斜拉索-摩擦型阻尼器系统的阻尼特性分析

王慧萍， 孙利民， 胡晓伦

(1. 东南大学 交通学院，南京　210096；2. 同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海　200092)

斜拉索-摩擦型阻尼器系统的阻尼特性分析

王慧萍1， 孙利民2， 胡晓伦1

(1. 东南大学 交通学院，南京210096；2. 同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海200092)

研究了采用非线性摩擦型阻尼器的斜拉索振动控制的阻尼特性。通过数值模拟斜拉索-摩擦型阻尼器系统的自由振动，分析了斜拉索位移时程曲线的衰减特征，系统模态阻尼比的变化规律以及拉索振动形状的变化。通过对拉索模态阻尼比的参数分析，得到了摩擦型阻尼器参数和拉索附加阻尼关系的通用设计曲线。研究了拉索-摩擦型阻尼器系统最大附加阻尼的取值，结果表明斜拉索的最大模态阻尼比依振动初始条件等参数影响分布在一个范围而非定值，其下限值仍高于采用线性黏滞阻尼器时所获得的最大模态阻尼比。最后将数值模拟结果与已有实索试验数据进行了对比，二者吻合良好。

斜拉索；摩擦型阻尼器；振动控制；模态阻尼比；参数分析

近年很多学者对线性黏滞阻尼器的设计方法进行了研究，形成了较为成熟的理论分析方法。Pacheco等[2]采用无阻尼水平张紧弦模型，通过Galerkin方法得到拉索-阻尼器系统的振动微分方程，分别以无量纲的阻尼系数和系统模态阻尼比作为横纵坐标，得到了线性黏滞阻尼器的通用设计曲线。Krenk[3]基于张紧弦假定和阻尼器位置接近索端的前提，利用复模态分析方法推导出线性黏滞阻尼器通用设计曲线的近似解析表达式。Main等[4]运用阻尼器引起的系统频率变化作为主要参数，推导出与Krenk一致的“通用设计曲线”解析表达式。但是，线性黏滞阻尼理论对具有非线性特征的摩擦型阻尼器和磁流变(MR)阻尼器等并不适用，实索试验[1]和实桥试验[6]均表明安装非线性阻尼器的拉索系统的衰减特征和阻尼特性与线性黏滞阻尼器有很大的不同，仍用线性设计理论来指导这类阻尼器的实际工程设计会产生错误的结果，因此研究非线性阻尼器的设计理论有非常重要的现实意义。

本文正是基于此现状，深入研究了采用摩擦型阻尼器的斜拉索的阻尼特性。目前，国内外关于这方面的研究还比较少，Main[7]对分数形式的非线性阻尼器运用复模态方法进行了分析，得到了模态阻尼值的近似解析解。Krenk[8]利用与线性黏滞阻尼器消耗能量相同的原则，提出了非线性阻尼器的设计方法。以上对非线性阻尼器的研究要么作了近似处理，要么等效成线性，因而得出与线性黏滞阻尼器相似的结论。本文采用数值分析，准确模拟拉索-摩擦型阻尼器的非线性特性，对作用摩擦型阻尼器的斜拉索的自由振动、阻尼特性进行了深入的研究，通过对系统模态阻尼比的参数分析得到了拉索-摩擦型阻尼器系统的通用设计曲线，研究了拉索最大附加阻尼的取值，最后将研究结果与已有实索试验数据进行了对比验证。

1作用摩擦型阻尼器的斜拉索的自由振动

以上研究表明[2-5]，由于斜拉索的张力很大，斜拉索的垂度、倾角和抗弯刚度对系统模态阻尼比的影响很小可以忽略不计，因此可以把斜拉索假定为水平张紧弦，如图1所示。拉索长度为L，单位长度质量为m，张力为T，Fd(t)为摩擦型阻尼器提供的阻尼力，a为阻尼器距索端的距离。拉索-摩擦型阻尼器系统的运动方程可以表示为

F(x,t)+Fd(t)δ(x-a)

(1)

式中：y(x,t)是斜拉索横向位移，F(x,t)是拉索承受的随时间任意变化的分布荷载，δ(·)是Dirac函数。

图1　拉索-摩擦型阻尼器系统Fig.1 Taut cable with a friction damper

图2　摩擦阻尼器的力学模型Fig.2 Mechanical model of friction damper

摩擦型阻尼器采用库仑阻尼(Coulomb damping)模型，摩擦阻尼力的表达式为

(2)

(3)

由于方程(1)属于多自由度非线性方程，直接推导理论解析解比较困难，本文通过有限元商业软件ANSYS进行数值模拟。考虑拉索的几何非线性和阻尼器的库仑阻尼非线性特性，将拉索离散成500个单元，忽略拉索本身的内阻尼，给定拉索一个初始位移，分析拉索在摩擦型阻尼器作用下的自由振动衰减过程。

本文选一根中等长度的拉索用来数值模拟，它基本上能代表目前大跨度斜拉桥中的斜拉索，表1给出了拉索的主要参数。摩擦阻尼器的阻尼力大小设定为20 kN，阻尼器距索左端的距离a为6 m。

