外部输入与两单元CNN的完全稳定性

贺国旗，韩泉叶，陈绥阳

(1.陕西广播电视大学，陕西西安 710068;2.西安交通大学，陕西西安 710049)

外部输入与两单元CNN的完全稳定性

贺国旗1，韩泉叶1，陈绥阳2

(1.陕西广播电视大学，陕西西安 710068;2.西安交通大学，陕西西安 710049)

细胞神经网络(CNN)在图像处理、模式识别等领域有非常广泛的应用，应用的基础取决于对网络动力学特性的认识，尤其是网络在什么条件下有极限环，什么条件下是稳定的。研究了一类在没有外部输入条件下已经被证明是不稳定的两单元细胞神经网络(CNN)在加上外部输入后的特性。该网络在不加外部输入时的特点是:全局只在0区存在唯一齐点，并且存在一个围绕0区的极限环。证明:加上外部输入后，外部输入在一定的区域取值，网络仍保持这样的特点，即网络仍不是完全稳定的，存在一个围绕0区的极限环。这表明，不加外部输入时的情况只是加外部输入的一种特例。此外，还给出了这个外部输入值的取值区域。这个两单元细胞神经网络的结果有助于进一步研究较大规模细胞神经网络的非线性动力学特性，也有助于进一步拓展其在函数逼近、模式识别及图像处理等方面的应用。

细胞神经网络;齐点;极限环;稳定性

0 引言

细胞神经网络(CNN)在图像处理、模式识别等领域有非常广泛的应用［1-4］。CNN的完全稳定性是其应用的基础［5］，所以，自从CNN理论被提出［3］以来，人们就在不断地研究它的完全稳定性［6-11］，包括嵌入忆阻器的CNN［12-14］。目前，对于不加外部输入的两单元CNN(CNN(2))的完全稳定性，已经比较清楚了［4］。对于不是完全稳定的CNN，通过外加输入使其完全稳定是一种有效的方法。实际上，通过外加输入不仅可以改变CNN的稳定性，而且可以改变饱和区中稳定节点的吸引域，甚至可以使饱和区中的稳定节点消失或出现，从而完全改变CNN的动态行为［15］。文中就一类已经被证明不是完全稳定的CNN(2)［4］，研究其在外加输入条件下的稳定性的变化情况，给出一个仍使CNN(2)不完全稳定的取值区域。

1 状态方程与齐点

在带有外部输入情况下描述CNN(2)状态的微分

1.6 5区(x1＞1，x2＞1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)状态的微分方程:

1.7 6区(x1＜－1，x2＞1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)状态的微分方程:

1.8 7区(x1＜－1，x2＜－1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)状态的微分方程:

1.9 8区(x1＞1，x2＜－1)

由式(1)、(2)、(3)得CNN(2)状态的微分方程:

2 完全稳定性

定理1:由式(1)、(2)、(3)描述的满足条件(4)、(5)的CNN(2)，若全局只在0区存在唯一的齐点，则它不是完全稳定的。

证明:由于齐点在0区内部，有式(8)、(9)成立。

做坐标平移:这样，使齐点的位置成为新坐标系v1o＇v2的原点(见图1)。

o＇只能是不稳定的节点或不稳定的焦点［16］，所以轨线只能离开o＇趋向0区的边界。而在无穷远处，描述各区域有如下的微分方程:

所以轨线都是向内缩进的，则由Poincarè-Bendixson定理知必存在环绕0区极限环，所以系统不是完全稳定的。

定理2:当外部输入(u1，u2)同时满足条件(67)、(68)时(即在图2所示的矩形区域中取值)，CNN(2)只在0区存在唯一齐点，而在其他区域没有齐点。

证明:思路其实很简单，就是验证各区域齐点存在的条件是否满足。首先验证它满足0区齐点存在的条件(8)、(9)。

实际上:

由式(69)、(70)知条件(8)满足，同理可证条件(9)满足。证明1区存在齐点的条件式(15)不满足。

由上式知式(15)不满足，所以1区没有齐点。同样可以一一验证2、3、4、5、6、7、8区中都没有齐点。

由定理1和定理2可知:当外部输入(u1，u2)在图2所示的矩形区域中时，由式(1)～(5)所描述的CNN(2)不是完全稳定的。

3 结束语

满足条件(4)、(5)的不加外部输入的CNN(2)是全局只在0区存在唯一齐点，且不是完全稳定。其实，它只不过是满足条件(4)、(5)且带有外部输入(u1，u2) 的CNN(2)在(0，0)点的特例，外部输入(u1，u2)在图2所示的矩形区域中，CNN(2)全局只在0区存在唯一齐点，且不是完全稳定的。这个结果对于细胞神经网络应用的启示意义在于:如果要应用CNN(2)，应该尝试通过增加外部输入使其稳定，这需要进一步研究。

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Complete Stability of Two-cell Cellular Neural Networks with External Inputs

HE Guo-qi1，HAN Quan-ye1，CHEN Sui-yang2
(1.Shaanxi Radio＆TV University，Xi’an 710068，China;2.Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China)

Cellular neural networks have been widely used in image processing，pattern recognition and other fields.The base of the applications is the realization of the dynamics，especially when there will be a limit cycle and how the network is stable.In this paper，a case of two-cell cellular neural networks with external inputs is studied which has been proved it is not completely stable without external inputs. The feature of the network without external inputs is that there is only one fixed point in region 0 and there is a limit cycle around region 0.It will prove that with external inputs and their values in given domain，the network still has the feature that it is not completely stable and there is a limit cycle around region 0.This indicates the CNN(2)without external inputs is only a special sub-case of that with external inputs.The domain of the external inputs values is also given.The result has expanded the understandings about the dynamics of the CNN(2).He results on two-cell cellular neural networks will help to further study the nonlinear dynamics of large-scale cellular neural networks，and will also help to further expand its applications in function approximation，pattern recognition，image processing，and others.

CNN;fixed point;limit cycle;complete stability

TP391

A< class="emphasis_bold">文章编号:16

1673-629X(2016)09-0167-04

10.3969/j.issn.1673-629X.2016.09.037

2015-12-16

2016-04-08< class="emphasis_bold">网络出版时间:

时间:2016-08-23

陕西省2014年重大科技创新项目(2014ZKC03-18);陕西省2014年度信息化重点建设项目(陕工信发〔2014〕199号)

贺国旗(1968-)，男，副教授，研究方向为图形图像处理、网络技术;陈绥阳，教授，博导，研究方向为计算机软件、计算方法。

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1450.TP.20160823.1359.066.html