鱼群互利共生动力学模型的稳定性分析

王斌斌熊焕焕张海亮（浙江海洋学院，浙江舟山316000）



鱼群互利共生动力学模型的稳定性分析

王斌斌熊焕焕张海亮
（浙江海洋学院，浙江舟山316000）

摘要：通过对经典种群动力学模型的改进，建立了互利共生鱼群的动力学模型。利用非线性微分方程稳定性理论,得到了互利共生鱼群动力学模型的平衡点，并对其平衡点进行了稳定性分析。文章最后从鱼群的演化角度解释了相应的变化过程。

关键词：互利共生；动力学模型；稳定性

1引言

关于种群问题，Malthus在《人口原理》一书中提出著名的Malthus人口模型，荷兰生物学家Verhulst建立了logistic模型，这些模型都准确的预测了当时的人口数量变化。那么，对于海洋中的鱼群而言，是否可建立类似的模型来探讨鱼群的变化规律呢？

20世纪40年代，Lotka和Volterra建立了种间竞争关系的理论基础，提出了著名的Lotka-Volterra模型，为鱼群及其它种群问题的研究开辟了新的模型研究方式。在鱼群生态系统里，一般研究具有捕食关系的鱼群竞争模式与非捕食关系的鱼群竞争模型，且后者更具有普遍性。在非捕食的关系中，研究者对种群的相互竞争做了大量的研究，但缺少对互利共生方面的动力学模型的研究，为此有必要去建立鱼群互利共生的动力学模型来探讨海洋中鱼群的数量变化规律。

2互利共生模型的建立

海洋捕捞者都希望掌握或了解鱼群的变化规律，甚至希望某些鱼群能够按照他们意愿而发生相应的变化，这样有利于获得最大的经济价值。通过建立鱼群动力学模型来分析鱼群随时间的演化规律，预测它们的发展趋势，是一种常用的方法。本文通过改进Lotka-Volterra模型，建立互利共生鱼群的动力学模型。

对于鱼群甲，当鱼群乙在同一区域生存时，由于两个鱼群之间互利共生，势必会促进鱼群甲的增长。即鱼群乙的存在对鱼群甲的增长产生积极的影响，需要对lo⁃gistic模型增加了互利共生的项，给出了类似Lotka-Volt⁃ erra模型的模型。

我们给出的鱼群甲的动力学方程为

类似鱼群甲，鱼群乙互利共生的动力学方程：

在logistic模型的基础上，通过引进互利共生项，并且用b1、b2来具体刻画鱼群互利共生的强弱机制，建立了合理的鱼群互利共生的动力学模型(1)、(2)。

3鱼群模型的稳定性分析

所建立的鱼群互利共生模型在什么情况下保持系统的平衡？如何使鱼群在一个相对平衡的状态下生存？这可以通过对上述给出的互利共生的模型(1)、(2)稳定性分析来得到。

模型(1)、(2)的平衡态方程为

由式(3)可求得4个平衡点：

下面分别对这些平衡点讨论它们的各自的稳定性。求导计算得：

对于鱼群的平衡态A1(0,0)，代入(4)式可得

特征方程为

对应的特征方程的解为

如果b2< -1，那么平衡态为稳定的结点。如果b2> -1，那么平衡态为不稳定的鞍点。

对应的特征方程的解为

1点。如果b1> -1，那么平衡态为不稳定的鞍点。

对于鱼群的平衡态

A4((1+b1)/(1-b1b2),(1+b2)/(1-b1b2))，代入(4)式得

4结论

本文建立了互利共生鱼群的动力学模型，求出了其4个平衡态点，并且讨论了它们各自的稳定性。当两个鱼群在海洋中生存时，它们的演化规律有如下几条：

1、当b1> -1，b2> -1，即二种鱼群为双方各自提供生长资源时，两种鱼群互相促进两种鱼群的生长，互相的存在有利于它们的生长。随着时间的变化，整个鱼群将会向A4演化，达到双方共存的稳定的状态。

2、当b2< -1或b1> -1时，乙鱼群的存在，增加了甲鱼群生成资源，而甲鱼群的存在，减少了乙鱼群生长资源。因此鱼群乙的存在促进了鱼群甲的生长，鱼群甲的存在抑制了鱼群乙的生长，整个鱼群将会向A2演化。

3、当b1< -1或b2> -1时，即乙鱼群的存在，减少了甲鱼群的生成资源，而甲鱼群的存在，增加了乙鱼群生长资源。鱼群乙的存在抑制了鱼群甲的生长，鱼群甲的存在促进了鱼群乙的生长，整个鱼群将会向A3演化。

4、当b1< -1，b2< -1时，，A4为鞍点，两种鱼群互相的减少原有资源，两个鱼群互相之间达不到促进的作用，整个鱼群将远离A4。

基金项目：浙江省大学生科技创新活动计划（新苗人才计划）项目立项资助项目（2015R411035）

中图分类号：U693+.9

文献标识码：A

文章编号：1006－7973（2016）01－0075－02