轴系过盈联接面形状误差的映射关系研究*

张鹏飞，王德伦，王　智

(大连理工大学 机械工程学院，辽宁 大连　116024)



轴系过盈联接面形状误差的映射关系研究*

张鹏飞，王德伦，王智

(大连理工大学 机械工程学院，辽宁 大连116024)

摘要：过盈联接是轴系零件之间一种常见的配合形式。以轴系中轴与轴套的过盈联接结构为对象，通过多个截面的误差测试与曲面拟合描述过盈联接面的形状误差，将形状误差等效为零件表面离散节点的实际位置相对于理想位置的偏移，采用有限元节点偏移构造实际轴与轴套过盈联接结构的有限元接触模型，分析配合面过盈量、形状误差以及装配状态等对轴套外圆柱面几何特征的影响，建立过盈联接结构形状误差的映射与传递关系，为轴系精度分析、轴系零件选配以及装配工艺参数选择提供基础。

关键词：过盈联接；形状误差；有限元；误差映射

0引言

过盈联接是机械工程中一种常见且不可或缺的结构联接形式，通常用作周向定位和传递扭矩。对于机床和精密类仪器仪表等，精度是机器性能的重要指标，机器的精度直接决定了机器的价值。由于零件的制造误差及弹性变形，过盈联接面在传递扭矩的同时，也传递了零件的几何误差特征，影响了系统的精度。研究过盈联接面形状误差的映射关系，对轴系精度分析与设计具有重要意义。

国内有很多针对过盈联接的研究。文献[1-3]对过盈联接的应力分布进行分析，没有进一步对过盈联接中变形进行分析；陈道礼[4]利用接触单元和等效温度载荷模拟孔与轴的过盈联接，对零件的应力集中进行了分析，但该方法不能模拟零件的形状误差。杨新平[5]利用有限元研究了不同形状误差下圆柱过盈联接表面的应力分布，但没有对形状误差的映射进行分析。潘旭辉[6]利用有限元研究了单一截面中轴与轴套的形状误差映射关系，没有建立配合面形状误差的空间表示方法及有限元模型中的表示方法。

本文以轴与轴套的过盈联接结构为对象，以零件分截面误差测量数据为基础，通过曲线与曲面拟合构造出含形状误差的配合面，然后建立过盈联接的有限元接触模型，采用节点偏移的方法模拟零件配合面的形状误差，研究在不同过盈量、不同误差形状以及不同装配状态下轴与轴套过盈联接时的误差映射关系。

1零件形状误差及其描述

由于制造误差的存在，加工后零件表面的实际形状会与其理想形状存在偏差，即零件形状误差。在过盈联接结构中，零件表面的形状误差通过过盈联接面映射传递到另一零件上，而使其产生变形，进而影响零件的精度。研究过盈联接结构的配合表面形状误差映射关系，首先要正确的描述配合表面的实际轮廓形状。

轴系零件的过盈联接面一般为圆柱面。圆柱面的形状误差为零件实际圆柱面与理想圆柱面之间的偏差，故实际圆柱面可以表示为理想圆柱面与形状误差特征的叠加[7]，其方程如下：

S:r(θ,z)=r0(θ,z)+rμ(θ,z)

(1)

其中，r0(θ,z)表示理想圆柱面的矢量方程，rμ(θ,z)表示圆柱面形状误差特征矢量方程，θ、z为曲面参数。

圆柱表面误差的测量[8]一般是通过测量圆柱若干截面的真实轮廓，再通过曲线与曲面拟合得到近似的真实表面。对于不同的z0值，方程S:r(θ,z0)表示实际轴不同位置的截面轮廓，截面轮廓可采用傅立叶级数拟合方程表示[9]。

r(θ,z0):r=

(2)

截面轮廓半径r为位置角θ的函数。方程中，r0为截面理想圆的半径，δ为截面实际轮廓的尺寸偏差，n为谐波阶数，与an、bn、ω均为截面轮廓的拟合参数，其值综合反映了截面轮廓的圆度误差。以所有被测截面的轮廓曲线数据为基础，通过曲面拟合得到实际零件表面轮廓。因此，方程(1)既可以描述圆柱面的形状误差也可以描述圆柱面的尺寸偏差。

以轴与轴套的过盈联接结构为例，首先对轴的外圆柱实际轮廓面进行测量。取不同z值的轴截面测量其实际轮廓，提取各测点的误差数据，以式(2)中傅里叶级数拟合方程拟合各截面形状曲线，再通过曲面拟合得到圆柱面实际轮廓，如图1a，表示轴外圆柱面的拟合轮廓；图1b为轴中心截面的拟合轮廓曲线。

