基于石墨烯一维太赫兹光子晶体电磁特性研究

杨利霞　李玲玲　朱婷　施丽娟

(1.江苏大学计算机科学与通信工程学院,镇江 212013;2.江苏大学理学院,镇江 212013)



基于石墨烯一维太赫兹光子晶体电磁特性研究

杨利霞1李玲玲1朱婷1施丽娟2

(1.江苏大学计算机科学与通信工程学院,镇江 212013;2.江苏大学理学院,镇江 212013)

摘要采用时域有限差分(Finite Difference Time Domain FDTD)和表面边界条件对单层石墨烯的太赫兹电磁特性进行研究. 首先计算了其反射和透射系数,并与解析解对比验证了该理论的正确性. 接着研究了一维光子晶体表面石墨烯在太赫兹光谱范围的吸收. 通过改变模型中石墨烯的位置,得到了一维石墨烯吸收特性与石墨烯位置的关系. 结果表明：当石墨烯位于光子晶体表面时,由于石墨烯和间隔层在光子晶体表面构成了表面缺陷,从而导致光的局域化,这种局域化增强了石墨烯对太赫兹范围光的吸收.

关键词石墨烯;FDTD方法;表面边界条件;光子晶体;太赫兹

引言

石墨烯,是由碳原子构成的二维晶体结构,是目前世界上最薄的材料.由于它独特的光学特性,自从2004年被发现以来,就一直成为科学研究的焦点.作为一个新型材料,石墨烯被认为非常适合太赫兹光学设备的发展.基于石墨烯的能带结构和透光性,目前受到了极大的关注[1].

1992年, Maloney和Smith提出用亚元胞时域有限差分(Finite Difference Time Domain FDTD)方法对薄片材料进行建模[2].2005年,赵小莹和周乐柱分析过介质光子晶体的电磁特性,但采用的是有限元法[3-4].2012年,Bouzinanas等人采用铺助变量和亚元胞技术相结合的方法计算了各向同性石墨烯的透射反射系数,但未涉及到外加偏压磁场存在下的各向异性的情况[5-7].2013年Peres 和Bludov研究了一维光子晶体中引入单层石墨烯,结果显示,此结构增强了石墨烯在太赫兹光谱范围的吸收效率[8-11].文中在实现利用表面边界条件对单层石墨烯建模的基础上,将石墨烯层分别加入到一维光子晶体的表层、中间层和底层中,分析了结构变化对电磁特性的影响,发现石墨烯加于一维光子晶体表面时整体结构吸收特性最好.

1表面边界条件的石墨烯FDTD迭代式推导

根据文献[12],单层石墨烯是无限薄的,设石墨烯薄片左右表面的电导率为σg(ω,μc,Γ,T),其中ω是角频率,μc是化学势,Γ是散射率,T是室温.由Kubo公式得到石墨烯的电导率表达式,σg=σintra+σinter,σintra是取决于能带内的能量,而σinter是取决于能带间的能量.同时,因为能带内的能量占能量主要部分,所以，我们只需考虑σintra这一项,而忽略后面一项[12].

σintra可以用Drude表达式表示为

(1)

一维情况下,如图1所示,将石墨烯薄片放在空间网格K+1/2处,TEM波沿z方向垂直入射于石墨烯薄片,电场分量Ey和磁场分量Hx被半元胞分开排列.

设在石墨烯薄片左右表面有磁场1Hx和2Hx.将法拉第法则∂B/∂t=-×E在K+1/2处进行离散,对时间导数∂B/∂t进行中心差分,对沿z方向的空间导数进行前差分和后差分得到,即,

(2)

式中：μ1和μ2分别是石墨烯左右表面的磁导率；δc、δb、δf分别是中心、后、前差分导数近似值.

式(2)经过差分计算可得,

(3)

式(3)中: Δt为时间步长; Δz为空间步长.

图1　一维石墨烯的FDTD网格

对于式(3)中的Ey在网格点K+1/2的值,FDTD网格中没有定义这一点,此时就需要使用表面边界条件:

2Hx(K+1/2)-1Hx(K+1/2)

=σgEy(K+1/2).

