基于黄金分割率模型的钢筋混凝土梁桥裂缝模式研究

宋 军，周建庭，王明斌，姜 睿

(1.鲁东大学 土木工程学院，山东 烟台 264025；2.重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074)

基于黄金分割率模型的钢筋混凝土梁桥裂缝模式研究

宋 军1，周建庭2，王明斌1，姜 睿1

(1.鲁东大学 土木工程学院，山东 烟台 264025；2.重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074)

从新的视角出发，引入黄金分割率来评价钢筋混凝土梁桥的裂缝分布模式。基于混凝土“单筋张拉模型”并编写程序来预测混凝土开裂后裂缝宽度和间距，结合模型实验和数值模拟验证了参数的准确性。研究结果表明：采用黄金分割率来剖析钢筋混凝土梁的裂缝分布具有深刻的物理意义，研究结果也揭示了混凝土梁裂缝间距具有尺寸效应，该方法的重要意义在于可以通过缩尺模型来预测大型桥梁的裂缝分布模式，对于评价混凝土梁桥的安全性有指导作用。

桥梁工程；裂缝模式；黄金分割率；尺寸效应

0 引 言

经典的钢筋混凝土开裂理论是建立在基于传递长度的评价方法上，混凝土中的最大拉应力出现的截面最有可能出现新的裂缝，在钢筋混凝土梁中这个裂缝间距用lSr表示，它的范围是ltr

A.P.FANTILLI等[1]建立了钢筋和混凝土之间的黏结滑移模型。它们之间的相互作用影响因素主要是通过参数实验(强度和摩擦力等)得到，但是没有充分考虑学者A.CARPINTERI[7]的建议模型以及并没有考虑试件的尺寸效应的影响。

陈辉[3]对欧几里德最早提出的“黄金分割”这一概念进行了详细阐述。将一条线段进行分割，当C与B的比值等于B与A的比值且等于0.618时，这一分割点就称为黄金分割点，如图1。

图1 黄金分割点的划分Fig.1 Division of golden section

(1)

计算黄金分割最简单方法，是计算斐波那契数列(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…)，后二数之比2/3,3/5,5/8,8/13,13/21, …。即相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。

黄金分割率虽然被应用在多个学科领域，但是基本都是应用其几何属性，缺乏结构力学问题的深度剖析[8-9]。C.M.MOORMAN等[10]利用黄金分割率分析了经典的耦合振荡问题；YI Zhijian等[11]应用黄金比例裂纹板的弹塑性问题。由此可见，黄金分割率在这些研究中起到了关键作用。

笔者应用黄金分割率分析了混凝土梁的裂缝分布模式。应用“单筋张拉模型”建立平衡方程；并采用数值手段编程预测裂缝宽度和裂缝间距；通过室内模型实验和数值模拟相互验证了钢筋混凝土梁开裂的裂缝间距具有尺寸效应的存在。

1 裂缝计算模型

为计算钢筋混凝土梁的裂缝模式，现以一个合理的单筋梁拉伸模型为例(图2)，通过分析单梁的裂缝分布结果来反演其他桥梁结构裂缝分布规律。

图2 单根钢筋在水平拉力作用下的应力分布Fig.2 Tensile stresses in the concrete that surround a steel reinforcing bar in tension

图2中的钢筋混凝土梁的拉伸实验模型可以用于揭示开裂现象。当法向荷载达到开裂荷载后，裂缝会出现在(L-2ltr)位置(L为钢筋混凝土梁长度，ltr为裂缝传递长度)，此时混凝土拉应力达到规范容许的抗拉强度值即fct。

裂缝的开展具有一定随机性，笔者考虑了两种工况下的应力应变计算结果。其中：Type1表示初始状态已经存在初始裂缝(宽度为w)情况〔图3(a)〕；Type2表示未产生裂缝情况〔图3(b)〕。现讨论该两种工况下梁的裂缝模式，如果给定一个轴向力N，以及钢筋的应变εs和混凝土的应变εc，则可得到式(2)：

N=σsAs+σcAc=EsεsAs+EcεcAc

(2)

