浅析太阳影子定位的数学模型

刘潇（山东科技大学，山东青岛 266590）

浅析太阳影子定位的数学模型

刘潇
（山东科技大学，山东青岛 266590）

目前，相机的应用非常普遍，从图像或视频中估算经纬度是目前计算机视觉领域的研究热点问题之一。本文通过对问题的层层深入分析，引入太阳方位角、时角的概念，建立了物体与影子长度及太阳高度角之间的三角函数关系，而太阳高度角与纬度，太阳赤纬角和时角有关，所以确定了影子长度关于各个参数变化的数学模型，并分析了影子长度关于各个参数的变化规律。通过对某地直杆影子的顶点坐标进行分析，建立了数学模型来确定直杆所处的地理位置。

影子定位 数学模型 matlab软件 抛物线拟合

1 概述

如何确定视频的拍摄地点是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点的一种方法。本文主要主要解决了两个问题：

（1）本文通过引入各种与影子长度有关的参数，建立了一天中影子长度关于各个参数变化的数学模型，并分析了影子长度关于各个参数的变化规律。

（2）在太阳下竖立一根直杆，用相机录下直杆的影子变化，通过分析影子的变化规律来确定直杆所在的地点。

本文中所用到的数学符号列表如表1。

2 建立影子长度变化规律的数学模型

表1

在探讨影子长度与各因素之间的关系时，忽略阳光在大气中的折射而引起的角度变化。由于光在同种均匀物质中延直线传播，所以当光遇到不透明的物体时，就会在物体后面形成影子。物体形成影子的示意图如图1。

由三角形关系有：

H为太阳高度角，对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角。由于地球的自转，造成太阳东升西落，太阳高度角在一日内不断发生变化。太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬（与太阳直射点纬度相等）以δ表示，观测地地理纬度用φ表示（太阳赤纬与地理纬度都是北纬为正，南纬为负），地方时（时角）以 Ω表示，有太阳高度角的计算公式：

式中，N表示积日，即日期在一年内的顺序号；INT表示取整，即最终结果只保留整数部分即可，根据（3）、（4）、（5）、（6）式即可求得太阳赤纬。经过以上分析，影子长度关于各个参数变化的数学模型为：

由以上数学模型可知影响影子长度变化的参数为物体的高度L、物体所处的纬度 φ、太阳赤纬 δ以及物体所处地方的时角 Ω。对以上各参数分别求偏导得：

由以上对于各个参数的偏导函数，运用matlab对各偏导进行分析，我们可以得出影子长度关于各个参数的变化规律如下：

（1）当物体所处地点，日期以及所处地方的地方时都确定的条件下，物体的高度越高，在太阳照射下产生的影子越长。

（2）对于一个确定的物体，其高度是定值，当它所处的日期，以及所处地方的地方时都确定的条件下，它所处地方的纬度距离当时太阳直射点的距离越远时，物体在太阳下形成的影子越长。

（3）对于一个高度确定的物体，当它所处的纬度以及地方时确定时，当太阳赤纬最小时即太阳赤纬为-23°26＇，南回归线以南地区的地区影子长度达到最小，北回归线以北地区影子长度达到最大；随着太阳赤纬角的增大，南回归线以南地区影子长度增长，北回归线以北地区影子长度缩短。

（4）对于一个确定高度的物体，当它所处的纬度以及太阳赤纬确定时，即纬度与日期确定时，物体在一天中不同时刻形成影子的长度关于地方时的正午十二点呈对称关系，在早上天将亮和傍晚天将黑时影子最长，从早上随着时间的推移，影子不断变短，并且缩短速度越来越慢，在正午十二点时影子长度最短，由中午到傍晚，影子长度又不断拉长，拉长速度越来越快。

3 由影子顶点坐标变化求直杆所在地点

设固定直杆所在地点的经纬度为（φ，λ），以直杆底端为原点，水平地面 xoy为平面，直杆影长端点坐标记为 （x， y），记录在一段时间内影子端点的多个坐标 （x1， y1）， （x2，y2）...（xn，yn），则影子长为

影子长是随着时间变化的，利用在一段时间内不同时刻记录的影子长度，对影子长度与时间进行抛物线拟合，得到影子长度与时间的函数关系如下：

接下来引入太阳方位角［1］的概念确定固定直杆所在地的纬度，太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地子午线的夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。方位角以目标物正北方向为零，顺时针方向逐渐变大，其取值范围是0°～360°。因此太阳方位角一般是以目标物的正北方向为起始方向，以太阳光的入射方向为终止方向，按顺时针方向所测量的角度［2］。设太阳方位角为A则有

TT为真太阳时，TC为北京时间，CL为经度修正，如果地方子午圈在北京子午圈的东边，则为正，反之为负，QE 为时差。

综上，我们可以得到固定直杆所在地点经纬度的数学模型为：

4 结语

在太阳下竖立一根直杆，用相机拍摄下直杆影子变化的视频。Matlab软件工具箱中自带的函数可以方便读取AVI 文件的相关属性和数据，利用这些属性和数据可以提取出视频文件中的任何一帧。然后针对每一幅图像，采用二值化处理图像求出分割阈值，进而求出最优阈值，进而求出影子的长度，利用所建立的数学模型对影子的顶点坐标进行处理，即可确定出直杆所处的地理位置。

［1］王国安.太阳高度角和日出日落时刻太阳方位角一年变化范围的计算.气象与环境科学，第30卷增刊:第163页，2007年9月.

［2］汪和平.太阳方位角的公式求解及其应用.中国数学，2008年第9 版.高中版.

刘潇（1994—），女，本科在读，研究方向：机械设计制造及其自动化，就职于山东科技大学。