转动物体的动能和“溜溜球”的机械能守恒

王岱川

(电子科技大学实验中学　四川 成都　611730)



转动物体的动能和“溜溜球”的机械能守恒

王岱川

(电子科技大学实验中学四川 成都611730)

借助转动物体的力学知识，对溜溜球的运动过程进行了分析和解释，证明其满足机械能守恒，且与圆盘沿斜坡滚动的过程具有相似性．

溜溜球转动惯量转动定律机械能守恒斜坡滚动

1　溜溜球的结构和运动

“溜溜球”是一种非常受中小学学生喜爱的玩具，有几十种玩法，比如：遛狗、睡眠、前抛、逃脱、摇篮、爬行者、升降机、卫星回收等等，这些丰富多彩的玩法中包含了中学所学的许多物理知识．常见的溜溜球有两种类型，第一种类型比较简单，其结构如图1所示[1]，图2是溜溜球的剖面图.图1的左右两侧是两个对称的圆盘，半径为R，圆盘通过转轴固定连接，转轴半径r≪R，两个圆盘和固定连接的转轴构成了溜溜球的主体A，转轴上缠绕细绳C，细绳的一端固定在转轴上．

图1　溜溜球的结构　　　图2　下行时的受力分析

下面分析最基本的“下行上爬”运动[2]．游戏者将细绳的另一端套在手指上，从高处释放溜溜球，溜溜球在重力和细绳拉力作用下匀加速下行，受力分析如图2所示(忽略空气阻力和摩擦力)．由于细绳的约束，下行运动与细绳展开的速度相同，同时溜溜球沿轴心匀加速转动．当细绳全部伸展时，溜溜球的转动速度和下行速度达到最大，并突然“转向”，开始上爬，当爬到最高点时，又重新开始下行，但转动方向相反．之后溜溜球会自动下行上爬，由于阻力和摩擦力的阻碍，运动一段时间后逐渐停下来，如果每次“转向”时，轻往上提，补充损失的能量，则可反复“下行上爬”．

第二种溜溜球在图1的转轴上套上空轴B，转轴与空轴B之间通过轴承光滑连接，细绳空套在B上而不固定连接，但在缠绕时须一层一层用力缠紧．这种溜溜球阻力较小，转动速度更快，在下行结束时，并不立即上升，而是在底部持续转动，这种玩法称为“睡眠”．当手指轻轻上抖，触发溜溜球迅速上爬，称为“唤醒”．如果下落时用力往下甩，转动速度和持续运动的时间会明显增加，如果在“睡眠”时接触地面，溜溜球将沿地面滚动，游戏者收放细绳，则可完成“遛狗”“爬行”等玩法．

下面首先讨论转动物体的动能，然后带着上述问题分析溜溜球的运动，最后，与斜坡上圆盘的滚动过程对比．

2　均匀圆环和均匀圆盘的转动动能

(1)

由于圆环质量

m=2πrδρdr

(2)

图3　均匀圆环的动能

均匀圆盘可看作无数圆环构成，圆环宽度为dr，所有圆环具有同样的转动速度ω，设圆盘半径为R，圆盘质量为m=πR2δρ，则其动能为式(1)在[0，R]区间的积分，即

(3)

3　溜溜球的运动过程分析和机械能守恒

下面分析第一种结构的溜溜球的运动过程，设图2中溜溜球圆盘的半径为R，转轴的半径为r，总的质量为m．下行过程中溜溜球的质心加速度为aC，转动的角加速度为αr，细绳长度为h，由静止开始释放，线速度为v，角速度为ω，由于转轴和两个圆盘固定连接，角速度相同，可按式(3)计算溜溜球的转动惯量I和转动动能．由图2有