式中：As和Ac分别为钢筋和混凝土的面积；Es和Ec分别为钢筋和混凝土的弹性模量；σs和σc分别为钢筋和混凝土的应力。

图3 两种工况下的几何特性Fig.3 Geometric characteristics under two conditions

由式(2)可以获得钢筋应变和混凝土应变。

考虑到最大裂缝宽度的钢筋混凝土梁中，假设加载过程符合平截面假定，那么在荷载作用下最大裂缝间距将会发生变化。这一变化规律即为约等于新裂纹一半的间距，新裂纹早期形成的图式如上图。在这种情形下，新裂纹产生的断面将会是混凝土应力达到极限张拉应力之后。

2 程序计算

由图3提出Type1和Type2两种类型，构建如图4的计算简图。其中：Type1截面中，Z=0时，s(Z=0)=w/2,；Type2截面中，Z=ltr时，σc(Z=ltr)=fct。

图4 计算简图Fig.4 Computing model

编写计算程序如下：

1)假设一个裂缝宽度数值(图4)；

2)假设张拉钢筋的一个实验荷载值；

3)计算Type1型截面的法向应力；

4)从Type2型截面的计算模式中可以获取初始裂缝出现时候的钢筋应变；

5)假设一裂缝传递长度ltr，然后平均分为n等份，则每一段长度为ΔZ=ltr/n；

6)由已知的静动态关系，进行数值积分求解。假设钢筋应变增量和混凝土应变增量是相同的，由式(3)计算

(3)

式中：εs,0，εc,0分别代表钢筋和混凝土在Type1类型下的应变值；εs,n，εc,n分别为钢筋和混凝土在Type2类型下的应变值；0≤χi≤1，其中χi表示相似系数，现假设函数si作为χi功能函数，表示如下：

si=si-1-ΔZ[-χi(ss,0-ss,n+sc,0-sc,n)+ss,0-sc,0]

(4)

如果采用显示有限差分法，可用式(5)计算钢筋的应变值εs,i。

εs,i=εs, i-1-Δzi(4/φEs)τi-1

(5)

7)如果在第n个点时候，sn不等于0，改变ltr值并继续步骤6)；

8)若在第n点时，εs,n≠fct/Ec，此时χi≠1，改变εs,0并返回到步骤2)。

给定一个裂缝宽度数值w，则可根据以上的程序及时相应的法向力N，同时可以计算裂缝的最大间距，sr,max=2ltr(最小值为ltr)。

3 模型应用

笔者所建立的计算模型可有效预测钢筋混凝土梁桥裂缝开展模式，摸清裂缝的开裂间距和裂缝宽度。学者Mitch在1996年做过相关试验，其中几何属性考虑了尺寸效应的影响，分别计算α=1和α=2的情况。当α=1的时候随着荷载等级的增加，裂缝宽度的变化情况，如图5。将文中的计算模型与Mitch计算模型进行了对比分析，验证了该程序的合理性。可以用该方法有效地预测钢筋混凝土梁的裂缝宽度。

图5 文中计算模型与Mitch模型对比Fig.5 Comparison of calculation model and Mitch model

图6为计算裂缝的传递长度和钢筋应力之间的关系。裂缝传递长度随着钢筋应力的增加是逐渐减小，同时在相同钢筋应力水平下，裂缝传递长度是随着几何尺寸变化而成比例关系变化的。当钢筋应力达到屈服应力的时候，此时α=1和α=2时的裂缝传递长度的比值非常接近黄金分割率，如式(6)。因此，钢筋混凝土梁的裂缝分布模式可以用黄金分割率来表达。

φ=α·16 mm，fc=34.9 MPa；B=α·170 mm，fct=1.8 MPa；H=α·95 mm，Ec=31 GPa；fy=400 MPa，Es=210 GPa；

[ltr(α=1)/ltr(α=2)]σs=400 MPa=189 mm/308 mm≈φ

(6)