图1　圆柱面的曲面拟合及截面的曲线拟合

2过盈联接的有限元建模

利用ANSYS软件进行有限元分析时，分析模型的形状一般为零件的理想形状，模型的尺寸为零件的公称尺寸，即忽略了零件几何误差对分析结果的影响。节点偏移法是在有限元模型中对节点进行操作的一种方法，通过强制偏移零件表面节点的坐标位置来模拟零件的形状误差或尺寸偏差。根据上述形状误差的描述方法，在有限元模型中实现零件实际表面轮廓与节点坐标一一对应关系，模拟零件的形状误差和尺寸偏差，进而分析过盈联接的形状误差映射。

本文以空心轴与轴套过盈联接结构为例，研究过盈联接面形状误差的映射关系，轴与轴套的基本结构参数如表1、表2所示。

表1　轴的基本结构参数 (单位:mm)

表2　轴套的基本结构参数 (单位:mm)

使用ANSYS的ApDL语言[10]完成有限元的建模过程。单元类型选用八节点单元Solid185，六面体扫略法划分网格，网格径向尺寸为1mm，周向尺寸为2°。通过节点偏移法模拟零件的形状误差和过盈量。过盈联接是一种典型的非线性接触问题，定义接触类型为面-面接触，接触单元选3D 8节点面-面元CONTA174，目标单元选择3D目标单元TARGE170。轴的外圆柱面为接触面，轴套内孔面为目标面。轴与轴套配合过盈量为0.02mm时，有限元的网格划分及计算结果变形云图如图2所示。

图2　有限元模型网格划分及计算结果

弹性力学中过盈配合厚壁圆筒过盈配合理论计算公式[11]有轴外半径的径向位移：

(3)

轴套内半径的径向位移：

(4)

过盈配合的压力：

(5)

其中，δ0为配合的过盈量，r1为轴的内半径，r2为配合表面半径，r3为轴套外半径；E为材料的弹性模量，λ为材料的泊松比。

改变轴与轴套配合的过盈量，分别用有限元及过盈配合理论公式计算轴套内孔面中间截面的变形并对结果进行比较如表3。由表可知，有限元计算结果与理论结果近似一致(误差<2%)，故可用该有限元建模方法模拟零件之间的过盈。

表3　理论计算值与有限元计算值对比(单位:μm)

3圆柱度误差评价与计算

圆柱度误差是指实际被测圆柱面对其理想圆柱面的变动量，其误差评定为使被测实际要素相对于理想要素的最大变动量为最小。圆柱度误差评定主要依赖于拟合圆柱轴线的位置选取，根据轴线位置确定两个同心包容圆柱，两个同心圆柱的半径差就是圆柱度误差值。圆柱度误差评定方法[12]主要有：最小区域法、最小二乘法、最小外接圆柱法、最大内切圆柱法等。

本文采用最小二乘法评定圆柱度误差。该方法是要找到一圆柱面，使实际被测圆柱面上各点至该圆柱面距离的平方和为最小，则此圆柱面即为最小二乘圆柱面。设最小二乘圆柱面的轴线L方程为：

(6)

参数(a,b,c,m,n,k)决定了轴线的位置和方向。设圆柱实际表面的各测点坐标为pi(xi,yi,zi)，则测点pi到最小二乘圆轴线L的距离为：

(7)

根据最小二乘法的定义 ，目标优化函数为：

(8)

其中，r0为最小二乘圆柱面的半径值。该优化问题属于求解无约束条件非线性极小值，优化参数为(a,b,c,m,n,k)，可使用Matlab优化工具箱函数进行优化求解[13]。

被测圆柱面的圆柱度误差为距最小二乘圆柱面轴线最远点与最近点的距离差。

4形状误差与映射误差之间的关系

研究不同过盈量、不同形状的误差轴与轴套的配合以及二者在不同配合状态下，轴套外圆柱面的映射误差与源误差之间的关系。由于文章篇幅所限，在此只讨论几种典型形状的误差轴与轴套的过盈联接。

4.1过盈量与映射误差之间的关系

过盈联接是轴系零件配合中一种常见的联接方式。过盈本质上为配合面的实际尺寸相对其理想尺寸的偏差。以无形状误差的轴与轴套过盈联接结构为例研究过盈量与映射误差之间的关系，取配合后轴套外圆柱面节点的位移数据进行分析。

