非奇异H-矩阵的新判定方法

张俊丽， 韩贵春

(内蒙古民族大学 数学学院， 内蒙古 通辽 028043)



非奇异H-矩阵的新判定方法

张俊丽， 韩贵春

(内蒙古民族大学 数学学院， 内蒙古 通辽 028043)

摘要:非奇异H-矩阵是一类重要特殊矩阵, 它在计算数学、 控制论、 系统理论以及弹性力学等众多领域中都有广泛的应用, 但在实用中其判定是十分困难的. 本文根据α-对角占优矩阵与非奇异H-矩阵的关系, 利用不等式放缩技巧， 给出了非奇异H-矩阵的新判定方法, 对已有的相关结果进行了推广和改进, 并用数值算例证实了该判定准则的有效性.

关键词:非奇异H-矩阵；α-对角占优矩阵； 不可约； 非零元素链

0引言

非奇异H-矩阵在计算数学、 动力系统理论和数学物理等众多领域有着广泛的应用， 但是其判定却比较困难. 近年来很多学者对其作了深入的研究， 给出了一些重要结果[1-16]. 文献[1]给出了非奇异H-矩阵的简捷判据， 文献[3]给出了非奇异H-矩阵的迭代判定方法， 是改进文献[1-2]的结果. 本文给出非奇异H-矩阵的新判定方法， 推广了文献[1-4]中的部分结论.

为了便于叙述， 下面引入本文的主要符号：

记

定义 2[5]A=(aij)∈Cn×n， 如果存在α∈(0,1]， 使得对∀i∈N， 有

定义 3[6]设A=(aij)∈Cn×n， 若A∈D0(α)， 不可约， 且至少有一个严格不等式成立， 则称A为不可约α-对角占优矩阵; 若A∈D0(α)， 且对满足等式成立的下标i均存在非零元素链aii1，ai1i2， …，ai,j， 成立|ajj|≥[Rj(A)]α[Sj(A)]1-α， 则称A具为非零元素链α-对角占优矩阵.

1)A∈D(α);

2)A为不可约α-对角占优矩阵， 且至少有一行严格对角占优;

3)A为具有非零元素链α-对角占优矩阵.

1主要结果

定理 1设A(aij)∈Cn×n， α∈(0,1]， 若对任意的i∈N2， 有式(1)成立

(1)

证明由符号定义知， 0

由式(1)， 存在ε>0， 使得∀i∈N3， 有0<ρi+ε<1， 且对∀i∈N2有下式成立

(2)

构造如下正对角阵

且令

其中: xi=1, i∈N1; xi=δi, i∈N2; xi=ρi+ε, i∈N3.

即|bii|>[Ri(B)]α[Si(B)]1-α.

② ∀i∈N2， 由式(2)得

③ ∀i∈N3， 由ρi(A)的定义得

由ε>0， 故

故

故 |bii|>[Ri(B)]α[Si(B)]1-α.

注文献[11]中定理1是上述定理在α=0.5时的情况， 且上述定理1的判定方法可推广到不可约和具有非零元素链的情形， 具体如下：

(3)

证明因A不可约， 故Q={aij=0,i∈K⊂N,j∈N-k}=Φ.

构造正对角阵

① ∀i∈N1， 由δi和ρi的定义知

② ∀i∈N2， 由式(3)得

又式(3)中至少有一严格不等式成立， 即存在k， 使得

③ ∀i∈N3， 有

类似地， 亦可证明下面的结论.

定理 3设A=(aij)∈Cn×n， α∈(0,1]， 若对任意的i∈N2， 满足

(4)

若式(4)至少有一个不等式严格成立， 且满足上式中每一个等式的i或i∈N-N2均存在非零元素链aii1,ai1i2,ai2i3,…,aikj， 使得j∈N2， 并且

2数值算例

考虑矩阵

用本文定理1， 取α=0.53， p=0， 则N1={2}， N2={1,3}， N3={4,5}， 于是，

参考文献：

[1]黄廷祝. 非奇异H-矩阵的简捷判据[J]. 计算数学， 1993， 15(3)： 318-328.

HuangTingzhu.SomesimpledeterminateconditionsfornonsingularH-matrix[J].MathematicaNumericaSinica， 1993， 15(3)： 318-328. (inChinese)

[2]干泰彬， 黄廷祝. 非奇异H-矩阵的实用充分条件[J]. 计算数学， 2004， 26(1)： 109-116.

GanTaibin，HuangTingzhu.PracticalsufficientconditionsfornonsingularH-matrix[J].MathematicaNumericaSinica， 2004， 26(1)： 109-116. (inChinese)

[3]王峰. 非奇异H-矩阵判定的迭代准则[J]. 安徽大学学报(自然科学版)， 2011， 36(6)： 16-20.

