关于数学中逆向思维的培养

李玉海

（吉林省大安市月亮泡镇中学 吉林大安 131300）



关于数学中逆向思维的培养

李玉海

（吉林省大安市月亮泡镇中学 吉林大安 131300）

摘 要：逆向思维是数学中的一种重要的思维方法。它是在研究问题时，从反面观察事物，去做与习惯性的思维方向完全相反的探索，推导不下去时考虑逆推解决，探讨可能性发生困难时考虑探讨不可能性，由此寻求出解决问题的方法，是创造性思维的重要组成部分。本文主要阐述了在数学教学中，如何通过对定义、公式、定理的可逆性及逆运用的教学，以及解题过程中的其他角度的思考来培养学生的逆向思维习惯、逆向思维的自觉性及其兴趣，最终达到提高学生的逆向思维能力的解决实际问题的综合能力。

关键词：数学 教学 逆向 思维 能力 培养

逆向思维是数学中一种重要的思维方法。逆向思维从反面观察问题，打破心理学上的心理定势现象，冲破习惯思维的束缚，在与原来认识方向相反的方向上寻求解决问题的新方法，有时会产生意想不到的良好效果或获得新的发明和创造。逆向思维不但在数学的历史发展过程中有重要作用，而且在我们学习数学的过程中也发挥着举足轻重的作用.在学习数学的过程中，经常会遇到这样的情况，当我们对书本上的基本知识和概念初步掌握后，就能够根据基础知识解决书上的一些例题和习题.这时大多数学生就会认为自己已经掌握和了解了全部内容.其实这时对于知识的理解是肤浅的，远没有达到融会贯通的程度，更谈不上有所发展了。这时，教师就应该引导学生从各种不同的途径，用多种方法去思考问题，如用逆向思维方法有重点的讨论问题，这样会收到事半功倍的效果。［1］

一、在基础知识的运用中培养逆向思维

1．在概念教学中培养逆向思维

作为概念的命题，其逆命题一般总是成立的。在数学教材中，很多数学概念都可以提出逆向问题。在教学中要注意引导学生研究概念的逆命题及其应用，对培养学生的逆向思维能力是很有好处的。因此，在初等数学的一些简单概念教学中就应注意这些方面的训练，以便学生养成逆向思维的习惯。

2．注意公式逆向思维

在许多教材参考资料的发展和深化中，在不少数学问题的解答中，经常需要将公式变形，逆向使用。而学生往往在解题时缺乏这种自觉性和基本功。因此，在教学中要注意这方面的训练。以培养学生逆向思维的基本能力。数学中的公式很多，熟练掌握公式并能灵活地应用，是解决数学问题所必须的，其中灵活地逆用公式是不可缺的。

数学中的公式都是具有双向性，在正向应用的同时，加强公式的逆向应用训练，不仅可以加深学生对公式的理解和掌握，还可以培养学生灵活运用公式的能力。教师应通过对公式的推导、公式的形成进行对比，探索公式能否逆向运用，从而培养学生逆向思维能力，以增强解题技巧。

3．注意定理逆向思维

数学中有许多可逆定理，恰当地运用这些可逆定理，可以将所学的知识融会贯通。掌握可逆定理、性质和法则的互逆表述。

引导学生探求定理的逆命题的真假性，不仅使学生学到的只是更为完备，激发学生去钻研新只是，而且能培养学生创造性思维，把定理题设和结论在一定条件下进行转化，而形成有异于原命题基本思想的新题型。

在学习某些数学定理后，引导学生探索其逆命题，再去判断或论证逆命题的正确性，并进而启发他们用这些逆定理去解决一些问题，自然能激发学生的逆向思维的兴趣。

二、在分析和解决问题中培养逆向思维

1．反证法

反证法是一种间接证法，它是通过证明一个命题的逆否命题来证明原命题正确的一种方法，是运用逆向思维的一个范例。有的问题直接证明有困难，可反过来思考，假设所证的结论不成立吗，经层层推理，设法证明这种假设是错误的，从而达到证明的目的。

反证法的特点是先提出与待证的结论相反的假设，然后推倒与公理、定义、已证的定理或题设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证的结论相反的假设不成立，从而肯定了原来求证的结论成立.因此它是逆向思维的重要方法.

2．正难则反换角度思考问题

互相转换在中学数学的教学过程中，往往会出现死胡同的问题，也就是当我们主动的、努力地去寻找问题答案，却一直得不到答案，并且进入到一个无法继续的死胡同的时候，就应该运用逆向思维中互相转换的方法，也就是当找不到答案的时候，可以适当的、合理的去考虑一些问题中已知的相关条件或者是相关的元素，通过间接的、迂回的方法来找到问题的答案。

学习数学的方法有很多，获取数学知识的途径也有很多。在数学中往往会遇到一些难度非常大的数学题，而通过学生常规的正向思维很难解答，这时候我们就要实施正难则反的策略，大胆的采取逆向思维，从题目的侧面、反面去进行推敲以及验证，并且认真的进行分析，这样一来问题就会变得容易许多。

3．执果索因的分析法

在中学教学过程中所出现的一些证明题，往往是按照逻辑推理的顺序以及按照题目已知的条件来完成证明过程的，可是在一些比较特殊的情况下，问题就没有这么简单了，比如说题目中所设定的条件非常有限或者是非常隐蔽，而这个时候，就应该利用逆向思维中的分析法，从题目的结论来着手，逆向推导出应该成立的、充分必要条件，从而推断出题目中所有的已知条件，最后在反过来按照逻辑顺序重新进行相关的证明。［2］

分析法是从命题的结论除法寻找充分条件的证明方法。在数学证明中，按逻辑推理顺序和要求来说，应从题设条件除法，根据已知的定理和事实逐步推得要证明的结论。但从解题策略的角度来看，除了简单的情形，这种方法并非上策。因为在一定的已知条件下，由已知的定理和事实出发，可以推出的结论往往很多。若反其道而行之，从欲证结论出发追溯题设条件，再反过来依此途径便可完成一个由条件到结论的证明。这就是简历在逆向思维原则上的分析法的精神实质。在几何、不等式的证明等问题中都可利用这种方法解决。

4．反中求正的选择题

有些选择题计算非常繁琐，往往容易在一道选择题上计算浪费太多的时间，很不划算。针对复杂繁琐的选择题，既然不容易算出答案，那就不妨从选项入手，逐一排除错误的选项，正确答案便选出来了。

总之，培养学生的逆向思维能力，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维品性，提高学生分析、判断及解决问题的能力，提高学习效果、学习兴趣，及提高思维能力和整体素质。值得注意的是：正向思维有它很大的积极的一面，但决不能一味地追求逆向思维的训练，否则适得其反。要结合所教学生的实际情况，因材施教，适当、适度地施以逆向思维的教学手段，以达到启迪数学智慧的目的。

参考文献：

［1］宋良良.初中数学逆向思维训练浅议［J］.试题与研究，2010（6）

［2］翟海军.“逆向思维”在数学解题中的体现［J］.高中数理化，2011 （2）