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表1　拉索的主要参数

图3为拉索一阶自由振动时阻尼器位置处位移时程曲线，图4为拉索跨中位移时程曲线。通过拉索跨中位移时程曲线，计算拉索-摩擦型阻尼器系统的模态阻尼比

(4)

式中：Yn，Yn+1分别为拉索位移时程曲线中相邻周期的振幅。图5为与跨中位移时程曲线相对应的拉索-摩擦型阻尼器系统的模态阻尼比。

图3　斜拉索阻尼器位置处位移时程曲线Fig.3 The vibration decay curve of cable at damper location

图4　斜拉索跨中位移时程曲线Fig.4 The vibration decay curve of cable at mid span

图5　斜拉索-摩擦型阻尼器系统的模态阻尼比Fig.5 Modal damping ratio of the cable with friction damper

从图3～图5可以看到，斜拉索位移的衰减过程可以分成三个阶段，第一个阶段，跨中位移基本按直线衰减，系统模态阻尼比的大小随位移振幅的减小而逐渐增大，阻尼器位置处位移的衰减曲线出现方波，且随着位移的减小方波效应越来越明显。第二个阶段为摩擦型阻尼器即将锁住的过渡阶段，跨中位移衰减逐渐变缓，已经不是严格的直线衰减，系统模态阻尼比在这个阶段达到最大值，其值大于线性黏滞阻尼器所获得的最大模态阻尼比。第三个阶段，摩擦型阻尼器被锁住停止工作，系统模态阻尼比基本等于零，跨中位移做无阻尼振动。

在拉索位移的衰减过程中，拉索的振动形状也在发生质的变化，且与系统模态阻尼比的变化相对应,如图6所示。在0 s～27.68 s的直线衰减段，整个拉索的振动形状比较平滑，阻尼器位置处未出现折角，模态阻尼比随位移振幅减小而逐渐增大；在直线衰减段和曲线过渡段交界处，即27.68 s，阻尼器位置处开始出现折角，刚开始折角较小，对模态阻尼比影响不大，当折角达到一定程度，模态阻尼比达到最大，超过这个时刻，随着折角增大，模态阻尼比迅速减小；在34.75 s～50 s的水平无阻尼区段，阻尼器位置处的折角达到最大，阻尼器出现抱死状态停止工作，此时模态阻尼比降为零。

图6　拉索自由振动衰减过程的振形变化Fig.6 Vibration shape of the cable with friction damper

阻尼器位置处位移的时程曲线产生方波是摩擦型阻尼器作用于多自由度系统特有的现象，由于多自由度之间的相互耦合，导致当位移处于正负峰值点时，速度很难找准零点，总是忽正忽负，在零点附近不停震荡(图7)，从而导致阻尼力的方向不停的变换，产生一个过渡期。在这段时间，惯性力、恢复力和阻尼力处于动态平衡，其中位移处于峰值点，因此恢复力很大，加速度在此时剧烈震荡，因而惯性力也很大，阻尼力相对前两者来说比较小。

图7　阻尼器位置处的位移、速度时程曲线Fig.7 Displacement and velocity of cable at damper location

2拉索-摩擦型阻尼器系统的通用设计曲线

通过数值模拟对拉索-摩擦型阻尼器系统的模态阻尼比进行参数分析。以无量纲的位移振幅TYL/FdL作为横坐标轴，无量纲的系统模态阻尼比ξ/(a/L)作为纵坐标轴，针对不同的拉索参数和阻尼器参数，如摩擦阻尼力Fd、拉索张力T、阻尼器位置a/L、以及初始位移值y0进行数值分析，分析结果如图8所示。

从图8中可以看出，针对不同的参数，模态阻尼比ξ/(a/L)与位移振幅TYL/FdL的关系曲线基本可以汇集成一条曲线表示，尤其在直线衰减段和无阻尼区段不同参数的曲线完全重合，只是在曲线过渡段模态阻尼比取最大值的附近有所差异，本文把这条曲线称为斜拉索-摩擦型阻尼器系统的通用设计曲线。研究表明，在摩擦型阻尼器作用下，拉索获得的附加阻尼随位移振幅的减小不断增大，在振幅减小到一定程度，摩擦阻尼器将要被锁定时，拉索获得最大附加阻尼，随后附加阻尼随位移振幅的减小迅速递减接近于零，此时阻尼器被锁定。

3拉索-摩擦型阻尼器系统的最大附加阻尼

这可能是由摩擦型阻尼器的非线性引起的，这种情况在单自由度系统中也会发生，因为系统的最大模态阻尼比总是发生在摩擦型阻尼器即将被锁定的时刻，而此时所对应的实际位移振幅受振动初始条件以及阻尼器和拉索各种参数的影响会有所不同，因而导致系统最大附加阻尼分布在一个范围而非定值。

图8　模态阻尼比与位移振幅的关系Fig.8 Curve relating modal damping ratio with displacement amplitude

