分段函数常见的题型及解法简析

罗青松

中图分类号：G633.34 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）02-0188-02

所谓分段函数指的是自变量在不同的取值范围内，有不同的对应法则的函数；它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数。分段函数由于是分段定义的，与一般函数有着明显的区别，学生往往受负迁移的影响，对分段函数问题的认识不清或思维片面产生解题错误。由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的考查上有较好的作用，时常在高考试卷中"闪亮"登场，本人就分段函数常考的几类题型做了一些整理与思考，分享如下：

题型一：求分段函数的定义域和值域，最值

例1.求函数f（x）=2x+2，x∈[-1，0]-12x，x∈（0，2）3，x∈[2，+∞）的定义域、值域，最大值。

【解析】作出函数图象，利用"数形结合"易知f（x）的定义域为[-1，+∞），值域为（-1，3]，f（x）max=3；当然本题也可以分段求出各段的值域（分析各段的单调性）及最值，然后给出结论。

【小结】分段函数的定义域和值域都是取各段的并集，最值则是各段中的最大者（或最小者）。

题型二：求分段函数的函数值

例2.（05年浙江理）已知函数f（x）=|x-1|-2，（|x|≤1）11+x2，（|x|>1）求f[f（12].

【解析】因为f（12）=|12-1|-2=-32，所以f[f（12）]=f（-32）=11+（-32）2=413.

变式：求f（a）呢？（对|a|与1的大小分类讨论）

【小结】求分段函数的函数值关键是根据自变量的不同范围找到对应的表达式，代入求值；若范围不能确定，则需要分类讨论；若有多层函数符号则往往由内向外脱掉函数符号"f"，再进行相关计算。

题型三：与分段函数有关的方程或不等式问题

例3.1）（04年湖南理）设函数f（x）=x2+bx+c，x≤0，x≤0，2，x>0若f（-4）=f（0），f（-2）=-2则关于x的方程f（x）=x解的个数为 （C）

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：本题的分段函数中含参，先代入条件求出bc，再准确作出相关函数的图象解答。

2）（07年湖南文.理）函数f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（C）

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】对于（1），（2）这类方程的解的个数问题通常转化为两函数图象的交点个数问题，所以关键是准确地利用分段函数图象，考查"数形结合"的数学思想。

3）设函数f（x）=2-x-1（x≤0）x12（x>0），若f（x0）>1，则x0的取值范围是（D）

A.（-1，1） B.（-1，+∞）

C.（-∞，-2）U（0，+∞） D.（-∞，-1）U（1，+∞）

【解析1】画出y=f（x）和y=1的大致图象，易知f（x0）>1时，所对应的x0的取值范围是（-∞，-1）U（1，+∞）.

【解析2】因为f（x0）>1，当x0≤0时，2-x0-1>1，解得x0<-1；

当x0>0时，x012>1，解得x0>1，

综上x0的取值范围是（-∞，-1）U（1，+∞）.故选D.

【小结】与分段函数有关的方程或不等式问题，理论上可以用代数法，主要考查"分类讨论"的数学思想，易错点是忽略各段中自变量的自身范围；而更常用的却是利用相关函数的图象解决问题，重视"数形结合"的数学思想。

题型四：判断分段函数的单调性或求单调区间

例4.1）判断函数f（x）=x3+x（x≥0）-x2（x<0）的单调性.

【解析】当x≥0时，f（x）=3x2+1≥1恒成立，所以f（x）是单调递增函数，当x<0时，f（x）=-2x>0恒成立，f（x）也是单调递增函数，且f（x）连续.所以f（x）在R上是单调递增函数；或画图易知f（x）在R上是单调递增函数.

2）（2009湖南文.理）设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK（x）=f（x），f（x）≤KK，f（x）>K

取函数f（x）=2-|x|。当K=12时，函数fK（x）的单调递增区间为（C）

A.（-∞，0） B.（0，+∞） C.（-∞，-1） D.（1，+∞）

【小结】分段函数的单调性应分段考虑，若函数图象在定义域上一直上升或下降则函数在整个定义域上单调，否则单调区间必须写成多个区间，且不能用"U"连接。

题型五：判断分段函数的奇偶性

例5.判断函数f（x）=x2（x-1），x>00，x=0-x2（x+1），x<0的奇偶性.

【解析】当x>0时，-x<0，f（-x）=-（-x）2（-x+1）=x2（x-1）=f（x），

当x=0时，f（-0）=f（0）=0，

当x<0，-x>0，f（-x）=（-x）2（-x-1）=-x2（x+1）=f（x）

因此，对于任意x∈R都有f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数.

当然，本题如果是小题也可以通过作出函数图象，判断是否关于原点或y轴对称作出判断。

【小结】判断分段函数的奇偶性易错点：求f（-x）时常忘记由于-x的范围发生改变，对应的表达式也对应改变；其次必须是各段的奇偶性都一致才能下结论。

题型六：利用奇偶性或周期性求分段函数的解析式

例6.已知函数f（x）是R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），求函数f（x）在（-∞，0]上的解析式。

分析：此种情形较简单，问什么设什么，设x∈（-∞，0]，则-x∈[0，+∞），根据已知先求出f（-x）的解析式，再运用f（-x）与f（x）的关系即可解决问题。

【解析】设x∈（-∞，0]，则-x∈[0，+∞），∵当x∈[0，+∞）时，有f（x）=x（1+x），

∴f（-x）=（-x）[（1+（-x）]，又∵f（-x）=-f（x）

∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）（x≤0）

变式1：已知函数f（x）定义在R上，且周期为2，当x∈[-1，1]时，f（x）=-x2+1，求f（x）在区间[1，3]上的解析式；

分析：本题的关键是如何利用已知条件将x∈[1，3]转化到x∈[-1，1]这个区间上求相应的解析式，考虑周期性，则x-2∈[-1，1]，由此先求出f（x-2）的解析式，再运用f（x）=f（x-2），即可解决问题。

【解析】设x∈[1，3]，则x-2∈[-1，1]，故f（x-2）=-（x-2）2-1=-x2+4x-3，∵函数f（x）的周期为2，∴f（x）=f（x-2）=-x2+4x-3（1≤x≤3）。

变式2：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且周期为3，当x∈[-3，-2]时，f（x）=x2+x，求f（x）在[-1，0]上的解析式。

分析：此种情形相对较复杂，须同时应用奇偶性和周期性求解析式，但理清思路可化繁为简。

【解析】设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，-x-3∈[-3，-2]，

∵当x∈[-3，-2]时，有f（x）=x2+x，

∴f（-x-3）=（-x-3）2+（-x-3），

又∵f（x）是周期为3的奇函数，

∴f（-x-3）=f[-（x+3）]=-f（x+3=-f（x），

即f（x）=-f（-x-3）=-x2-5x-6（-1≤x≤0）。

【小结】此类问题的关键是"问谁设谁"，再结合奇偶性或周期性将未知量转化到已知区间上求解，最后又要利用奇偶性或周期性回到所求，得到结果。

当然，本人对于分段函数的认识还较肤浅，也不能将所有问题都全面概括，但是，本人认为在以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图象，定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到简化，而且效果明显。