值得关注的安徽中考数学卷“第14题现象”

☉安徽省蚌埠市新城实验学校高厚良

值得关注的安徽中考数学卷“第14题现象”

☉安徽省蚌埠市新城实验学校高厚良

安徽省中考数学试卷同时具有“初中毕业学业水平考试”和“高中招生考试”的功能，为体现试卷的区分选拔功能，安徽卷采用多点压轴的形式.而作为填空题最后一题的第14题，由于其独特的考查形式（多选题型填空题）、新颖的立意、可信度高、客观性强的特点，被称为安徽中考试卷的“第14题现象”，往往倍受关注.笔者拟选取近五年安徽中考数学试卷的第14题进行赏析，以期发现某些“共性”，服务于2016年中考.

一、近五年安徽中考卷第14题赏析

例1（2015年）已知实数a、b、c满足：a+b=ab=c，有下列结论：

解析：由a+b=ab=c和c≠0，可知a+b=ab≠0，根据等式性质两边同除以ab，可得，故①正确.

对于④，可分三种情况讨论：a=b≠c、b=c≠a、a=c≠b，分别把每一种情况代入题干等式中确定出a、b、c的值，看是否与每一种情况一致，最终可确定a=2，b=2，c= 4，a+b+c=8，故④正确.

赏析：本题作为填空题的压轴题，是安徽卷的特色题，题目以学生熟悉的连等式为背景，综合考查分式的运算、等式的性质、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、解二元一次方程组等核心知识点，同时考查学生代数恒等变形的能力和分类讨论思想、转化思想、方程思想等.四个结论的设置从四个思维角度展开，彼此之间又有着一定的关联，有效考查了学生的分析转化能力和深入探究能力，对学生的思维能力要求较高.

例2（2014年）如图1，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

图1

解析：由点F是AD的中点，AD=2AB，得CD=DF.所以∠DFC=∠DCF.因AD∥BC，则∠DFC=∠BCF.所以，故①正确.

如图2，过F点作FG∥AE，则∠FGE=90°.又因点F是AD的中点，所以EG=CG，EF=CF，故②正确.

因为AB∥FG∥CD，且EF=CF，所以∠AEF=∠EFG=∠GFC=∠FCD=∠CFD，则∠DFE＝3∠AEF，所以④正确.

图2

赏析：本题作为一道填空题的压轴题，以学生熟悉的平行四边形为背景，通过“不定点E”的位置的变化探索相关的数量关系，需要综合运用平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定、平行线分线段成比例、直角三角形的相关性质等核心知识灵活解决问题，有效考查了学生对核心知识的理解及学生分析问题、解决问题的能力，综合性较强，有效承载了其应有的选拔和区分功能.但不可否认的是此题在表述上稍欠严谨或有待改进，题目表明“如图”，又强调垂足E在线段AB上，这样就给学生造成了少许的误导，点E可以与点A、点B重合，于是就有少数学生认为点E与点B重合时，B、E、C三点在一条直线上，构成不了三角形，故选项④也错误，类似的问题还出现在2015年中考数学卷的第12题.

例3（2013年）如图3，已知矩形纸片ABCD中，AB= 1，BC=2.将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是矩形边界上的点），折叠后点A落在点A′处，给出以下判断：

其中正确的是________.（把所有正确结论的序号填在横线上）

图3

图4

图5

解析：如图4，由四边形A′CDF为正方形，得A′F是矩形ABCD的中位线.所以AF=BA′=1.即点E与点B重合，EF即为正方形A′BAF的对角线.，故①正确.

如图5，当四边形BA′CD是等腰梯形时，只能是BA′= CD，EF与BD重合，所以，故④正确.

赏析：本题是近年来填空压轴题中区分度最小、难度最大的一道试题，不仅考查了正方形、矩形、轴对称、勾股定理等核心知识内容，又考查了学生动手操作探究、在开放的条件下分析问题、解决问题的能力.解决问题的突破口在于学生能否理解当折痕EF=时，折痕EF与矩形的对角线BD重合这一事实，难点是对A′C∥BD的理解与证明.另外从呈现形式上，四个选项两两独立，同时又以互逆的命题形式出现，命题专家独具匠心，使得试题的呈现漂亮、优美.

例4（2012年）如图6，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PDA、△PAB、△PBC、△PCD，设它们的面积分别为S1、S2、S3、S4，给出如下结论：

①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上.其中正确结论的序号是__________.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

图6

图7

解析：如图7，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，根据三角形面积公式结合矩形性质可得S1+S3=，同理可得，所以S2+S4=S1+S3，故②正确.

当点P在两条对角线的交点时，S1+S2=S3+S4，但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立，故①错误.

若S3=2S1，只能得出△APD与△PBC的高度之比，S4不一定等于2S2，故③错误.

若S1=S2，则，所以.由于四边形AEPF是矩形，所以矩形AEPF与矩形ABCD相似，则，所以P点在矩形的对角线上，故④正确.

