“数学哲学”原理在解题中“给力”

☉江苏省南京市雨花台区教师发展中心　刘春书



“数学哲学”原理在解题中“给力”

☉江苏省南京市雨花台区教师发展中心刘春书

一、引言

一道题目的评析过程，可谓“一波三折”，学生思路完全缺失，意外不断.尽管不断启发，但始终未达预设，反而越走越远.这一过程触发了从猜想到证明的一系列反思，最后演化为对解决数学问题具有指导意义的三个“数学哲学”原理.其中“一般问题特殊化”指对变化的问题可以利用特殊位置或特殊值进行猜想，寻觅问题本质；“量变产生质定”指通过变量的表示、转化，最终消去变量或求出变量，从而确定本质；“以定研变得不变”指从条件入手分析，寻找定的元素，再以此为突破口研究变化的量或位置，最终得出定量或量与量之间不变的关系.这三个理论统称为“数学哲学”原理.

二、评析简录

问题1：如图1，在矩形ABCD中，P为AD边上的一个动点，PE、PF分别垂直于AC、BD，垂足为E、F，若AB＝3，BC＝4，请问：在点P运动的过程中PE+PF为多少？

图1

出示本题，学生无思路，给启发：PE与PF是什么？能想到什么？要好好利用这一条件，几分钟后，学生仍旧无法打开思路，于是回忆一道曾经做过的题目.

问题2：如图2，已知等边△ABC的边长为2，三角形内有一点P，PE、PF、PG分别垂直AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，求PE+PF+PG的长度.

这是一道到用面积关系解决的经典题，学生很快给出了解题思路.请大家再思考问题1，本以为即将柳暗花明又一村，可困境依旧.

图2

生1：如图3，将点P运动到点A，此时P、A、E三点重合，这样PE+PF＝0+PF，然后在△ABD中利用面积求出PF，即，求得PF＝

图3

师：“一般问题特殊化”分析，这是极限思维，这样的分析只能用于猜想，不能作为说理.同学们遇到问题要好好分析条件，思考由条件能够联想到什么？

生2：△AEP∽△ADC∽△DFP.

笔者惊呆了，这与自己的预设越来越远，怎么办？再次有点沉不住气了，就在笔者左右为难之时，学生3突然举手.

生3：可以利用△AEP∽△ADC∽△DFP.

师：你说什么？那你说说怎么做？（这完全出乎自己的意料，好在平时具有相信学生和依靠学生的习惯）

其实本解法是在学生2的启发下，对问题进行了一次定“质”的研究，即变中不变，点P在运动的过程中，△AEP与△DFP的大小变，但其形状不变，则与定△ADC存在相似的关系.立刻在笔者的脑海中产生这样的一个巨大的问号：是不是所有问题的解决都需要进行定质的思考？也许这就是学生不能解决问题的根源所在.于是试着从这一角度进行再次引导.

师：无论点P怎么运动，有无其他的定量或量与量之间固定的关系？

2分钟后，许多学生陆续有了正确的思路.

生4：如图4，无论点P怎么运动，△AOD的面积不变，△AOP与△DOP的面积和等于△AOD的面积.

在矩形ABCD中，连接PO，S矩形ABCD=AB×BC=3×4=12.

图4

三、提炼反思

首先，一般问题特殊化.数学、哲学、数学哲学，三者的关系从普遍、一般再到特殊，数学哲学为数学指引方向.结合本题的突破过程不难发现数学哲学在此发挥的作用，即在不知道PE与PF的和为多少时，运用了极限思维，就是一般问题特殊化，从而猜出PE与PF的和为.这正是一次数学哲学的应用，世间万物具有普遍性、一般性，同时具有其特殊性，往往特殊性就是研究普遍性与一般性的突破口.大凡科学研究都需经历一个从特殊去猜想，从一般去实验、推理的过程.这一节课的分析过程正是一次“数学哲学”最生动的体现.应当引导学生利用这一数学哲学原理去解决数学问题.

其次，量变产生质定.其实在数学问题解决的过程中，就应用到这一数学哲学.质为万事万物的本质，量就是事物的变化中的数量.也就是从量的角度去分析、推理、转化，最终得到质的确定.数学是研究量与量的关系的一门学科，量分定量与变量，既要研究常量，更要研究变量，对于不确定量与变量的研究，自然想到字母，因为字母具有代表性、一般性、普遍性.比如，从相似设AP长为x，经过对应边成比例，分别用x表示出PE与PF，再将PE与PF相加，消去变量x，最终PE与PF和的本质为一定值.这又是一个数学哲学原理：量变产生质定.