(4)

结合式(3)再利用jω→∂/∂t将式(4)由频域转换成时域可得,

= 2Δzσ0[2Hnx(K+1/2)-1Hnx(K+1/2)]+

(5)

= -2Δzσ0[2Hnx(K+1/2)-1Hnx(K+1/2)]-

(6)

磁场分量在时间步n的值近似等于在n-1/2与n+1/2值的平均值:

Hnx(K+1/2)= 12Hn+1/2x(K+1/2)[+

(7)

结合式(5)、(6)、(7)并使用中心差分得到石墨烯薄片两边的磁场迭代式:

:1Hn+1/2x(K+1/2)= 11-c1c2

{(fh11+

1/2)+(fh12+

(8)

2Hn+1/2x(K+1/2)= 11-c1c2

{(fh21+

(9)

式中:

以上得到的石墨烯薄片的FDTD迭代式使用了表面边界条件,回避了文献[2]中研究的亚元胞FDTD算法,降低了算法公式的复杂度,并且解决了其他算法不能对薄层介质建模的缺陷.

2数值验证

验证算例如图1所示,TEM波垂直入射到石墨烯薄片上,入射波采用高斯脉冲波

其中最高有效频率fmax=10 THz;t0=1.6×1013s;τ1=2/fmax; 空间步长Δz取1.5 μm; 时间步长Δt=Δz/2/c,c=3×108m/s是光在真空中的速度.计算时间步为10 000步,设T=300 K,μc=0.5 eV,τ=0.5 ps,石墨烯相对介电常数ε=1.0.

利用薄片两边的电场,经过离散傅里叶变换得到石墨烯薄片的透射和反射系数.另外用解析解公式T=2/(2+η0σg),R=T-1可以计算得到石墨烯透射与反射系数的解析解[13],其中η0是自由空间阻抗.得到的FDTD算法和解析解两个结果之间的比较如图2所示.

图2　反射和透射系数图

从图2中可知FDTD数值解和解析解得到的透射与反射系数基本吻合,从而验证了该算法的正确性.另外可以看出在太赫兹高频段处,石墨烯薄片的透射率基本在0.95以上甚至接近1,反射率也几乎接近0.1,表明单层石墨烯对光波的良好吸收性能.

3一维石墨烯THz光子晶体的电磁特性研究

近几年,关于石墨烯的研究越来越趋向于对在太赫兹光谱范围的石墨烯以及将石墨烯加入到光子晶体中的研究,其目的都是为了增强石墨烯的吸收特性[9].下面将提出三种石墨烯与光子晶体结合的结构,并比较其吸收特性的不同,来选择一种最理想的一维石墨烯光子晶体.

3.1石墨烯置于一维光子晶体表面对电磁特性的影响

将石墨烯贴于周期排列的Si/SiO2多层介质结构(也就是一维光子晶体)表面,石墨烯和一维光子晶体之间有一层SiO2作为间隔层(如图3所示).由于在一维光子晶体的表面局域缺陷而产生光子局域化,使得石墨烯的反射率降低并增强石墨烯的透射[14].

图3　石墨烯置于一维光子晶体表面模型图

一维光子晶体跟带石墨烯的光子晶体相比较,从图4可以看出,在高频部分,加了层石墨烯之后的一维光子晶体其反射系数在约7.2THz处最多减小了近0.45,而此处的透系数增加了约0.8.可以看出加了一层石墨烯之后,大大增加了光子晶体结构对太赫兹光波的吸收.

(a) 反射系数

(b) 透射系数

(c) 吸收效率图4　反射、透射系数和吸收效率图

3.2石墨烯置于一维光子晶体中间层对电磁特性的影响

将石墨烯贴于间隔层与周期排列的Si/SiO2多层介质结构中间,仍然用SiO2作为间隔层,如图5所示. 计算仿真结果如图6所示.

图5　石墨烯置于一维光子晶体中间模型

从图6可以看出,当石墨烯置于间隔层与一维光子晶体中间时,与置于光子晶体表面相比,其反射和透射系数并没有改善,相反,在6.6THz其反射系数最大增加了约0.45,而在6.8THz处透射系数却最大降低了约0.3.但与不加石墨烯的光子晶体相比,在9.2THz处,其反射系数降低了约0.8,同时在9.3THz处其透射系数提高了约0.4. 因此,一维光子晶体中加一层石墨烯会提高吸收,但是将石墨烯从一维光子晶体表面移至中间层并不会改善其吸收效率.

