《中心对称图形
——平行四边形》测试卷参考答案



《中心对称图形
——平行四边形》测试卷参考答案

19.四边形AEDF为菱形.

证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形.又∵AD平分∠BAC，∴∠1= ∠2，∵DE∥AC，∴∠2=∠EDA，∴∠1=∠EDA，∴AE=ED，∴平行四边形AEDF为菱形.

20.（1）证明：∵在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，又∵CE=CG，∴△BCG≌△DCE（SAS）.

（2）由（1）得：BG=DE，∵由旋转得：△DAE′≌△DCE，∴DE′=DE，AE′=CE，∴DE′= BG，AE′=CG，又∵正方形ABCD中，AB=CD，∴BE′=DG，∴四边形E′BGD是平行四边形.

21.∵在矩形ABCD中，∠ABC=90°，又∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB=∠MFB=90°，四边形EBFM为矩形.又∵BM平分∠ABC，ME⊥AB，MF⊥BC，∴ME=MF，∴矩形EBFM为正方形.

22.（1）证明：∵在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ABP=90°，又∵BF=BP，∴△BCF≌△BAP（SAS），∴CF=AP.∠BFC=∠BPA.又由旋转得：∠EPA=90°，PA=PE，∴PE=CF.∵∠BFC+∠BCF=90°，∴∠BPA+∠BCF=90°，∴∠BPA+∠EPA+∠BCF=180°，∴PE∥CF.∴四边形PCFE为平行四边形.

（2）四边形PCEF是平行四边形.

证明：同（1）得：△BCF≌△BAP，∴∠BCF=∠BAP，AP=CF.由旋转得：AP=PE，∠EPA=90°，∴PE=CF.∴∠BPE+∠BPA=90°，∵在△ABP中，∠ABP=90°，∴∠BAP+ ∠BPA=90°，∠BPE=∠BAP，∴∠BPE=∠BCF，∴PE∥CF，∴四边形PCFE为平行四边形.

23.（1）证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）.∴∠BAC=∠DAC，又AB=AD，AF=AF，∴△ABF≌△ADF，∴∠BFA=∠DFA，∵∠CFE=∠BFA，∴∠AFD=∠CFE；

（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴DC=DA，∴AB=AD=DC=CB，∴四边形ABCD是菱形.

（3）当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD.证明：∵菱形ABCD中，∠BCA=∠DCA，又BC=DC，CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∠CBF+∠BCD=90°，∠EFD+ ∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BCD.

24.（1）证明:①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形.

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形.

②设菱形的边长AF=CF=x cm，则BF=（18-x）cm，

1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.C

在Rt△ABF中，62+（18-x）2=x2，

解得x=10，∴AF=10 cm.

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形.

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒10 cm，点Q的速度为每秒6 cm，运动时间为t秒，

∴PC=10t，QA=24-6t，

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上.

分三种情况:

ⅰ）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，x=24-y，即y=24-x，

ⅱ）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，24-y=x，即y=24-x，

ⅲ）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，24-x=y，即y=24-x.

综上所述，x与y满足的函数关系式是y=24-x.

图1

图2

图3