时滞影响下MR阻尼器-斜拉索控制系统主共振分析

彭　剑， 胡　霞， 谢献忠， 王连华

(1.湖南科技大学 土木工程学院，湖南　湘潭　411201；2.湖南大学 土木工程学院，长沙　410082)

时滞影响下MR阻尼器-斜拉索控制系统主共振分析

彭剑1， 胡霞1， 谢献忠1， 王连华2

(1.湖南科技大学 土木工程学院，湖南湘潭411201；2.湖南大学 土木工程学院，长沙410082)

基于Hamilton变分原理，建立了考虑时滞作用下的MR阻尼器-斜拉索控制系统的非线性运动方程。采用Galerkin方法和多尺度法，从理论上推导出时滞动力系统的分岔响应，得到了该系统主共振的一阶近似解及响应峰值关于时滞的解析式。进而，分析了时滞、控制增益、外激励幅值等参数对系统主共振幅值响应的影响。结果表明，受控系统的主共振幅值存在跳跃和滞后现象，并随着时滞量、控制反馈增益和外激励幅值的增大而增大，且系统可能出现失稳；主共振响应的峰值与时滞正相关，当时滞达到一定值后，峰值显著增大。

MR阻尼器；斜拉索；时滞；主共振

斜拉索作为斜拉桥的关键构件，具有阻尼低、质量轻及柔性等基本特点，在车辆荷载或风(雨)荷载作用下易发生大幅振动，非线性现象十分明显。尽管对拉索的振动机理并没有完全理解，但是基于实际需要，已经根据不同的情况提出了一系列的控制方法。目前，对采用MR阻尼器对拉索的振动进行控制已有不少研究[1-2]，但是MR阻尼器本身存在30 ms～50 ms的时滞，这主要由MR液响应时间，激励线圈反应时间和结构时滞等组成，再加上半主动控制系统的时滞，整个控制系统的时滞量可达到近1 s[3]，而这与斜拉索的基频处于同一个量级，极易引起受控系统失稳[4]。因此深入探究时滞影响下该系统的非线性动力学有利于提高控制质量，改善控制系统性能。

值得一提的是，结构大幅振动控制中的时滞问题已引起了学者们的关注。已有研究分别从时滞受控系统的稳定性，时滞补偿等方面进行了探讨。Cha等[3]基于半主动控制策略，开展了时滞影响下200 kN的MR阻尼器的鲁棒性研究。Ying等[5]研究了时滞影响下半主动受控斜拉索的参数激励的稳定性。Abdel-Rohman等[6]研究了风雨激励作用下悬索桥半主动控制中的时滞问题，并对比了两种时滞补偿方法。彭剑等[7]对MR阻尼器-拉索控制系统中的时滞影响下的系统稳定性进行了研究。宋攀等[8]研究了复杂柔性耦合主动隔振系统中的时滞主动控制问题，结果表明主动控制中有必要考虑时滞因素以避免失稳。申永军等[9]对含有时滞的单自由度半主动开关控制悬架系统进行了研究，发现系统的稳定性随着时滞会发生周期性变化。

因此，为了满足实际工程需要，必须深入研究时滞作用下的MR阻尼器-拉索系统。本文基于建立的时滞微分方程，利用Galerkin方法和多尺度法求得主共振的一阶近似解，分析了一些重要参数对主共振幅频响应的影响。

1MR阻尼器-斜拉索系统时滞微分方程

由于拉索的垂度非常小，因此拉索沿弦长方向的振动可以忽略不计。假设沿索长方向的截面积保持不变，索始终保持在弹性变形范围内。如图1所示的MR阻尼器-拉索系统。固定端标记为A,B，磁流变阻尼器安装位置标记为C。以固定端A为坐标原点，两端点连线方向为x轴，垂线方向为y轴，建立直角坐标系。利用Hamilton变分原理可得到忽略弯曲、扭转以及剪切的MR阻尼器—拉索系统的面内非线性运动方程为[10-11]：

f(x,t)+Fdδ(x-xd)

(1)

v(0,t)=v(L,t)=0

(2)