由以上分析还可知，钢筋混凝土梁的裂缝分布模式可以用黄金分割率来阐释，同时可以得到当梁的几何尺寸存在倍数关系的时候，裂缝的传递长度也将成倍数增加。

图6 α=1和α=2时裂缝传递长度变化规律Fig.6 Law of crack propagation length when α=1and α=2

4 基于黄金分割点的裂缝评估

4.1 尺寸效应模型

裂缝间距随着几何尺寸的倍数变化表现出尺寸效应，S.BURTSCHER等[12]将其用幂函数形式表达为：

式中：D0为参考尺寸(α=1)；D为通用尺度(α>1)；Sr0为α=1时裂缝间距；Sr为α>1时裂缝间距；μ值可通过模型实验或者数值模拟得到。

4.2 模型实验与数值模拟

为计算μ值，笔者设计了3组钢筋混凝土实验梁，且根据相似原理[9]的比例关系保证3组梁的截面几何相似，即高宽比一致。3组梁的梁高分别为900，600，300 mm，不同尺寸梁的截面配筋如图7，加载方式采用四点弯曲实验。

图7 截面配筋Fig.7 Section reinforcement

实验过程中分别记录了3组实验梁的裂缝宽度、裂缝间距、应变值、荷载大小等参数。3组梁的裂缝间距分别为43，24，13 cm；同时为了验证模型实验的可靠性，笔者通过大型通用有限元软件ABAQUS分别模拟了3组实验梁的破坏过程，数值模拟的参数取值与室内模型保持一致。有限元的计算结果如图8，根据有限元计算结果统计3组梁的裂缝间距分别为41，20，12 cm。

图8 数值模拟实验梁裂缝分布Fig.8 Numerical simulation of fracture distribution of experimental beam

通过室内模型实验与数值模拟验证过程，可以得到结论：当钢筋混凝土梁的几何尺寸比例关系为D0/D≈0.5，裂缝传递长度比值符合黄金分割率特点，因此可以求得μ≈0.7。

总之，裂缝间距具有尺寸效应，更加简单地研究裂缝的模式，通过缩尺模型预测大跨度桥梁的裂缝分布情况。

5 结 论

笔者探讨了一种用于评价钢筋混凝土梁桥裂缝分布模式的新方法。通过非线性数值模型计算可以得到裂缝间距的尺寸效应规律，结合实验数据与数值模拟验证可以得到以下结论：

1)钢筋混凝土梁的裂缝分布模式可以用黄金分割率来表达，同时钢筋混凝土梁的裂缝传递长度ltr具有尺寸效应。

2)当钢筋混凝土梁几何尺寸比例为D0/D≈0.5，裂缝传递长度比值符合黄金分割率特点，可以求得μ≈0.7。那么可结合实验模型或数值模拟来预测钢筋混凝土梁桥的裂缝分布情况。

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Study on the Crack Pattern of RC Beam Bridge Based on Gold-division Ratio Model

SONG Jun1, ZHOU Jianting2, WANG Mingbin1, JIANG Rui1

(1. School of Civil Engineering, Ludong University, Yantai 264025, Shandong, P.R.China; 2. School of Civil Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, P.R.China)

A gold-division ratio was first introduced as a new approach to evaluate the crack distribution pattern for RC beam bridge.The crack opening and space of cracked concrete was predicted by establishing a concrete “single rebar tension model” and by compiling procedures and finally the accuracy of the obtained parameters were verified by conducting model experiment and numerical simulating. The results of above study show that application of gold-division ratio in analyzing crack opening and space of cracked concrete is of profound physical significance and the research results also reveal that crack spacing of concrete beam is of size effect. The significance of this given method lies that scale model can be used to predict the crack distribution pattern of large bridges and thus provides guidance to safety assessment of concrete bridge.

bridge engineering; crack mode; golden ratio; size effect

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.05.03

2016-01-06；

2016-02-29

国家自然科学基金项目(55150826，E080505)；山东省高校科技计划项目(J16LG60，J15LG01)

宋 军(1982—)，男，山东威海人，讲师，博士，主要从事桥梁设计理论与工程控制方面的研究。E-mail:songjun198298@163.com。

U447

A

1674-0696(2016)05-009-04