图3　轴套外圆柱面半径变化量与过盈量之间的关系

计算结果表明不同过盈量的过盈配合，轴套外圆柱面的圆柱度误差均为0，但其半径变化量随过盈量改变，变化关系如图3。由图中可知，外圆柱面的半径变化量随过盈量的增大而增大，且呈线性变化关系。过盈联接面对轴套外圆柱面的映射误差表现为其半径的变化量。

考古发现古闸下游中间部分为跌水消能，综合对中孔闸墩上 “开平闸”石刻的分析，“永嘉水则”有另一用途：“水则”不仅规定了相应水位开闭闸门，同时也是蓄放水时开闭闸门顺序的规则，即现代所谓的闸门操作规程。开启水闸时先开中孔再开边孔，关闭水闸时先关边孔后关中孔，以避免对下游两岸岸坡的冲刷。可见，“永嘉水则”的先进技术与现今水闸操作规程完全吻合，古人已熟练掌握了水闸运行管理技术，对防洪排涝调度和闸门启闭操作都有较深的研究。

定义误差映射系数

(9)

其中，δ为被映射零件的映射误差，δ0为源误差零件的误差。误差映射系数描述映射误差与源误差之间的大小关系，反映配合面的误差映射程度。对于无形状误差的轴与轴套的过盈配合，误差映射系数可表示为轴套外圆柱面半径变化量与过盈量的比值。

由于轴套外圆柱面半径变化量与过盈量呈线性变化关系，故不同过盈量下的映射误差系数均为k0=0.7028。

4.2鼓形、锥形误差轴的形状误差映射分析

轴类零件在加工时由于机床或零件刚度不足，会使加工后的轴带有鼓形误差或锥形误差[14]，图4为鼓形误差轴和锥形误差轴的轴截面形状。

图4　误差轴截面形状

误差轴与轴套配合时，轴外圆柱面的形状误差通过过盈联接面映射传递到轴套使其形状发生改变。图5为配合后轴套的有限元变形云图，从图中可知，轴套与鼓形轴配合后，轴套中部区域变形较其两端区域变形大，轴套变形呈鼓形；轴套与锥形轴配合后，轴套一端区域变形较大而另一端区域变形较小，轴套变形呈锥形。即在过盈联接结构中，映射误差与源误差具有同样的形状，过盈联接面对误差有复映的效果。

图5　轴套有限元计算云图

取鼓形轴与轴套配合的有限元计算结果进一步分析，轴套轴截面各点处映射误差与源误差之间的关系如图6，计算各点处的误差映射系数如图7。可知鼓形误差轴与轴套配合结构的边缘处轴套外圆柱面的误差映射系数最大，k=1.213，即映射误差较源误差大；配合中间区域的误差映射系数近似相等，且k<1。

图6　轴套轴截面映射误差与源误差之间的关系

图7　误差映射系数与轴套节点位置的关系

4.3棱圆误差轴的形状误差映射分析

图8　三棱圆、四棱圆示意图

对有限元计算结果提取轴套外圆柱面节点位移，并按上述最小二乘法计算外圆柱面的圆柱度误差，计算结果如图9。

可知不同棱数的误差轴与轴套配合，轴套外圆柱面的圆柱度误差不同，过盈联接面对外圆柱面的映射误差表现为其圆柱度误差。误差轴形状误差值相同时(分析中轴的形状误差值为0.04mm)，误差轴的棱数越多，轴套外圆柱面的圆柱度误差越小。误差映射系数可表示为轴套外圆柱面的圆柱度误差与轴圆柱度误差的比值。当棱数多于20时，轴套外圆柱面的圆柱度误差变得很小，对应的误差映射系数也极小，故可认为误差轴对轴套外圆柱面没有形状误差的映射。

图9　轴套映射误差与误差轴形状之间的关系

当轴外圆柱面与轴套内孔面均存在形状误差时，二者配合的相对位置不同，对外圆柱面的映射误差也不同。以三棱圆形误差轴(形状误差为0.05mm)与内孔面为三棱圆形(形状误差为0.02mm)轴套过盈联接结构为例，研究不同配合角度下，轴套外圆柱面的映射误差之间的关系。图10为二者配合时棱边夹角分别为0°、30° 、60°以及90°时外圆柱面的形状误差。