最后，以定研变得不变.世间万物是相克的，其实在数学问题解决的过程中，就应用到这一数学哲学：以定研变得不变.比如，本问题中尽管PE与PF的线段长度随点P的运动而变化，经历一波三折后，最终成功突破就是依赖于△AEP∽△ADC∽△DFP和△AOP与△DOP的面积和等于△AOD的面积这些“定”的元素，就是变中不变，定的元素不仅有量定，更为关键的是数量之间的定关系，图形的形状不变与位置不变，这是问题解决的突破口，是学生解决问题所缺少的思路.也就是先从条件去联想，确定那些定元素，再来研究问题就势如破竹.若不能确定定的元素，那就意味条件没有起到作用，问题就无法解决.因而数学问题的解决必须具备以定研变得不变的“数学哲学”原理.

四、回归应用

在哲学发展的各个阶段都闪耀着数学的光芒，数学尤其是几何学对哲学的影响极为深远，通过本案例又折射出数学问题的解决离不开哲学，这就是数学哲学原理.本人通过这次反思，逐渐形成了一套解决数学问题的理念体系，把一般问题特殊化、量变产生质定、以定研变得不变统称为“数学哲学”原理.一套私下里被笔者叫做“‘数学哲学’原理”就这样诞生了.

“一般问题特殊化、量变产生质定、以定研变得不变”是经历实践反思与理论学习的综合提炼，更是在实践中不断应用而证实的产物.本人就结合具体数学问题与您一同体验数学哲学原理的魅力.

问题3：如图5，正方形的ABCD边长为1，AB上一动点E，以BE为边作正方形EFGB，则△AFC的面积为________.

图5

本题具有一定难度，学生不能顺利解决合乎情理，原因是学生缺少数学哲学原理.试着引导用数学哲学原理去思考，学生会很快完成猜想与说理，着实让笔者更加坚信数学哲学原理的强大效应.比如，将点E特殊化，即点E与B重合时，如图6，△AFC就演变成△ABC，面积等于.当点E与A重合时，如图7，S△AFC=AF×CD×这是运用了数学哲学原理一“一般问题特殊化”去猜想结论.然后再用“量变产生质定”原理进行推理证明.如图8，设BE为x，则S△AFC=S长方形HGCD-S△FGC-S△ACD-S△AHF=1×（1+x）

图6

图7

图8

通过变量表示、转化最终得到S△AFC是定值，当然在推理的过程中用到了定的本质，就是S△AFC等于长方形HGCD的面积减去S△FGC、S△ACD、S△AHF的和.由此可见“以定研变得不变”的原理是解决数学问题的核心.

问题4：已知二次函数y＝mx2-2mx+3，此二次函数一定过哪两个定点，两定点的坐标为：____________.

方法一：（一般问题特殊化）令m＝1，得到y＝x2-2x+3；再令m＝-1，得到y＝-x2+2x+3，然后得到x2-2x+3＝-x2+2x+ 3，解得x1＝0或x2＝2，y＝3，即定点为（0，3）与（2，3）.

方法二：（量变产生质定）既然是定点那就与变量m无关，这就要消去m，只有mx2-2mx＝0，因为m≠0，所以x＝0或x＝2，此时y＝3，即定点为（0，3）与（2，3）.

方法三：（以定研变得不变）尽管m不确定，但基于条件一般式的c是定的，即抛物线与y轴的交点为（0，3），对称轴x＝-＝1也是定的，由抛物线的对称性得到另一定点（2，3）.

问题5：如图9，已知点A（6，0），O为坐标原点，点P是线段OA上任意一点（不含顶点A，O），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图像开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB、AC相交于点D.当OD＝AD＝5时，这两个二次函数的最大值之和为_______.

图9

方法一：（一般问题特殊化）如图10，将点P平移与点O重合，点B与点O重合，此时点C与点D重合，可知y1的最大值为0，y2的最大值为D点的纵坐标，作DH⊥x轴，垂足为H，由勾股定理可得DH＝4，y1的最大值与y2的最大值之和为4.

图10

方法二：（量变产生质定）如图11，在点P运动的过程中，OP的长度是变化的，为体现一般性，设OP为a，作BE⊥x轴，垂足为E，OE为；作CH⊥x轴，垂足为H，AH＝，作DF⊥x轴，垂足为F.

图11

方法三：（以定研变得不变）如图12，点P在滑动的过程中不变的有：△OBP、△ACP的形状不变，为等腰三角形；△OBP∽△ACP∽△ODA的关系不变；四边形BPCD为平行四边形.易证四边形CMFH为矩形，可得CH＝MF；易证△BEP≌△DMC，可得BE＝DM，则CH+BE＝MF+DM＝4.

图12

这样的例子不胜枚举，其实只要时时、处处试着去用数学哲学原理思考问题，就会发现问题的本质，任何数学问题都能迎刃而解.