认清本质 灵活运用 突破难点

张晓东



认清本质 灵活运用 突破难点

张晓东

整式乘法和因式分解是在整式这部分内容中最重要的两个知识，要正确地运用相关知识进行整式乘法和因式分解，除了要理解定义内涵之外，还要认清整式乘法和因式分解的本质.下面就和同学们就这部分中的符号问题、项数问题、正确区分两者之间关系及灵活运用四方面的难点进行剖析，希望对大家的学习有所帮助.

一、正确处理符号

例1计算：（-x-3y）（x-3y）.

【分析】要正确计算本题的关键是要处理好符号，把它变形成为完全符合平方差公式的形式.观察发现第一个括号内两项都是负的，所以可以考虑提出负号，变形成为-（x+3y）（x-3y），这样对应到平方差公式中“a”就是x，“b”就是3y；从另外一个角度看，两个括号内3y项的符号相同、x项符号相反，所以可以考虑交换两项位置让其满足平方差公式.

【点评】解答此类题目的关键是满足公式的形式，符号上必须满足和乘差才能运用平方差公式.当然，如果没有看出可以变形后运用公式，那就老老实实用整式乘法中多乘多的方法，一项一项相乘也是可以得到结果的.

例2计算：（-x-3y）2.

【分析】这个整式乘法明显符合完全平方公式，在计算中关键是符号的处理.我们可以把它看成为-x与3y差的平方，亦可以利用（-a）2=a2这一恒等式，把式子转化为（x+ 3y）2去计算.

【点评】此类问题要求我们除注意公式的结构特点外，还要注意灵活处理式子中的符号.

例3因式分解：-x2+16y2.

【分析】多项式有两项，而且两项是平方形式，形式看起来不符合公式的特点，但两项符号是一正一负，所以只要调整两项位置或提取负号，就可以用平方差公式进行因式分解了.

【点评】平方差公式用来分解两项的多项式，但多项式必须满足两项可以写成平方形式，且两项符号要相反.只有通过相应的调整及提取符号，将形式变为和公式完全一致，分解起来才得心应手.

二、正确寻找“a”与“b”

例4计算：（x+3y-4）（x-3y+4）.

【分析】本题是两个三项式相乘，和公式不太匹配（公式中只有两项），观察发现两个括号中第一项符号完全相同，可以看成公式中的“a”，二、三项符号相反，我们可以把后两项添括号后看成公式中的“b”，这样就符合了平方差结构特点.

【点评】两个公式中的“a”与“b”可以是单项式，也可以是多项式，在碰到三项乘三项时，我们要注意观察符号的特点（一同两反或一反两同），通过添括号把三项转化成两项，进而用公式进行计算.

例5计算：（x+y-1）2.

【分析】若将其中两项看成一项，即符合完全平方结构，即数学中的“整体思想”的体现.

【点评】此题还可以把后面两项添括号得［x+（y-1）］2，再把x和（y-1）看成为公式中的“a”与“b”，两种不同处理方法的本质是一样的，都是要把三项变为两项.有些同学错误地把这类计算直接算成为x2+y2-1，这是把本题和积的乘方性质混淆了.

三、灵活运用整式乘法和因式分解

例6计算：（x-y）2-（x+y）2.

【分析】本题可以用完全平方公式将前后两部分展开，再进行整式加减运算.也可以把整个式子看成为x-y与x+y平方差形式，运用平方差公式写成乘积形式后进行合并，再去括号.

解：方法一：

【点评】在动笔做题前，大家首先要看清题目要求是计算，也就是最后结果中是没有括号的.很多没有看清楚的同学往往以为是因式分解问题.当然，方法一是本题的常规的做法，方法二是灵活的做法.

例7计算：512-51.1×50.9.

【分析】观察发现，将51.1和50.9分别写成51+0.1、51-0.1，就能产生平方差公式的结构.

【点评】灵活运用整式乘法和因式分解是这部分的难点，本题的突破口在于要观察到51.1和50.9的平均数正好是前面的底数51.如果用死算的方法做这道题，不仅计算量大，而且容易出错.

四、处理好几个代数式的关系

例8已知a+b=10且ab=4，求a2+b2.

【分析】此题求解的是与a2+b2有关的结论，已知条件为a+b=10，很自然会想到完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2.

【点评】解决好此类问题的关键是要处理好“四兄弟”：a+b、a2+b2、ab及a-b之间的关系，常用的变形公式有：

（作者单位：江苏省太仓市沙溪实验中学）