图9　斜拉索-摩擦型阻尼器系统的通用设计曲线 Fig.9 Universal curve of the cable with friction damper

4实索试验数据验证

周海俊等[9]针对五类共11种阻尼器在拉索生产厂家进行了大规模的阻尼器实索减振试验，其中有一类阻尼器就是本文所研究的摩擦型阻尼器，本文利用当时的试验数据与数值分析结果进行了对比分析验证。

图10为根据实索一阶振动试验三个工况所得到的L/4位移处的通用设计曲线，并与相应的数值分析进行了对比，图11为实索L/8位移处的通用设计曲线与相应数值分析的对比。由于当时受位移计的量程范围所限，没有得到拉索跨中位移的实测数据，对于一阶振动，拉索跨中位移数据应该是最理想的，离跨中位置越远得到的实测数据越零乱，因此图11所示的试验结果和数值结果吻合程度没有图10好。如果有跨中位移的实测数据，我想试验结果和数值结果会吻合的更好，这也从侧面说明本文关于摩擦型阻尼器作用于拉索振动控制的分析是正确的。

图10　拉索L/4处的通用设计曲线Fig.10 Universal curve of the cable at L/4

图11　拉索L/8处的通用设计曲线Fig.11 Universal curve of the cable at L/8

5结论

(1) 采用有限单元法对拉索-摩擦型阻尼器系统的自由振动进行了数值分析，研究了拉索的自由振动位移衰减特征，系统模态阻尼比的变化规律以及拉索振动形状的变化。

(2) 对拉索-摩擦型阻尼器系统的附加阻尼进行了参数分析，得到了摩擦阻尼器参数和拉索附加阻尼关系的通用设计曲线。

(3) 研究了拉索-摩擦型阻尼器系统最大模态阻尼比的取值，其值大于斜拉索作用线性黏滞阻尼器时所获得的最大模态阻尼比。

(4) 将数值模拟结果和实索试验数据得到的通用设计曲线进行了对比，二者吻合很好。

[1] Sun L M，Shi C，Zhou H J, et al. A full-scale experiment on vibration mitigation of stay cable[C]//Proceedings of IABSE Conference on metropolitan habitats and infrastructure. IABSE Symposium Shanghai 2004.

[2] Pacheco B M, Fujino Y, Sulekh A. Estimation curve for modal damping in stay cables with viscous damper [J].Journal of Structural Engineering, 1993, 119(6):1961-1979.

[3] Krenk S. Vibrations of a taut cable with an external damper [J].Journal of Applied Mechanics, 2000, 67(4): 772-776.

[4] Main J A, Jones N P. Free vibrations of taut cable with attached damper. I: Linear viscous damper [J].Journal of Engineering Mechanics, 2002, 128(10):1062-1071.

[5] 汪志昊，陈政清.被动电磁阻尼器对斜拉索振动控制研究[J].振动与冲击,2014,33(9):94-99.

WANG Zhi-hao,CHEN ZHENG-qing.Cable vibration control with a passive electromagnetic damper[J].Journal of Vibration and Shock,2014,33(9):94-99.

[6] 余德举. 斜拉索多模态振动控制研究[D].上海：同济大学,2009.

[7] Main J A, Jones N P. Free vibrations of taut cable with attached damper. II: Nonlinear Damper [J].Journal of Engineering Mechanics, 2002, 128(10):1072-1081.

[8] Krenk S, Høgsberg J R. Damping of cables by a transverse force[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2005, 131(4):340-348.

[9] 周海俊,孙利民,时晨.摩擦型阻尼器的斜拉索减振试验研究[J].同济大学学报：自然科学版,2006,34(7):864-868.

ZHOU Hai-jun, SUN Li-min, SHI Cheng. A full-scale experimental study on cable vibration mitigation with friction damper[J]. Journal of Tongji University: Natural Science, 2006,34(7):864-868.

Damping characteristics of a stayed cable-friction damper system

WANG Hui-ping1, SUN Li-min2, HU Xiao-lun1

(1. Transportation College, Southeast University, Nanjing 210096, China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Damping characteristics of a stayed cable nonlinear friction damper was studied. The free vibration of the cable-friction damper system was numerically simulated with the finite element method. The free vibration attenuation characteristics of the cable, the variations of the modal damping ratio of the system, and vibration shapes of the cable were analyzed. A universal design curve was proposed, it related the modal damping ratio of the cable to parameters of the damper when the effects of various parameters on damping were considered. The maximum additional damping of the system was studied. The results showed that the maximum modal damping ratio of the cable-friction damper is not a fixed value, but a range, and its lowest value is larger than that of an optimal passive linear viscous damper. The results of numerical simulation were compared with those of the actual test data, the former agreed well with the latter.

stayed cable; friction damper; vibration control; modal damping ratio; parametric analysis

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.034

国家高新技术研究发展专项(863计划)(2006AA11Z120)

2014-08-19修改稿收到日期：2015-06-15

王慧萍 女，讲师，博士，1975年生

TU311.3

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