图1　MR阻尼器-拉索系统的理论模型Fig.1 Theoretical model of MR damper-stay cable system

由于拉索的垂度很小，因此，初始斜拉索的静态构形y可近似表示为[10]:

(3)

式中：θ为拉索的倾角。基于上面的假设，可得到斜拉索的无量纲非线性运动方程：

(4)

其中利用了下面的无量纲变量：

x*=x/L,y*=y/L,v*=v/L,α=EA/H,

此外，为了书写方便，运动方程式(4)中的星号已经去掉。

考虑控制时滞τ，则时滞作用下的MR阻尼器-拉索系统运动方程为：

(5)

运用Galerkin方法对其位移函数v(x,t)进行展开：

(6)

(6)

其中运动方程中利用了模态阻尼，μn为模态阻尼系数，ωn为第n阶面内模态的固有频率，此外：

有关收敛性已有验证[13]，同时Zhou等[14]提供了很好的解决收敛性和计算效率的问题的方法。在本文中仅研究单模态非线性响应，且计算阻尼系数时只取第一阶近似，即：

(8)

2主共振解

本节求解该系统单模态非线性振动的主共振解，采用多尺度法，设方程(8)的摄动解形式为：

qn(t)=qn0(T0,T1,T2)+εqn1(T0,T1,T2)+

ε2qn2(T0,T1,T2)+O(ε2),Tj=εjt,j=0,1,2

(9)

在主共振情况下，调整阻尼项、非线性项及外激励项的系数，即：

μn=O(ε2),Λnnn=O(ε),Γnnnn=O(ε2),kn=O(ε2),

fn=O(ε2),Ω=ωn+ε2σ,σ=O(1)

其中0<ε≪1，σ为调谐参数。使用微分算子：

(10)

将方程(9)和方程(10)代入方程(8)，比较方程两边的系数，得到如下微分方程组：

(11)

(12)

knD0qn0(T0-τ,T1,T2)+fncos(T0+σT2)

(13)

方程(11)的解可写为：

(14)

式中：i表示虚数单位，An(T1)为关于T1的复函数。将方程(14)代入方程(12)可得：

(15)

式中：cc表示前面几项的复共轭。在方程(15)中消去使qn1产生久期项的那些项，得到D1An=0或An=An(T2)。因而方程(15)的解记为：

(16)

将方程(14)和方程(16)代入方程(13)，可得：

(17)

在方程(17)中消去使得qn2产生久期项的那些项，则有：

-i(2D2+μn+kneiτ)An+

(18)

(19)

式中：φn(T2)=σnT2-βn(T2)。当an0′=γn0′=0时存在稳态运动，这对应着方程(19)的奇点，亦即对应方程组：

(20)

的解。将上述两个方程平方相加，可得到主共振的幅频响应方程及相位角方程：

(21)

因此，主共振的稳态一阶近似解可以表示为：

qn(t)=ancos(Ωt-φn)+O(ε)

(22)

同时，易知响应幅值是关于调谐参数，反馈增益，时滞以及外激励幅值的函数。根据方程(21)可得主共振最大幅值的表达式为ap=fn/(μn+kncosτ)。

3稳定性分析

下面通过研究方程(19)的奇点的性状来确定稳态运动的稳定性，设：

an=an0+an1,γn=γn0+γn1

(23)

将方程(23)代入方程(19)，注意到an0,γn0满足方程(20)，保留到an1,γn1的线性项，得到：

(24)

方程(24)的特征方程如下：

(25)

根据方程(20)，方程(25)可以简化为：

(26)

其中：

4算例分析

本节以岳阳洞庭湖大桥A12斜拉索作为研究对象进行算例分析。其几何参数和物理参数分别为：索长L=121.9 m；横截面积A=6 273×10-6m2；初始张力H=3 150 kN；弹性模量E=2.0×1011Pa；倾斜角θ=35.2°；单位长度质量m=51.8 kg/m；阻尼μ1=0.012 6；重力加速度g=9.81 m/s2，等效阻尼系数k1=15，阻尼器位置取距离下锚固端2%位置。

图2　时滞作用下主共振的幅频响应曲线Fig.2 The amplitude-frequency curve of the primary resonance response with time delay