(a) 反射系数

(b) 透射系数

(c) 吸收效率图6　反射、透射系数和吸收效率图

3.3石墨烯置于一维光子晶体底层对电磁特性的影响

将石墨烯贴于Si/SiO2周期排列的一维光子晶体的底部,第一层仍然是间隔层SiO2,几何结构如图7所示,计算仿真结果如图8所示.

图7　石墨烯置于一维光子晶体底层模型

从图8中可以看出,将石墨烯置于一维光子晶体底层时,其反射系数比另外两种模型的反射系数都高,且最高达到1,同时透射系数也比其他两种模型低,这就说明将石墨烯加在底层时并不会改善吸收特性.再将此模型与石墨烯置于光子晶体表面的模型相比较,可以看出,置于表面时,在7.2THz处反射系数降低约0.7,在6.8THz处其透射系数增加约0.55.

(a) 反射系数

(b) 透射系数

(c) 吸收效率图8　反射、透射系数和吸收效率图

4结论

提出的利用表面边界条件对石墨烯进行FDTD建模的方法,其算法过程并不复杂,并且较好地规避了亚元胞FDTD算法,解决了其他算法不能对无限薄层介质建模的缺陷.将单层石墨烯加入到一维光子晶体中,通过改变石墨烯在光子晶体中的位置,对比其反射与透射系数,发现当石墨烯置于表面时这种结构是吸收特性最理想的一种模型,为下一步实际制作石墨烯光子晶体提供了一定的理论基础.

参考文献

[1]FUMX,ZHANGY.Progressofterahertzdevicesbasedongraphene[J].Journalofelectronicscienceandtechnology, 2013, 11(4): 352-359.

[2]MALONEYJG,SMITHGS.Theefficientmodelingofthinmaterialsheetsinthefinite-differencetime-domain(FDTD)method[J].IEEEtransactionsonantennasandpropagation, 1992, 40(3): 323-330.

[3]赵小莹, 周乐柱. 不同参量的二维介质电磁带隙的反射及传输特性研究[J]. 北京大学学报: 自然科学版, 2005, 41(3): 128-132.

ZHAOXY,ZHOULZ.Theoreticalresearchonreflectionandtransmissionperformancesof2-DdielectricEBGstructureswithdifferentparameters[J].ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisPekinensis:scienceandtechnology, 2005, 41(3): 128-132. (inChinese)

[4] 吴霞, 周乐柱. 时域有限元法在计算电磁问题上的应用及发展[J]. 电波科学学报,2008, 23 (6): 1209-1216.

WUX,ZHOULZ.Applicationanddevelopmentoftime-domainfiniteelementmethodonEManalysis[J].Chinesejournalofradioscience, 2008,23 (6): 1209-1216. (inChinese)

[5] 葛德彪, 朱湘琴, 杨利霞, 等.FDTD应用于各向异性介质及半空间散射问题[J]. 电波科学学报, 2004, 19: 41-44.

GEDB,ZHUXQ,YANGLX,etal.ApplicationofFDTDinanisotropicmediumandhalfspacescatteringproblem[J].Chinesejournalofradioscience, 2004, 19: 41-44. (inChinese)

[6] 曾瑞, 李明之, 周乐柱, 等.FDTD法分析涂覆各向异性材料金属目标宽带散射特性[J]. 电波科学学报,2008,23(1): 11-16.

ZENGR,LIMZ,ZHOULZ,etal.FDTDanalysisofwide-bandscattingcharacteristicofmetaltargetcoatedbyanisotropicmedium[J].Chinesejournalofradioscience, 2008,23(1): 11-16. (inChinese)

[7]BOUZNIANASGD,KANTARTZISNV,ANTONOPOULOSCS,etal.OptimalmodelingofinfinitegraphenesheetsviaaclassofgeneralizedFDTDschemes[J].IEEEtransactionsonmagnetics, 2012, 48(2): 379-382.

