美式期权有限差分定价方法综述

丁露涛



美式期权有限差分定价方法综述

丁露涛

摘要：本文针对不支付红利的美式看跌期权定价，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价问题，基础阐述显隐式及高精度的高阶有限差分方法，对美式期权定价B-S模型的发展进行了综述，最后，总结了各种方法的特点和效果。

关键词：综述；美式期权定价；B-S模型；有限差分方法

一、引言

期权是最基本的金融衍生工具之一，以付出一定费用为代价获得的一种权力，这种权力赋予期权持有人在将来的某一时刻按照规定的价格买卖合约指定的基础资产。期权已成为最具活力的金融衍生产品，得到迅速发展和广泛利用。

布莱克和斯科尔斯[1]给出不支付红利下的欧式期权的定价公式重要论文，同年，莫顿[2]可以用来对支付已知红利的期权进行定价，奠定了期权定价理论基础。后来，各类学者在B-S模型基础上做出了大量的理论研究与数值方法探讨。本文主要针对不支付红利的美式看跌期权定价问题，进行各种有限差分方法的综述，首先，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价模型，然后，基础阐述显式、更高精度的高阶有限差分方法，最后,对各种方法的特点和效果进行评价。

二、美式期权定价问题的模型

Black-Scholes期权定价模型

布莱克和斯科尔斯推导出不支付红利下欧式期权价格满足著名的B-S方程，进而得到欧式期权的解析式，基本假设有：

2、无风险利率r是常数，

3、不支付利息，

4、不支付交易费和税收，

5、不存在套利机会。

基本思想是形成一个投资组合，包含衍生资产和原生资产，由于无套利原理，该组合的收益等于无风险利率，于是得到刻画期权价格-V(S,t)变化的偏微分方程—B-S方程：

欧式期权的解析解定价在实际应用中意义不大，但作为各种数值定价方法的一个标杆，对于学者研究以及实际金融市场上衍生物的定价是颇具意义的。

(二)美式看跌期权自由边界定价模型

美式期权定价模型一般有三种：自由边界问题，线性互补模型，变分不等式模型，本文主要介绍引用文献中的自由边界问题定价模型。

Gutachter[3]提到美式期权的定价问题是一个自由边界定价问题，需要确定的最优执行边界，把区域分为继续持有区域和终止持有区域，在前者美式期权的价值等于欧式期权价值，在后者等于支付方程，显然，对每个美式期权持有者来说，需要知道曲线的位置，以便制订出最佳的实施方案。对于未知的美式期权定价，有限差分方法是比较有效果的。

三、直接有限差分方法

美式看跌期权的有限差分，首先是进行网格划分，S区域截断，然后，低阶有限差分方法是将B-S方程通过前向差分、后向差分以及中心差分的格式转化为一系列差分方程后，通过迭代法求解，它的思想与二叉树方法基本相似，既能用于欧式期权又能用于美式期权。

(一)显式有限差分方法[4]

在(Si,tj+1)点的差分格式，得到：

由终值进行反向归纳过程，逐步求出美式期权的期权金。由于这个算法不需要求解代数方程组，因此它是一个显性差分格式。

(二)隐式有限差分方法[5]

在(Si,tj)点的差分格式，得到：

这个算法类似于显式格式的基本思想，但是这里要求求解一个线性代数方程组，所以称为隐式差分格式。

四、高阶有限差分方法

有限差分方法的直接法，在时间和空间上最多具有二阶精度，不一定有精确解，在Tangman等人的研究[6]中，提出了高阶紧致有限差分方法，利用更多的点得到更高的精度。具体如下：B-S模型可以写为如下一般拟线性抛物线方程：

左边采用半隐式差分方法，右边采用Crandall离散差分方法得到：

其中：

利用mathmatic可以得到一个三对角矩阵线性方程组，从而迭代得到最后的期权价值，这里的边界条件和初始条件均不变。

五、结论

对于美式看跌期权的定价，各种文献的数值仿真过程与结果证明：

在最基础的B-S模型上，流行的有限差分直接方法简单易操作，显式差分方法最易，但与隐式差分格式相比稳定性较弱，CN介于显隐式之间比二者效果好，对计算机性能要求低，这些方法都有一个共同的弱点，在时间和空间上的点数过少，最多只能达到二阶精度，最优执行边界不够平滑。高阶有限差分利用更多的点得到空间和时间上的四阶精度，操作比较复杂，必须用到mathmatic进行符号计算，对计算机的性能要求更高，对方法使用人的要求自然也高。

有关美式期权定价有限差分方法的研究还在不断的探讨和发展，因为从理论上讲期权发展是无止境的,从实际上讲期权是复杂多变和应用广泛的,因此,研究探讨美式期权定价有限差分方法的优缺点,对于深入研究复杂期权的定价有重要意义。(作者单位：广东工业大学管理学院)

参考文献：

[1]Fisher B,Myron S.The pricing of options and corporate liabilities,Journal of Political Economy 81(1973)637-654.

[2]R.C.Merton.The theory of rational option pricing.Bell Journal of Economics and Management Science 1(1973)141-183.

[3]Gutachter.Numerical simulation of American options.Universit¨at Ulm Fakult¨at f¨ur Mathematik undWirtschaftswissenschaften.(2004).

[4]Sukha.Advanced mathematics of finance honours project:finite-difference methods for pricing the American put option.(2001).

[5]H.K.Versteeg,W.Malalasekera.A introduction to computational fluid dynamics the finite volume method.Pearson Education(1995).

[6]D.Y.Tangman,1,A.Gopaul,M.Bhuruth.Numerical pricing of options using high-order compact finitedifference schemes.Journal of Computational and Applied Mathematics 218(2008)270 - 280