图10　不同配合夹角的误差映射

从图中可知，不同的配合角度，轴套外圆柱面的形状误差也不相同。从图中曲线的波峰(谷)数可知，不同配合角度下轴套外圆柱面均被映射为三棱圆柱形，但形状误差值不同。当配合夹角为0°时，外圆柱面的形状误差值最小，配合夹角为60°时，外圆柱面的形状误差最大，即合理的装配方法可以对轴外圆柱面与轴套内孔面的形状误差起到误差均化的作用。在实际装配过程中，可通过调整轴与轴套的配合夹角而使轴套外圆柱面的映射误差达到最小。

5结论

基于所建立的轴与轴套过盈联接结构的有限元模型，对不同过盈量、误差形状以及装配状态下的误差映射关系进行了研究，结果表明：

(1)通过有限元节点偏移法模拟零件的过盈配合，计算配合面的变形量与过盈配合理论计算公式计算结果近似一致(误差≤2%)，证明可用此方法分析零件之间的过盈配合。

(2)棱圆形误差轴与轴套配合时，棱数越多，轴套外圆柱面的映射误差越小，当n超过20时可认为对外圆柱面无形状误差的映射。

(3)合理的装配方法可以起到误差均化的效果。即在轴与轴套的实际装配过程中，可通过调整轴与轴套的配合夹角而使轴套外圆柱面的映射误差达到最小。

[参考文献]

[1] BALDANZINI N. A general formulation for designing interference-fit joints with elastic-plastic components [J]. Journal of Mechanical Design，2004，126(4)：737-743.

[2] LEWIS R，MARSHALL M B，DWYER-JOYCE R S. Measurement of interface pressure in interference fits [J]. proceeding of the Institution of Mechanical Engineers，part C：Journal of Mechanical Engineering Science，2005，219(2)：127-139.

[3] Zhao H. Numerical analysis of the interference fitting stresses between wheel and shaft[J]. International Journal of Material production Technology,1997.

[4] 陈道礼. 过盈联接的有限元分析[J]. 机械设计，2001(2) : 46-48.

[5] 杨新平. 表面形状误差对过盈配合性能的影响及其计算研究[D]. 西安：西北农林科技大学，2003.

[6] 潘旭辉. 轴套形状误差的过盈配合映射研究[J]. 组合机床与自动化加工技术，2013(3): 12-16.

[7]王德伦，王智，董惠敏，等. 回转副精度特性的弹性冗余空间机构模型[J]. 机械工程学报，2013，49(17): 110-122.

[8] 甘永立. 几何量公差与检测[M]. 上海: 上海科学技术出版社，2008.

[9] 王宝坤. 圆柱滚子轴承元件几何误差对轴承性能的影响[D]. 大连：大连理工大学，2013.

[10] 龚曙光. ANSYS参数化编程与命令手册[M]. 北京: 机械工业出版社，2009.

[11] 马平，张伯霖，李锻能，等. 高速机床电主轴过盈配合量的计算[J]. 组合机床与自动化加工技术，1999(7)：22-27．

[12] 刘飞. 圆柱度测量与评价[D]. 洛阳: 河南科技大学，2008.

[13] 刘国光. 基于Matlab评定圆柱度误差[J]. 工程设计学报，2005,12(4): 236-239.

[14] 卢秉恒. 机械制造技术基础[M]. 北京: 机械工业出版社，2007.

(编辑李秀敏)

Research on Geometrical Error Mapping of Interference Fit in Spindle System

ZHANG peng-fei，WANG De-lun，WANG Zhi

(School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China)

Abstract：Interference connection is a common type of parts fitting in spindle system. Taking the shaft and the sleeve interference coupling structure as objects, we made the shape error equivalent to the offset of the nodes which is relative to the ideal position, through the description of geometrical error for interference surface with the error test of multi-faces and surface fitting. The node-offset of FEM was applied to build the finite element contacting model which combines actual shaft and sleeve interference coupling structure, while the effect of geometrical error of fitting surfaces and interference quality on the geometrical characteristics of the sleeve surface was analyzed. In addition, the mapping and transitive relationship of geometrical errors for interference structure was also built. All these work provided based references for spindle accuracy analysis, and the selection of shafting parts and assembling process parameters.

Key words：interference coupling; geometrical error; the finite element; error mapping

中图分类号：TH162;TG506

文献标识码：A

作者简介：张鹏飞(1989—)，男，山东临沂人，大连理工大学硕士研究生，研究方向为机床支承件结构优化设计及精度设计，(E-mail)zhangthen@126.com。

*基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275067)

收稿日期：2015-03-30；修回日期：2015-04-16

文章编号：1001-2265(2016)01-0101-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.01.028