高考三角解答题热点例析

韩宏帅

近几年高考中，三角函数和解三角形以解答题形式考查：三角恒等变换与三角函数图象和性质的综合、三角恒等变换与解三角形的综合、解三角形与三角函数性质的综合、平面向量与三角函数的综合.

三角变换与三角函数的性质

三角函数恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析. 常用的技巧有：切割化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等. 研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图象求解.

例1 已知函数.

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间[0，]上的最大值和最小值.

分析 （1）把函数变为“一角一名一次”的形式，利用最小正周期的计算公式求解；（2）结合正弦函数的图象求解.

解 （1）因为

，

所以函数的最小正周期.

（2）由（1）知， .

当时，，

由正弦函数在，上的图象知，

当，即时， ；

当，即时，=0.

综上所述，在上的最大值为，最小值为0.

点拨 解答此类题目的思路是“一化二求”，即通过恒等变换（降幂、辅助角公式应用）将其解析式化为或（是常数，且）的形式，再研究其各种性质或求值.

三角变换与解三角形

要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的. 解题时要注意隐含条件.

例2 已知的内角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且，求的面积.

分析 （1）利用正弦定理把已知等式转化为的关系式，再应用余弦定理求角；（2）求出相应的边角，利用三角形面积公式求解.

解 （1）由已知和正弦定理可得，

，

整理得，所以.

又，故.

（2）由

可得，，

所以或.

①当时，，则，

.

②当时，即

，则，

所以.

综上所述，.

点拨 解答此类题目思路是“先变后解”，即利用三角恒等变换把已知条件化简求值，再由正、余弦定理及面积公式求解.

平面向量与三角函数、解三角形

在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只需根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.

例3 的内角所对的边分别为.向量与平行.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

分析 （1）依据向量平行构建三角函数等式就可求出；（2）可利用余弦定理求出，再求解三角形的面积；也可运用正弦定理求出角的三角函数值，进而求出角的正弦函数值，从而可求出三角形的面积.

解 （1）因为，所以.

由正弦定理得，.

又在中，，从而，

由于，所以.

（2）解法一：由余弦定理得，，

而，，，

所以，即.

因为，所以.

故的面积为.

解法二：由正弦定理得，，

从而.

又由知，，所以.

故

.

所以的面积为.

点拨 在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题.

利用正、余弦定理解决平面几何问题

解决此类问题的模型如下.（1）审条件：梳理已知条件，把已知量转移到几何图形中.（2）选定理：依据条件和结论，在不同的三角形中选择正、余弦定理.（3）巧转化：灵活且合理地进行边角间的转化.（4）定结论：把相关数据代入，得出结果.

例4 中，是上的点，平分，.

（1）求；

（2）若，求.

分析 第一步，把已知量转移到平面几何图形中；第二步，在和中应用正弦定理；第三步，借助及求解；第四步，借助（1）的结论求出.

解 （1）由正弦定理得，.

平分，，

.

（2），

由（1）知，，

所以，即.