关于一类发展方程求解方法的探讨

雷艳

摘 要：本文主要探讨如何分别利用傅里叶变换及拉普拉斯变换，求解半有界杆热传导这一类发展方程的定解问题。

关键词：发展方程；傅里叶变换；拉普拉斯变换

中图分类号：G712 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）09-005-01

一、引言

发展方程，数学术语，是用来描述随时间而演变的过程的一些重要的偏微分方程（方程组）的总称。常见的发展方程有：热传导方程及反应扩散方程，波动方程与克莱因-戈登方程等等。

积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换（包括傅里叶变换、正弦变换、余弦变换）和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，在理论上主要用于处理微分方程的定解问题。

本文将探讨利用傅里叶变换和拉普拉斯变换求解偏微分方程的定解问题。使用这个方法时主要困难在于如何选取恰当的积分变换，对这个问题应从两方面来考虑，首先要注意自变量的变化范围，傅里叶变换要求作变换的自变量在 内变化，傅里叶正弦和余弦变换要求作变换的自变量在 内变化，拉普拉斯变换要求作变换的自变量在 内变化，其次要注意定解条件的形式，根据变换的性质可以看出，要对某自变量取哪一种变换，如果取拉普拉斯变换必须在定解条件中给出当自变量等于零时的函数值及有关导数值，另外还要注意定解条件中哪些条件需要取变换，哪些条件不需要取变换，最后还可以考虑对于同一类发展方程的定解问题是否可以用不同的变换求解的问题。下面我们讨论如何利用不同的积分变换求解半有界杆热传导方程的定解问题：

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二、利用傅氏正弦变换求解半有界杆热传导方程定解问题

四、结论

通过前面的论证说明，对于同一发展方程的定解问题，可以选择不同的积分变换求解，如果积分变换及自变量都选择的恰到好处的话，其定解问题的解是可以完全相同的。