利用基本图形解决圆的几个问题

李娜婷

内容提要：初中数学的知初识内容中，圆的基本性质、圆与直线的位置关系，圆与圆的位置关系及其这几个方面知识结合三角函数、相似三角形、函数等知识应用是重点也是难点。下面就对本人在教学实践中所得到的经验给予总结。初中圆知识的复习基本可以分为四块：1、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。2、答案不唯一性的讨论。3、变化中寻找不变的量或关系。4、圆在综合题中的应用。以上这四块知识应该分块系统地进行复习，并且在复习中注意题目的演变和应用。再配合相应的练习，效果应该会更加的好。

关键词：圆 基本图形 不唯一性 变化

【分类号】G634.6

一、基本知识、基本图形的熟练掌握和应用。

圆的基本知识主要可以分为：关于圆的定理，圆与点、线、其他圆位置关系两大块。

关于圆的基本定理可以从圆的两个主要性质中得到。1、圆的轴对称性—对称轴为直径所在的直线。根据这个性质可以方便的得到垂径定理。2、圆的旋转不变性—圆以圆心为旋转中心旋转任意角度能和原来的圆重合。由这个性质也可以容易的得到圆心角定理。再由圆心角定理推出圆周角定理。关于这几个定理的叙述和证明同学们都应该已经熟练地掌握。

圆与点、线、其他圆位置关系。这三种位置关系的关键就是分别讨论点与圆心之间的距离和半径的比较、圆心与直线的距离和半径的比较、圆心和圆心之间的圆心距和两圆半径关系的比较。结合在一起复习，就有对比性，学生容易掌握。

二、答案不唯一性的讨论。

在初中圆的知识中，学生比较容易犯错的还有就是碰到有两个或两个以上答案时，很多学生经常考虑的不够全面，导致犯错.下面我就对一些经常可能出现多个答案的知识点进行小结.

在一个圆中，大家知道一段弧所对的弦只有一条，但一条弦所对弧却有两段，并且这两段弧组成这个圆.如图，已知劣弧AB所对的圆心角∠AOB=

120度，则这条弧所对的圆周角度数为60度，只有一个答案.若已知

弦AB所对的圆心角∠AOB=120度，则弦AB所对的圆周角为60度或

120度，有两个答案.此题还可以这样问，若已知弦AB=8，圆半径

R=5，求这条弦的中点到它所对弧中点的距离，则也应该有两个答案，

2或8.

在圆与圆的位置关系中，若两圆没有交点，则有外离和内含两种情况.若两圆有交点，则有相切和相交两种情况.其中需要注意的是相切有外切和内切之分.这也是比较容易考到的知识点.如，若已知相切两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为5，求另一个圆的半径.此题首先应该明白相切有外切和内切两种，但根据已知数据可知只能是内切关系，内切两圆圆心距为大圆半径减去小圆半径，但已知条件中只告诉大家一个圆的半径为5，并不知道这个是大圆还是小圆，所以答案有两个，为7或3.我们也可以讨论一下两个圆移动的问题，

三、变化中寻找不变的量或关系。

变化一般是指图形中一个点或者一部分图形按照一定的规律在移动.解这一类题的关键是能够在变的过程中寻找发现一些不变的量或者关系，并应用这些量或关系来解决问题.在第一部分的前后两大组基本图形中，大家也应该已经发现了这一个规律.下面我们再来看一个问题.

如图，已知点P是圆O中直径BC延长线

上的一个动点，过P做圆O的切线PA切圆O

于点A，连接AB，作∠APB的角平分线PM交

AB于点M.问在点P往BC的延长线移动的过程

中，∠AMP是否发生变化，若变化说明理由，若不变，请计算∠AMP的值.

分析：无论P点在什么位置，PA永远与圆O相切，切点为A，所以可以连接AO，可知∠OAP=90度.因为BO=PO=R，PM为∠APB的角平分线，所以∠OBA=∠OAB，∠APM=

∠BPM.又因为∠AOP=∠OBA+∠OAB=2∠OBA，∠AMP=∠OBA+∠MPB，∠AOP+∠APB=90度，所以∠AMP=45度.在P的移动过程中，这个关系始终成立.所以∠AMP不会变，永远为45度.

诸如上题的题目也比较多，同学们拿到题只要不要被变化所吓倒，认真分析思考，寻找到一些不变的量或关系，此类题就可以引刃而解.

四、圆在综合题中的应用

圆的知识在综合题中的应用，就是要利用圆的性质规律，结合三角函数，相似三角形，函数等知识来解决综合性比较高的一些问题.下面可以看个例子.

如图所示，有一正方形ABCD，和一直径为BC的圆.BC=2cm，现在有两点E，F分别从点B，点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/s的速度向点C运动.设点E离开点B的时间为t s.求

（1）当t为何值时，EF//BC？

（2）设t大于1小于2，当t 为何值时，EF与圆相切？

（3）当t 大于等于1小于2时，设EF与AC相交于点P，问点E，F运动时，点P的位置是否发生变化？若变化说明理由？若不变，求AP：CP的值.

分析：（1）EF//BC要成立，根据题目意思，点F肯定在DC段.

画出E1F1//BC如备用图一所示.可知BE1=t，CF1=4-2t.

因为四边形E1BCF1为矩形，所以BE1=CF1.所以

t =4-2t.解得t=4/3.

像上题这样综合性高的题目比较多，大家只要认真分析，图画清楚，能够在图中找到我们所熟悉的基本图形，并能结合其他知识应用，基本上也能过关.

以上观点是本人的一些不成熟的看法，希望对大家有所帮助。