图3　控制增益作用下主共振的幅频响应曲线Fig.3 The amplitude-frequency curve of the primary resonance response with control feedback gain

下面将分别分析时滞、控制增益和外激励幅值对第一阶模态(n=1)主共振幅频响应的影响，图中实线和虚线分别表示稳定和不稳定幅值。图2～图5是基于打靶法和延拓方法得到的主共振的幅频响应曲线图。图2和图3中选取外激励的幅值f=0.005，给出了不同时滞值和控制增益作用下主共振的幅频响应曲线。从图中可以看出，随着时滞值和控制增益的增大，振幅增大，而其主共振区域和振动骨架无明显变化。同时发现，不同的时滞值对应的幅频曲线均存在多值区域和跳跃现象。值得指出的是，随着时滞值得增大，其值越来越接近系统的固有频率，可能发生共振，从而导致非线性响应增强。

图4　时滞作用下主共振的振幅-激励幅值曲线Fig.4 The response-excitation amplitude curve of the primary resonance with time delay

图4给出了不同时滞值和调谐参数时系统第一阶模态的振动响应。注意到，随着调谐参数σ值得不同，有些曲线是多值的，有些曲线是单值的。并且不稳定值仅出现在多值曲线上。随着时滞值的增加，系统响应幅值相应增大，而与幅值曲线不同的是，振动曲线的响应较弱。

图5　时滞作用下主共振的响应幅值峰值曲线Fig.5 The curves of the peak amplitude of the primary resonance response with time delay

图5给出的是主共振的响应幅值的峰值与时滞之间的关系图。从图中可以得出，随着时滞值的增大，其峰值逐渐增大，并且当时滞值处于一定范围内，对主共振响应的幅值的峰值影响不大，但当达到或大于某一值时，其峰值增幅得到显著提高。图6则通过系统响应的时程曲线给出了不同时滞作用下响应的明显变化。当时滞值增大时，系统的响应明显增大。

图6　不同时滞值时主共振的响应时间历程图Fig.6 The time history curves of the primary resonance response with time delay

5结论

本文针对MR阻尼器-斜拉索系统，基于多尺度法对时滞影响下该系统的主共振响应进行了解析研究，得到了系统的一阶近似解，与数值解吻合较好，并对其主共振幅频响应进行参数分析。结果表明：

(1) 主共振幅频响应受时滞因素影响较大，其振幅随时滞值、控制反馈增益和外激励幅值增大而增大，存在多值区域和跳跃现象。因此，必须控制该系统中时滞量的取值范围，以避免较大的时滞值导致系统响应的显著增大及系统失稳。

(2) 调节该系统中时滞量，可以达到消除或改变系统发生Hopf分岔。

(3) 主共振响应的峰值与时滞正相关，当时滞超过临界值后，峰值显著增大。

(4) 控制增益对振幅也存在较大影响，在对具体系统进行控制设计时，可选取合适的时滞值和控制增益达到较优的控制效果。

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Primary resonance of MR damper-stay cable control systems with time delay

PENG Jian1, HU Xia1, XIE Xian-zhong1, WANG Lian-hua2

(1. School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on Hamilton principle, nonlinear motion equations of MR damper-stay cable systems with time delay were obtained. The bifurcation responses of this type system were derived with Galerkin method and the method of multiple scale. The approximate expressions of the primary resonance and the peak of the response amplitude versus time delay were deduced. To illustrate the characteristics of the primary resonance, the effects of major parameters, such as, time delay, control gains and external excitation on the system response were studied. The numerical results showed that the frequency-response curves of the controlled system have jump and hysteresis phenomena, and the response amplitude increases with increase in time delay, control feedback gain and external excitation amplitude; a positive correlation between the peak amplitude of the primary resonance response and time delay is observed, and when time delay reaches a certain value, the peak significantly increases.

MR damper; stay cable; time delay; primary resonance

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.029

国家重点基础研究发展计划(973计划)(2015CB057702);国家自然科学基金项目(11402085;11272119)；湖南省教育厅项目(14C0464;12A052)

2014-04-04修改稿收到日期：2015-01-30

彭剑 男，博士，讲师，1982年11月生

O322

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