带Lvy过程的正倒向对偶系统随机控制问题

冉启康

(上海财经大学数学学院,上海　200433)



冉启康

(上海财经大学数学学院,上海200433)

摘要：讨论了一类控制系统是带L´evy过程的正倒向对偶随机微分方程的随机控制问题.本文假定控制区域为凸集,最优解是使目标函数达到最小的控制过程.使用带L´evy过程的Itˆo公式及Ekeland变分原理,作者建立了这类随机控制问题极值原理的一个必要条件.

关键词：正倒向对偶随机微分方程;随机控制问题;变分不等式;极值原理; Itˆo公式

1　引言

自1990年Pardoux与彭实戈在文献[1]中首先证明了由标准Brown运动驱动的非线性倒向随机微分方程适应解的存在唯一性以来,由于倒向随机微分方程在控制论、金融数学、偏微分方程理论等众多学科中有着广泛的应用而引起了许多科学工作者的重视,到目前为止,相关的文献数不胜数. 1994年,文献[2]中引入了倒向对偶随机微分方程,即方程包含两个随机积分,一个是标准的随机积分一个是倒向随机积分证明了当系数满足一致Lipschitz条件时,方程

证明了当系数满足一致Lipschitz条件时,方程存在唯一的适应解.控制系统是一个正倒向随机系统的随机控制问题最先是彭实戈在文献[4]中提出的,在控制区域是凸集的条件下,建立了一个极值原理由.之后,大量的结果不断出现[5-9].最近,文献[10]中讨论了控制系统为:

的随机控制问题,建立了一个极值原理的必要条件.本文是文献[10]的推广,利用文献[3]的结论,借鉴文献[10]的主法,建立了一类控制系统是带L´evy过程的正倒向对偶随机微分方程的随机控制问题,建立了这类控制问题的极值原理的一个必要条件.

2　预备知识及引理

首设T是一个正常数, (Ω,F,P)是一个完备的概率空间,

是三个相互独立的过程,其中, {Wt: t∈[0,T]}与{Bt: t∈[0,T]}是两个一维标准Brown运动, {Lt: t∈[0,T]}是一维右连左极L´evy过程,满足: Lt= bt + bt, {bt}的跳时间是不可达停时; Lt对应的标准L´evy测度ν满足下列条件:

2)对所有ε＞0和某个λ＞0,有

记

其中P0表示P-零测集全体, G1∨G2表示由G1∪G2生成的σ-代数.显然{Ft,0≤t≤T}不满足通常性条件,因为它既不单调增加,又不单调减少.设(H(i))i≥1是由{Lt: t∈[0,T]}生成的Teugel鞅,即

其中

由文献[11]知, (H(i))i≥1的分量是两两正交的,且[H(i),H(j)]t=δijt.

下面,引入文中所需的正向或倒向SDE的解空间.

(1) H2的元素Z :Ω×[0,T]→R,满足:

(i)

(ii)∀t∈[0,T], Zt是Ft可测的.用M2表示H2中的可料过程构成的子空间.

(2) S2的元素Y :Ω×[0,T]→R,满足:

(i)

定义2.1设U是R中的非空凸子集,称Ft-适应过程v为一个容许控制,如果它满足:

(i) v的值在U中;

本文中,控制系统是下列正倒向对偶随机微分方程组:

为了记号简单,在余下的部分,将省去积分的箭头.

定义2.2对任意给定的v∈U,称(Xv,Yv,Zv,Uv)为方程(5)对应于v的解,如果(Xv,Yv,Zv,Uv)∈S2×S2×M2×M2(l),且满足方程(5).

定义2.3称u∈U为最优控制,如果它使成本函数

达到最小值,即

假设函数f(t,x,y,z,u,v), g(t,x,y,z,u,v), b(t,x,v),σ(t,x,v), h(t,x,y,z,u,v),Φ(x),Ψ(y)满足下列条件:

(H1)所有函数关于(x,y,z,u)都是连续可微的,关于t∈[0,T]是可测的.

(H3)

其中, B表示b,σ, h中任一函数,γ表示x,y,z,u,v中任一变量.

为了引入本文的主要结论,首先引入两个引理,它们是由文献[10]中相应引理推广而来.设u∗是一个最优控制是对应的最优策略.设因为U是凸的,所以,∀0≤p≤1,有为下列正倒向对偶SDE的唯一解:

设(Xp,Yp,Zp,Up)为方程(5)中v = up对应的解,记

则有

引理2.1假定条件(H1)- (H3)成立.那么

证明由文献[12]中引理4.1知, (7)式成立.因为

其中

此处及以后,均用fx(t)表示其他函数也用同样的表示.

类似于文献[10],有

由引理2.1可得下列结论:

引理2.2假定条件(H1)-(H3)成立.如果u∗是最优控制,那么下列变分不等式成立:

证明使用引理2.1,与文献[10]中引理2.5完全类似,可得引理2.2结论成立.

3　主要结论及证明

定理3.1假定条件(H1)-(H3)成立.如果u∗是最优控制, (X∗,Y∗,Z∗,U∗)是对应的最优策略,那么,对任意v∈U,必有

其中

的解.

将(16), (17)式代入(14)式,得

在(19)式中取ˆv = v−u∗立即得定理3.1的结论成立.

参考文献

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2010 MSC: 60H10, 93E20

The stochastic control problem for forward-backward doubly system with L´evy processes

Ran Qikang
(School of Mathematics, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433, China)

Abstract:In this paper, we discuss a class of stochastic control problem whose control system is a forwardbackward doubly stochastic differential equations system. We assume the control domain is convex and the optimum solution is to minimize the objective function. We prove a necessary condition of maximum principle for this class of stochastic optimization problem , by using Itˆo formula of L´evy processes and Ekeland variational principle.

Key words:forward-backward doubly stochastic differential equation, stochastic control problem, variational inequation, the maximum principle, It^o formula

作者简介：冉启康(1964-),博士,教授,研究方向：随机分析、金融数学.

收稿日期：2015-08-28.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.002

中图分类号：O211.63

文献标识码：A

文章编号：1008-5513(2016)01-0006-08