韩信立马分油问题的三种策略

2016-03-18 05:55张安军
中学数学杂志(初中版) 2016年1期
关键词:倒油韩信葫芦

张安军

韩信立马分油问题.相传汉代军事家韩信一天访友归来,途中经过一集市,遇见卖油翁与顾客争执.买者想买5斤油,而卖者无法计量,因而告诉买者,要么买3斤,要么买7斤.韩信询问得知,卖油翁油娄中的葫芦恰好装有10斤油,但他仅有装3斤和7斤的葫芦,而买者执意要买5斤油.韩信立在马上稍加思索道:“你们无须再争,以我之法保你们都满意.”韩信下马经过几次倒油,买卖双方皆大欢喜.你知道,韩信是怎么倒油吗[1]?

策略一摸着石头过河,盲目拼凑

在解决这个问题时,你可能尝试着拼凑,运气好的话,你或许可以很快地凑成功,当然这种成功有着偶然性,犹如摸着石头过河,凭感觉,缺乏目标,尝试操作时间久一些,有可能拼凑成功,如下表1:

策略二正难则反,从结果中逆推

然而这样的操作是有几分偶然性和盲目性,倘若中间凑不成功,那么又要从头开始.如果我们调整一下策略,从结果开始,逆推进行,从上面的表格中可以发现最后三个容器的状态分别为5、5、0斤.由于每次倒油,从上表中可以发现这样一个有趣的现象,就是在这三个容器中至少有一个容器被倒空,或被倒满,不会出现三个容器都同时有油但未满的状态;有了这条规则,在逆推的过程中,同时还要关注倒油前后的等价性,即第(n+1)次←→第n次,如下

从结果逆向思考,可以减少倒油过程的盲目性,又可以最小的次数达到符合要求的操作,如上表从结果逆向最小需要9次就可.从中可以得到启发,考虑问题思维不要单向度,正难则反,执果溯源,确定解题的方向.

策略三化无形为有形,利用图象解决

上述的10斤、7斤、3斤的葫芦为了方便起见,把它们分别记作1、2、3号葫芦,刚开始时,1、2、3号葫芦分别是10斤、0斤、0斤,用数学符号记作(10,0,0),由于不管如何操作,1、2、3号葫芦所装的油的总和为10斤,即(z,x,y)中x+y+z=10,当x,y,z中有两个量确定时,第三个量也唯一的确定,因此可以用三个数中的两个数表示问题中的量,不妨用2、3号的葫芦表示,如(7,3)表示2、3号葫芦所装的油分别为7斤、3斤,推广之(x,y)表示2、3号葫芦所装的油分别为x斤、y斤(0≤x≤7,0≤y≤3,x,y为整数),这样可以在直角坐标系中表示(x,y)中的点,横坐标表示2号葫芦所装的油,纵坐标表示3号葫芦所装的油,坐标的单位表示装油的斤数.图1

为了从形中探寻规律,现把表3中7、3斤装的葫芦斤数组成横、纵坐标的点表示在图1中,从点(0,0)开始,结束点为(5,0),点与点之间用箭头表示,依次连接,可以发现在长为7、宽为3的长方形的边上组成45°或90°夹角,但缺乏规律,为了寻求规律,如图2,采用倾斜角为60°的斜坐标,同样以横坐标表示7斤葫芦所装的油,斜坐标表示3斤葫芦所装的油,坐标的单位仍表示装油的斤数,可以最外围的四边形如同入射光线碰到平面镜要进行反射,从(0,0)出发,第1次反射只有两种可能,(7,0)或(0,3),不妨从(0,0)开始第1次入射点为(7,0),如图2,最后只要到达(5,0)需要9次,如果从(0,0)开始第1次入射点为(0,3),如图3所示,需要12次.

有了图象法解决倒油问题,这类问题就变得轻松、简单,和韩信立马分油相类似的有泊松倒酒趣题,据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏:某人有12品脱啤酒一瓶,想从中倒出6品脱.但是他没有6品脱的容器,只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器.怎样的倒法才能使8品脱和12品脱的容器中恰好各装6品脱啤酒[2]?亲爱的读者相信你也会解决此类问题.

参考文献

[1]王青建.数学开心辞典[M].北京:科学出版社,2008:130.

[2]李原.泊松趣题的启迪[J].数学学习与研究,2012(5):36.

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