[8]NAYYERIV,SOLEIMANIM,RAMAHIOM.Modelinggrapheneinthefinite-diffierencetime-domainmethodusingasurfaceboundarycondition[J].IEEEtransactionsonantennasandpropagation, 2013, 61(8): 4176-4182.

[9]PERESNMR,BLUDOVYV.Enhancingtheabsorptionofgrapheneintheterahertzrange[J].IOPscience, 2013, 101(5): 58002.

[10]谢凌云, 肖文波, 黄国庆, 等. 光子晶体增强石墨烯THz吸收[J]. 物理学报, 2014, 63(5): 057803.

XIELY,XIAOWB,HUANGGQ,etal.Terahertzabsorptionofgrapheneenhancedbyone-dimensionalphotoniccrystal[J].Actaphysicasinica, 2014, 63(5): 057803. (inChinese)

[11]LIUJT,LIUNH,WANGL,etal.Gate-tunablenearlytotalabsorptioningraphenewithresonantmetalbackreflector[J].IOPscience, 2013, 104(5): 57002.

[12]LOVATG.Equivalentcircuitforelectromagneticinteractionandtransmissionthroughgraphenesheets[J].IEEEtransactionsonelectromagneticcompatibilit, 2012, 54(1): 101-109.

[13]HANSONGW.DyadicGreen’sfunctionsandguidedsurfacewavesforasurfaceconductivitymodelofgraphene[J].Journalofappliedphysics, 2008, 103(6): 064302.

[14]GUSYNINVP,SHARAPOVSG,CARBOTTEJP.Magneto-opticalconductivityingraphene[J].Journalofphysicscondensedmatter, 2007, 19(2): 026222.

Terahertz electromagnetic characteristics of one-dimensional graphene-photonic crystal by FDTD method

YANG Lixia1LI Lingling1ZHU Ting1SHI Lijuan2

(1.SchoolofcomputerscienceandCommunicationEngnerring,JiangsuUniversity,Zhenjiang212013,China;2.Schoolofscience,JiangsuUniversity,Zhenjiang212013,China)

AbstractA theoretical research on terahertz electromagnetic characteristics of one-dimensional graphene-photonic crystal is carried out by using the finite-difference time-domain (FDTD) with a surface boundary condition in this paper. Firstly, the reflection and transmission coefficient are given by the FDTD at both sides of the graphene in the terahertz spectrum. Comparison of the simulated results with the analytic ones proved the correctness of the simulation method. Then the absorption characteristics of one-dimensional graphene photonic crystal are studied in the terahertz range. Results with different models of photonic crystal indicate that the localization casued by surface defect can greatly enhance the absorption of graphene which is located in the surface of photonic crystal.

Keywordsgraphene; FDTD method; surface boundary condition; photonic crystal; terahertz

收稿日期：2015-05-18

中图分类号TN82

文献标志码A

文章编号1005-0388(2016)02-0262-07

DOI10.13443/j.cjors.2015051801

作者简介

杨利霞(1975-),男,湖北人,江苏大学通信工程系副教授,博士,博士生导师,美国俄亥俄州立大学ElectronScience实验室博士后,现在美国德州大学达拉斯分校太空科学研究所做访问学者,主要研究方向为电波传播、电磁散射及辐射、电磁场数值计算等.

李玲玲(1989-),女,江苏人,硕士研究生,主要从事复杂介质的电磁特性研究.

朱婷(1992-),女,江苏人,硕士研究生,主要从事复杂介质的电磁特性研究.

杨利霞, 李玲玲, 朱婷, 等. 基于石墨烯一维太赫兹光子晶体电磁特性研究[J]. 电波科学学报，2016,31(2):262-268. DOI:10.13443/j.cjors.2015051801

YANG L X, LI L L, ZHU T, et al. Terahertz electromagnetic characteristics of one-dimensional graphene-photonic crystal by FDTD method [J]. Chinese journal of radio science，2016,31(2):262-268. (in Chinese). DOI:10.13443/j.cjors.2015051801

资助项目: 国家自然科学基金面上项目(61072002); 江苏省高等学校大学生实践创新训练计划项目(10299074)

联系人： 杨利霞 E-mail:lixiayang@yeah.net