整体思考巧解题

刘惜

对于某些几何题，若我们按常规方法去分析，往往会陷入迷途，如果能打破常规，整体思考，通常能柳暗花明、化难为易。 【例1】如图1， 四分之一圆中挖去了一个正方形BCDF。请计算图中阴影部分的周长和。（单位：厘米）

【思路点拨】观察图1可知，阴影部分的周长是由正方形的两条边BF和FD，以及圆弧AE和线段AB、DE共同围成的。但是，我们既不知道BF和FD的长，也不知道AB、DE的长，只知道圆弧AE是整个圆周长的，即3.14？？？=6.28（厘米）。

进一步观察，我们不难发现：AB+FD=DE+BF=4（厘米）。所以，我们可以直接求出AB、FD、DE、BF这四条线段的总长度，即4？=8（厘米）。由此可计算出阴影部分的周长是6.28+8=14.28（厘米）。

【例2】如图2，阴影部分面积为10平方厘米，求环形面积。

【思路点拨】一般而言，计算环形面积的方法是用外圆面积减去内圆面积，但由于此题没有告诉我们大、小两圆各自的半径，所以无法求出大、小两圆各自的面积。此时，我们退一步从条件和问题同时入手，另辟蹊径。

仔细观察图2，不难看出，阴影部分其实就是大、小三角形的面积之差。故不妨设大三角形的直角边，也即大圆的半径长为R；设小三角形的直角边，也即小圆的半径为r。依题意可列式R2？-r2？=10，则R2-r2=20。又由于环形面积等于大圆面积减去小圆面积，即%iR2-%ir2 =%i（R2-r2），结合上面推出的结果R2-r2=20，所以，环形面积为3.14？0=62.8（平方厘米）。