神奇的莫比乌斯圈

渠慎情

本期话题刘同学的文章提到了莫比乌斯圈，它简单，却又令人神往。一百多年过去了，很多数学家、科学家、艺术家以及作家仍对其兴趣盎然，充满幻想。

如果你也有兴趣的话，我们可以共同参与，来体会一下莫比乌斯圈的神奇。

操作一

取一个长方形纸带ABCD（如图1），把纸带AB端固定不动，扭转CD端半圈后，使得点A与点D重合，且点B与点C重合，就可得到莫比乌斯圈（如图2）。

操作说明

这是最简单的莫比乌斯圈。它的得到看似“一扭一粘”，其实，在这条看似简单的纸带上蕴含着许多数学、科学及艺术的思想。

操作二

用一支笔沿着带子的中线描痕。如果笔不离开纸带，那么笔尖能回到原点吗？（见图3）

操作说明

能回到原点（如图4）。这体现了莫比乌斯圈单面的性质。

操作三

在纸带的边缘找一点A，如果你手不离纸，沿着纸带向前移动，你还能回到点A吗？

操作说明

能回到A点。这体现了莫比乌斯圈单边的性质。

操作四

用一把剪刀沿着莫比乌斯圈的中心线剪开，结果是否会得到一个完整的圈呢？如果能剪出一个圈，那这个新圈是单边单面的，还是双边双面的？剪一剪，看一看。

操作说明

是一个圈，但不是单边单面的。

实际上，如果初始环（圈）是扭转n（奇数）个半圈得到的，那么沿纸带的中心线剪开后得到的结果是扭转2n+2个半圈的环。如果初始环是扭转偶数个半圈得到的，那么沿中心线剪开后的结果是两个分离的、更窄的，却和原来一样的环带。

操作五

如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，给中间部分涂色，粘成莫比乌斯圈。再用剪刀沿画线剪开，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？

操作说明

都不是。纸带不是一分为二，而是一大一小（涂色部分）的相扣环。涂色的环与原来的纸带长度相同，另一个长度是原纸带的2倍长。如果把这些纸带紧挨在一起，那么表面上会出现三个环，其中涂色的环似乎与其他两个分离。

操作六

设想一个由某种透明的带所构成的莫比乌斯圈的世界。在这样的世界里有一个“平面人”，他是如同二维的侧面黑色影像（如图6）那样出现在带上的。这人从带上的某个点开始散步，他走啊走，终于回到了原点。当他回到原地时，有什么奇怪的事情发生吗？如果他一直走下去，什么时候是尽头？

操作说明

这个“平面人”翻了个个，上下颠倒了，就像改变了方向。可是，他永远也走不到尽头。

这在刘同学的文章中有提及，即与手性有关。

操作七

查阅资料，看看莫比乌斯圈在现实生活中有哪些实际应用；有哪些莫比乌斯圈的艺术呈现形式？是一尊充满神奇的雕塑，还是一段充满悬念的时间旅行？