中美高中数学课程标准比较

许丽芸

2003年，《普通高中数学课程标准（实验稿）》（以下简称“中国标准”）公布之后，各省市先后进行了实践，至今已经整整12年了.2013年至今，高中数学课程标准正在积极修订，有效借鉴国外高中数学课程标准的优点，可以为我国高中数学课程标准的修订提供参考.本文所涉及的美国标准是2010年6月美国州立学校首席官员委员会领导（CCSSO）和全国州长协会（NGA）最佳实践中心联合颁布的《州共同核心数学标准》.美国成就公司（简称Achieve）关于课程标准的评价提出了如下的评价指标：严格性（rigor）、连贯性（coherence）与聚焦性（focus）三个指标.[1]从一定程度上来说，这三条准则在标准中的体现反映了标准的可行性和实用性.因此，本文从聚焦性、连贯性、严谨性的角度出发，进一步比较中美最新数学课程标准，发现彼此间的差异，引发我们对于中国新一轮数学课程改革的思考，进而更好地实施课程改革.函数内容是高中数学的核心内容之一，中国标准中函数内容是必修1和必修4的主要内容.而在美国标准中“函数”内容也是主要知识点之一.因此，我们选择“函数”部分的内容具体地比较中美数学课程标准的聚焦性、连贯性、严谨性.

一、聚焦性视角下的中美高中数学课程标准

聚焦性是指标准是否表明一个适当的平衡在概念理解，程序技巧，和重点在应用和建模的问题解决；标准应该是可教的在一个学年（或在四年的高中），和应该清楚在一个给定的年级或主题区域的关键想法.由此可见，所谓聚焦性，是指教学应该聚焦于标准里所强调的那些概念，使得学生能获得基础性概念的深刻理解和程序技巧，以及应用他们所知道的数学知识去解决课堂上和课堂之外数学问题的能力.

美国标准中的函数部分仅仅只是罗列了每个概念类别的综述，并没有具体指出教学过程中应聚焦于哪些关键的概念.例如，数学Ⅰ中的函数内容在叙述解释函数这一部分时，仅仅是罗列了以下三个内容：理解一个函数的概念和使用函数符号；解释出现在应用程序的上下文中的功能；分析函数使用不同的方式.从上可以看出，教师在教学过程中并不能清楚地把握哪些才是知识的要点.而中国标准在“前言”中指出了标准的目标要求所包括的三个方面：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，并将此在“内容标准”中具体化.中国标准规定了“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”所“涉及的行为动词”，并按水平分类.例如，属于“知识与技能”领域的“知识/了解/模仿”水平的动词有“了解、体会、知道、识别、感知、认识、初步了解、初步体会、初步学会、初步理解、求”；“过程与方法”领域中“经历/模仿”水平的动词有“经历、观察、感知、体验、操作、查阅、借助、模仿、收集、回顾、复习、参与、尝试”；“情感、态度与价值观”领域中“反映/认同”水平的动词有“感受、认识、了解、初步体会、体会”等.在“内容标准”中表述函数部分内容的同时，利用这些动词表述出“知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观”方面的目标.在数学1中函数概念与基本初等函数Ⅰ的第一讲函数内容包括：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.（4）通过已学过的函数特别是二次函数，理解这些函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；知道奇偶性的含义.（5）学会运用函数图像理解和研究函数的性质.通过对于所涉及三维目标不同水平的行为动词的把握，教师可抓住教学中应重点讲解哪些知识.其次，中国标准中的内容皆安排了课时，必修1中的函数有32课时，必修4中三角函数有14课时.教师可以依据课时的大小来判断需重点讲解的知识点.由此可看出，聚焦性在中国标准中体现的较为明显.

二、连贯性视角下的中美高中数学课程标准

连贯性是指标准是否反映出有意义的结构，揭示主题之间的重大关系和建议一个合乎逻辑发展的内容和技能.连贯性源于知识间的聯系；标准里的一些联系将一个年级里的数学框架编织在一起；而大多数联系是纵向的，此套标准适用于随着跨年级不断增长的知识，技能的发展.由上可知，连贯性不仅包括跨年级间知识的连贯性，还包括某一部分知识点之间的联系.

