含有参数的二次函数最值问题

程国云

二次函数y=a（x-m）2+n，x∈[t，s]求最值的问题是高中数学教学中一大难点，也是高考重点考查的问题之一。一般地，解决此类问题的基本思路：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间[t，s]的左侧，②表示对称轴在区间[t，s]内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间[t，s]的右侧。然后根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论。

题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值

例1 已知函数g（x）=-x2+2tx-t+1在区间[0，1]上的最大值G（t）及最小值H（t）；求最大值G（t）及最小值H（t）的表达式。

解析：g（x）=-x2+2tx-t+1=-（x-t）2+（t2-t+1），

显然g（x）的对称轴为x=t，

由化简后的表达式可知g（x）的图像开口向下，函数在对称轴处取得最高点，则x∈[0，1]。

①若t≤0，则函数g（x）在[0，1]上递减，故有G（t）=-t+1；H（t）=t

②若t≥1，则函数g（x）在[0，1]上递增，故有G（t）=t；H（t）=-t+1

③若t∈[0，1]，可知当x=t时取最大值：G（t）=t2-t+1

上述为二次项系数小于0的情况，用同样的方法还可以求二次项系数大于0的情况。

例如，已知函数g（x）=x2-2tx+t-1在区间[0，1]的最大值G（t）及最小值H（t），求最大值G（t）及最小值H（t）的表达式。在这里就不详解了。

评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值

例2 求函数f（x）=x2-2x+3在x∈[k，k+2]上的最值。

解：f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2

∴此函数图像开口向上，对称轴x=1

①当k>1时，k距对称轴x=1最近，k+2距x=1最远，

∴当x=k时，ymin=-k2+3，x=k+2时，ymax=k2+2k+3

②当0

∴当x=1时，ymin=2，x=k+2时，ymax=k2+2k+3

③当-1

∴当x=1时，ymin=2，x=k时，ymax=k2-2k+3

④当k≤-1时，k+2距对称轴x=1最近，k距x=1最远，

∴当x=k+2时，ymin=k2+2k+3；x=k时，ymax=k2-2k+3

评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。

最后，我们在用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一是分类不重不漏；二是一次分类只能按已确定的同一标准进行。