型B的预测图

图11　模型C的预测图

对比3种方法的热误差模型预测精度，结果如表2所示。

由表2可知，采用本文方法建立的模型，其最大残差仅为1.654μm，平均残差亦只有0.557μm，预测效果优于其他两种方法， 且残差基本分布于零轴附近，波动幅值均小于其他两种模型。

表2　热误差模型预测结果比较

3结论

(1)采用本文方法对卧式加工中心进行热误差建模及试验验证，主轴Z向最大热误差从17.895μm减小到1.654μm，平均残差仅为0.557μm，大幅提高了模型的预测精度。

(2)综合多元线性回归及Bp神经网络的优点建立了新的热误差预测模型。相对于其他模型，该模型具有预测精度高、鲁棒性好、对原始数据要求低等优点，适用于加工条件变化较大场合的机床热误差补偿。

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(编辑李秀敏)

An Modeling Method for Machine Tool Thermal Error and Experimental Verification

LI Yong-yao1,2,CONG Ming1,2, LIAO Zhong-qing1,2, SUN Zong-yu3, LI Hong-kun1,2

(1.Dalian Xinyu Science Technology Development Center CO.，LTD,Dalian Liaoning 116024，China；2. School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology，Dalian Liaoning 116023，China)

Abstract：A new method is proposed to build the thermal error compensation model considering the advantages of multiple linear regression and Bp neural network. Some multiple linear regression models are established by using different sample data. According to the statistics principle, some high accurate and robust models are selected. The predicted results are input into Bp neural network for nonlinear fitting modeling. The final thermal error compensation model is built on the basis of adjusting the network weights and training the neural network constantly. The method is validated on a horizontal machining center. The result shows that Z-axis thermal error is reduced from 17.895μm to 1.654μm.

Key words：thermal error model; multiple linear regression; statistics principle; Bp neural network

中图分类号：TH161；TG65

文献标识码：A

作者简介：李泳耀(1991—)，男，河南商丘人，大连理工大学硕士研究生，研究方向为机床精度稳定性分析，(E-mail)liyongyao1991@163.com。

*基金项目：大连市科技计划项目“汽车发动机和柔性自动线可靠性技术研究”(2013A11GX012)；国家“高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项课题(2013ZX04012071)

收稿日期：2015-06-12

文章编号：1001-2265(2016)01-0063-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.018