中国标准中函数知识点的联系，不仅包括与方程、不等式、算法、微积分等内容的横向联系，还包括在整个中学数学中多次接触，反复体会，螺旋上升地学习函数的纵向联系.例如，标准要求结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系可见，为后面的方程学习做一些准备.美国标准将数学内容分为以下五个主题：数与量、代数、函数、建模、几何、统计与概率.该分类体现了连贯的高中数学.以函数为例，学生有关函数的学习跨越了传统的“数”的课程的边界，通向微积分的内容.例如，标准要求在指定的间隔中计算和解释函数的平均变化率（象征性地提出或作为一个表格），从图估计变化率，为以后微积分的学习打下一定的基础.可见，中美数学课程标准均体现了跨年级间知识的连贯性.

但中国标准中高中数学课程分为必修和选修.必修课程由5个模块组成，选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、系列4由若干专题组成.“函数”内容主要在教材必修1和必修4中，必修1中的函数有32课时，主要内容有：（1）函数，（2）指数函数，（3）对数函数，（4）幂函数，（5）函数与方程，（6）函数模型及其应用，（7）实习作业；必修4中三角函数有14课时，是学生在学习函数的基础上，进一步学习三角函数，运用三角函数解决实际问题的基本思想.中国标准中将“函数”内容划分为一些较小的模块，忽视了函数知识点间的内部联系.由此可见，我们的数学课程标准是零散分布的个体，没有较强的连贯性，不能体现相关知识点之间的关联.但美国标准中高中数学课程标准是按照数学主题组织的，并对每个主题中的内容进行分层.“函数”内容在标准的数学Ⅰ、数学和Ⅱ数学Ⅲ中是集中体现的，是一个内容连贯的整体.从上我们可以看出，美国标准中连贯性体现的较为明显.

三、严谨性视角下的中美高中数学课程标准

严谨性是指程度，标准标出关键内容为学生获得超越高中的成功做准备.严谨性不仅仅包括先进的数学内容，还需要深入理解每个年级的内容，并提供足够的关注使这成为可能.可见，严谨性既包括包含的先进内容，也包括内容的深度.

语言有国界，但数学是没有国界的，这两份标准有很多共同之处和通常描述相同的内容.例如，两国课程标准中相同的内容是：对数函数、指数函数的概念、性质、图像和应用；方程和函数的关系；三角函数；函数模型；函数的应用等.但是，对于这些具体内容的呈现上关于被包含的内容有一些差异.从知识的广度上看，中国高中数学课程标准“函数”部分的知识点是25个，而美国标准的知识点是34个，美国的函数知识点比我国多9个.由此可看出，美国涉及的函数知识点大于中国.从内容是否深入的角度上来看，美国标准“函数”部分知识点的深度高于我国.例如，美国标准中的分段函数、跳跃函数、绝对值函数和多项式函数在中国标准中没有提到；美国标准要求学生会证明毕达哥拉斯同一性sin 2（θ） + cos2 （θ） = 1，而中国标准则需学生理解同角三角函数的基本关系式：sin 2（θ） + cos2 （θ） = 1，不需要学生掌握此证明.从严谨性的角度來看，美国课程标准包含先进数学内容的范围更广，深度比中国标准更深.

总的来说，从连贯性和严谨性的角度来看，中国标准仍存在一些不足，美国课程标准在这两方面的设置还是值得我们注意和借鉴的.因此，中国数学课程改革应在理性反思的基础上，应恰当运用美国标准的成果，促进我国高中数学课程标准的完善.

【参考文献】

[1]刘春香，赵中建.美国共同核心州立课程标准的质量评价研究[J].全球教育展望，2013（9）：32-38.

[2][3][7]Comparing the Common Core State Standards in Mathematics and NCTMs Curriculum Focal Points.2010-06.

[4]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验稿）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004：87.

[5]Common core state standards initiative.In the states [EB/OL].http：// www.corestandards.org/ thestandards.2010-03-25.

[6]曹一鸣，代钦，王光明.十三国数学课程标准评介[M].北京：北京师范大学出版社，2013：348.