maC=mg-F

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

此时，溜溜球的动能包含向下的平动动能和转动动能，代入式(7)和式(8)得到

溜溜球为什么能自动上爬呢？细绳完全展开后，向下运动的惯性拉伸细绳，平动动能转化为细绳的弹性势能，至最大形变后平动速度降为零，细绳的弹性恢复使溜溜球向上加速，对理想的弹性体，细绳的弹性势能完全转化为向上的平动动能，转化结束的瞬时速度大小与细绳完全展开瞬间相同．但由于细绳不是理想的弹性体，转向后动能会有损失，这个转化过程在短时间内完成，游戏者的手指能感觉到短暂的抖动．另一方面，细绳完全展开后由于转动惯性，溜溜球继续沿原有方向转动，并将细绳反向缠绕在转轴上，实现快速“转向”，开始“上爬”运动．转化后的动能促使溜溜球“上爬”，由于转化过程中的动能损失和阻尼作用，爬升的高度不能达到初始位置．上升到最高点后重复下行过程，此时细绳在转轴上的缠绕方向改变，转动的方向与上一次下行的转动方向相反，游戏者可观察到最高点时，溜溜球转动逐渐停止，朝相反方向转动的现象．这样，溜溜球重复“下行-转向-上爬”的过程．若每次转向的时候，手指上提溜溜球，补充损失的动能，则可保持在相近的高度上下运行，完成持续的“下行上爬”的玩法．

“睡眠”和“唤醒”则体现了平动和转动的相互转化．在第二代溜溜球结构中，空轴B的质量和动能远低于A，B在下行过程中受缠紧的细绳的约束，但细绳末端是空套在B上的，而A通过轴承与B连接．达到底部后，平动动能也转化为转动动能，B在细绳末端的套结中转动，A在B中转动，轴承均匀光滑，A的转动速度高于B，转动中的摩擦阻力小于B，当B停止转动后A还能持续转动较长时间，溜溜球处于“睡眠”状态．在“睡眠”中，手指向上轻轻抖动，产生向上的初速度，溜溜球将迅速向上回收，这个“唤醒”过程触发了转动动能向平动动能的转化．而溜溜球的前抛、遛狗、爬行、猴子上树等玩法中，有更多平动和转动相互转化的现象．

4　斜坡滚动圆盘与溜溜球运动的相似性

从角度为θ的斜坡顶点由静止开始释放均匀圆盘，圆盘沿斜面向下滚动，圆盘半径为r，质量为m，斜坡高度为h，如图4所示．圆盘在滚动的过程中受重力G，斜面支持力N和摩擦力f，滚动速度为ω，圆盘质心的线速度为vC，质心的加速度为aC，圆盘角加速度为ar，则同样有ω=vCr，由于转动方向的切向速度与质心速度相反，所以aC=-rar．

图4　圆盘沿斜坡滚动示意图及受力分析

重力沿y轴的分量与支持力平衡，沿x轴有

f-mgsinθ=maC

(9)

由转动定律

(10)

(11)

其中负号表示加速度方向沿x轴负方向．比较式(10)、(11)和式(5)、(6)，当θ=90°时，在数值上相等(忽略x轴方向设定)．

可见，圆盘的斜坡滚动与溜溜球的下行运动非常相似，溜溜球在水平方向不受力，而斜坡运动在垂直与斜面方向平衡，导致转动的力矩分别为细绳拉力和斜坡摩擦力，而受力分析、运动过程和运动参数则雷同．斜坡长度

运动到斜坡底部的时间

速度

代入式(11)化简后得到总动能为

可见斜坡滚动圆盘的机械能也守恒．

5　结论

溜溜球的运动过程中包含了平动和转动，体现了平动动能、转动动能和重力势能的相互转化．论文讨论了溜溜球的结构和常见运动，从平动物体的动能导出了均匀圆环和圆盘的转动动能，借助转动运动学中的转动惯量和转动定律，证明了溜溜球的运动过程中机械能守恒．对斜坡滚动圆盘的分析表明，溜溜球的下行运动与之相似，再次体现了两种动能和重力势能的转化，以及转化过程中的机械能守恒．

1郑俊，肖发新. 溜溜球的力学原理. 物理教师，2005(2)：45

2杨全民.溜溜球的力学原理及运动过程分析.连云港师范高等专科学校学报，2001(2)：72～74

3漆安慎，杜婵英. 普通物理学教程：力学(第三版).北京：高等教育出版社，2012. 170

2016-03-30)