江苏省南通市2015年数学中考压轴题解法之我见

顾徐亚

[摘要]本文对江苏省南通市2015年数学中考第28题进行了深度解析，其中重点分析了第（2）问的三种解法，从不同的思维角度探讨了该问题的普通解法和特殊解法，目的是找到压轴题的一般解法和教法.

[关键词]生态教学；数形结合

试题已知抛物线y=x²-2mx+m²+m-1（m是常数）的顶点为P，直线Z：y=x-l.

（1）求证：点P在直线l上.

（2）当m=-3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一交点为Q，M是x轴下方抛物线上一点，∠ACM=∠PAQ，求点M的坐标.

（3）若以抛物线和直线Z的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有符合条件的m的值.

简析本题以二次函数相关知识为背景，在知识层面考查学生对二次函数的顶点式的理解，如何用配方法求二次函数的顶点坐标，如何确定一个点是否在函数图象上；在方法层面考查了二次函数的公式法、配方法、一元二次方程的解法等；在思想层面考查了数形结合、分类讨论、方程等思想；在思维品质方面着重考查了学生思维的敏捷性、深刻性和独创性.本题设计思路较为新颖，解法多样，其中第（2）问的解决与否与第（3）问没有任何联系，考查了学生的生态解题能力.总之，这道题对学生数学素养的考查是多向的，区分度很强，是一道较好的压轴题，

解法

问题（l）：解法1：利用配方法配成顶点式y=（x-m）²+m-l，所以P（m，m-l）.将点P的坐标代入y=x-1中可知左、右两边相等，故点P在l上，

解法2：利用顶点坐标公式直接算出顶点坐标，从而代人检验（此处可以算出顶点横坐标后，将其代入二次函数解析式算出顶点纵坐标亦可）.

问题（2）：解法1：如图2，作PF⊥x轴于点F，作QG⊥x轴于点G，作ME⊥y轴于点E，由题意可得当m=-3时点P（-3，-4），Q（-2，-3），A（-5，0），B（-1，0），C（O，5）.

由以上各点的坐标易得∠QAG=45°=∠A CO=∠CAD.

因为∠ACM=∠PAQ，

所以∠QAG+∠PAQ+∠APF=∠ACO+∠ACM+∠ECM=180°.

所以∠APF=∠ECM.

又∠AFP=∠CEM=90°，

所以△AFP∽ △MEC.

所以

设点M（a，a²+6a+5），则AF=2，PF=4，ME=-a，CE =5-（a²+6a+5）=-a²-6a，代入上式解得a₁=0（舍），a₂=-4，从而得到M的坐标为（-4，-3）.

解法2：如图3，将上述坐标均标记到网格中，利用网格的特性可以快速找到答案.当∠ACM=∠PAQ时可以发现此时直线CM恰好过点N（CN为右上角矩形的一条对角线），而N点的坐标为（一1，3），由此可以求出直线CN的解析式，进而与二次函数联立方程组求出M点的坐标.

解法3：如图4，由所解得的坐标易得△APQ为直角三角形且两条直角边之比为1：3.

故可由点A向直线CM作AH⊥CM于点H，过点H作HD⊥y轴于点D，过点A怍AI⊥DH-点I.

因为∠ACM=∠PAQ，又∠AQP=∠AHC=90°.

所以△AQF∽△CHA，从而有AH：HC=1：3.

又由所作图形易得△AIH∽△HDC， 所以

不妨设点I（-5，y），则HD=-3y，HI=5+3y，CD=15+9y，从而有OD=AI，即15+9y-5=-y，解得y=-l.得日（-3，-1）进而可求直线CM的解析式，再求点M的坐标，

问题（3）：由（1）的点P的坐标为（m，m-1），再求得点Q的坐标为（m+l，m）. 进行分类讨论，如：①OQ=OP；②PO=PQ；③QO=QP

利用两点间距离公式列方程求解即可.

所要特别说明的是本问题与问题2无任何联系，学生可根据自己的情况自由作答.

关于压轴题教学的几点思考：

压轴题从来就不是孤立的数学题，它在考查学生的数学综合素质的同时也在考验我们数学教师的课堂教学能力、综合驾驭知识的能力，尤其要让学生能够在教师的教学中将数学知识吸收消化进而转变成自己的解题能力，所以在教学时需要做到以下几点：

（1）化整为零，分散教学.将压轴题常见的解题方法、思想进行总结归类，在平时的教学中逐步渗透，帮学生进行知识的梳理和归类，让他们形成一种规范，一方面减轻了学生过重的学业负担，另一方面又能大幅度地提高学生的解题能力.

（2）先易后难，生态教学，本道考题的最后一问与学生难以突破的第（2）问没有任何关联，但反馈的信息表明大部分学生并没能跳过第（2）问直接解决最后一问，说明我们教师在教学时需要有意识地引导，甚至必要时强制放弃部分难题而去先完成较为简单的问题.事实上，学生在解决较容易题之后也能更好地投入到难题的思考中去，一方面思维越练越活跃，另一方面容易题都解决后去做难题也无后顾之忧，学生更能够全力以赴.

（3）数形结合，并联教学.本题的第（2）问是学生最难以突破的一个问题.笔者提供的三种解答中，自己最欣赏的还是第二种，究其原因，不仅是这种方法最简单，更是因为这种方法才是真正的数形结合.笔者认为真正的数形结合是使数学简单化而非复杂化.所以我们教师在教学时需要有意识地将数与形的教学齐头并进、彼此联系着进行对比教学，让学生有选择地去弄清数与形的关系，从而形成一种什么时候用“数”，什么时候用“形”的一套自己掌握的法则.

（4）重点知识，反复教学，二次函数的教学历来是初中数学的重头戏，其教学的成功与否关系到初中数学学习的成功与否，所以必须不惜时间与代价全力以赴做好该知识点的教学与训练，教学中需要教师做到二次函数的配方法、顶点式、对称性、待定系数法等知识点的反复练习，使学生达到熟能生巧的程度.endprint