WangFeng.NewiterativecodesfornonsingularH-matrices[J].JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition)， 2011， 36(6)： 16-20. (inChinese)

[4]黄泽军， 刘建州. 非奇异H-矩阵的一类新迭代判别法[J]. 工程数学学报， 2008， 25(5)： 939-942.

HuangZejun，LiuJianzhou.NewiterativecriteriafornonsingularH-matrices[J].ChineseJournalofEngineeringMathematics， 2008， 25(5)： 939-942. (inChinese)

[5]周伟伟， 徐仲. 非奇H-矩阵细分迭代准则[J]. 数值计算与计算机应用， 2011， 32(4)： 293-300.

ZhouWeiwei，XuZhong.SubdividedandaiterativecodefornonsingularH-matrices[J].JournalonNumericalMethodsandComputer， 2011， 32(4)： 293-300. (inChinese)

[6]王磊磊， 席博彦， 刘建州. 非奇异H-矩阵的几个充分条件[J]. 高校应用数学学报， 2014， 29(1)： 55-62.

WangLeilei，XiBoyan，LiuJianzhou.SeveralsufficientconditionsfornonsingularH-matrices[J].AppliedMathematicsAJournalofChinese， 2014， 29(1)： 55-62. (inChinese)

[7]SunYuxiang.Animprovementonatheorembyostrowskianditsapplications[J].NortheasternMath.J. ， 1991， 7(4)： 497-520.

[8]李继承， 张文修.H-矩阵的判定[J]. 高等学校计算数学学报， 1999， 21(3)： 264-268.

LiJicheng，ZhangWenxiu.CriteriaforH-matrices[J].NumericalMathematicsAJournalofChineseUniversities， 1999， 21(3)： 264-268. (inChinese)

[9]BermanA，PlemmonsRJ.Nonnegativematrixinthemathematicalsciences[M].NewYork：AcademicPress， 1979.

[10]VargaRS.Onrecurringtheoremsondiagonaldominance[J].LinearAlgebraAppl， 1976， 13： 1-9．

[11]张威. 非奇异H-矩阵的判定[J]. 北华大学学报(自然科学版)， 2014， 15(3)： 302-307.

ZhangWei.CriteriaforNonsingularH-matrices[J].JournalofBeihuaUniversity(NaturalScience)， 2014， 15(3)： 302-307. (inChinese)

[12]张俊丽， 韩贵春. 非奇异H-矩阵的一类判定条件[J]. 湖北民族学院学报， 2014， 32(2)： 144-147.

Zhang Junli， Han Guichun. Some simple conditions for nonsingular H-matrices[J]. Journal of Hubei University for Nationalities(Natural ScienceEdition)， 2014， 32(2)： 144-147. (in Chinese)

[13]Wang Leilei， Xi Boyan, Qi Feng. On-locally doubly diagonally dominant matrices[J]. U. P. B. Sci. Bull. ， Series A， 2015, 77(2)： 163-172.

[14]黄廷祝， 杨传胜. 特殊矩阵分析及应用[M]. 北京： 科学技术出版社， 2007.

[16]郭微， 孙玉祥. H-矩阵的实用判定[J]. 工程数学学报， 2010， 27(2)： 347-352.

Guo Wei， Sun Yuxiang. Practical criteria for H-matrix[J]. Chinese Journalof Engineering Mathematics， 2010， 27(2)： 347-352. (in Chinese)

A New Decision Method of Nonsingular H-Matrix

ZHANG Jun-li, HAN Gui-chun

(School of Mathematics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao 028043, China)

Key words:nonsingular H-matrix;α-diagonally dominant matrix; irreducible; nonzero elements chain

Abstract:Nonsingular H-matrix is a kind of important special matrices, it has extensive application in many fields such as computational mathematics, control theory, system theory and mechanics of elasticity and so on, but it is difficult to determine in practice. In this paper, a new decision method of nonsingular H-matricesare was given according to the relations ofα-diagonally dominant matrices and nonsingular H-matrices and techniques of inequalities, which extents and improves some related results. The validity of the decision criterion is illustrated by some numerical examples.

文章编号:1673-3193(2016)03-0211-04

收稿日期:2015-12-01

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11361038)； 内蒙古自然科学与技术研究基金资助项目(NJZY13159)； 内蒙古民族大学自然科学基金资助项目(NMD1305)

作者简介：张俊丽(1980-)， 女， 讲师， 硕士， 主要从事数值代数及应用研究.

中图分类号:O151.21

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.03.001