赏析：本题主要考查三角形与矩形的面积计算及它们之间的转化关系、等式和不等式的性质等，此题看似简单，很多学生能认可事实，但却不知如何说理，作为多选题出现，既考查学生的直觉思维能力和合情推理能力，又避免了作为解答题带来的烦琐和复杂性，可见命题专家的良苦用心.另外，通过本题的解答还可得出矩形的两个“优美”性质.

性质1：设P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PDA、△PAB、△PBC、△PCD，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4.若S1=S2或S3=S4，则点P在对角线AC上；若S1=S4或S2=S3，则点P在对角线BD上，反之亦成立.

性质2：设P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，则PA2+PC2=PB2+PD2.

例5（2011年）定义运算a⊗b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2⊗（-2）=6；②a⊗b=b⊗a；③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab；④若a⊗b=0，则a=0.其中正确结论的序号是_______.（填上你认为所有正确结论的序号）

解析：因为2⊗（-2）=2×［1-（-2）］=2×3=6，故①正确.

由于a⊗b=a（1-b）=a-ab，b⊗a=b（1-a）=b-ab，所以②错误.

（a⊗a）+（b⊗b）=a（1-a）+b（1-b）=a-a2+b-b2.又a+b= 0，所以原式＝-（a2+b2）=-（a+b）2+2ab=2ab，故③正确.

因为a⊗b=a（1-b）=0，所以a=0不一定正确，故④错误.

赏析：本题是“新定义型”试题，是近五年来中考填空压轴题最为简单的一题，但其考查的知识点却非常丰富，不仅考查了实数运算、整式运算和配方法等内容，还渗透了数学的“整体思想”和“分类思想”，对开阔学生眼界、提高学生思维起到了一定的作用.

二、对2016年中考数学复习的启示

安徽中考数学卷多年坚守的多选题型填空题，虽在效度上有所欠缺，但考查容量大，解题思路广，数学思想丰富，甄别、选拔功能强，具有其他题型不具有的一些特点，预计2016年中考此类题型会继续存在，并延续一些相对稳定的现象特征.

1.强化数学核心概念、主干知识的复习

历年中考第14题，考查内容虽然侧重点有所不同，但以数学核心概念、主干知识为载体考查学生的数学素养及探究能力却是主旋律.如2015年中考卷第14题，初中阶段的方程（组）不管次数和元的个数，它们都是现阶段的核心概念，学生能顺利解决此题，熟练掌握方程（组）的解法“功不可没”，其他年份的第14题也是如此.由此可见，在中考复习中，要将核心概念、主干知识置于教学最重要的位置上，如在几何与图形内容上，重点引导学生复习直角三角形、等腰三角形、全等（相似）三角形、平行四边形及特殊四边形等基本图形的性质与判定，理解图形的平移、旋转和轴对称等重要概念并总结证明的思路、方法与技巧等.

2.重视数学活动经验的积累和数学思想方法的渗透

为回应《数学课程标准》“四基”要求，安徽中考卷第14题对数学基本活动经验和数学思想方法给予了高度的关注，如2013年安徽卷第14题除了考查部分核心知识，还对学生实际动手操作的活动经验进行了考查，对学生的思维能力要求较高，仅仅通过简单“题海战术”是无法完成此题的.再比如2015年安徽卷第14题，转化思想、分类讨论思想、方程思想、模型思想在本题中均有出现，这些都是初中阶段的核心数学思想.因此，在复习中，教师不要以解决问题作为教学的终结点，而应将数学思想方法的参透和数学活动经验的积累贯穿于全过程，使学生在学习基本知识的同时掌握数学思想方法，并通过不断的积累运用，内化为自己的知识经验.

3.引导学生关注合情推理与演绎推理的结合

从近五年安徽中考卷第14题分析不难发现，一般都是给出四个结论，其中有真命题、也有假命题，通常其中有两个结论学生通过直觉就能给出判断，而另两个结论相对要难一些，对考查学生的直觉思维能力、合情推理能力和演绎推理能力都起到了重要作用.如2012年安徽卷第14题选项①、③很容易通过画图找出反例，选项②通过演绎推理可快速得出，而对于选项④，用演绎推理很难得出正确结果，更多学生是通过画图，找不出反例，用直观感觉来判断.其实在分秒必争的考场，并不是所有问题的解答过程都需要书面呈现，有时只需在头脑中呈现，凭合理地“想”，也能取得不错的效果.所以在平时教学及复习时，要引导学生巧妙运用“图形反例”，结合合情推理快速、简洁地识别真（假）命题.

1.廖纯连.2015年安徽省中考数学试题总体评价及备课建议［J］.中学数学教学，2015（5）.

2.倪兴隆，夏敬花.从安徽中考卷窥探多选题型在数学能力测试中的作用［J］.上海教育评估研究，2014（2）.

3.高厚良.对2014年安徽中考数学卷第14题参考答案的质疑［J］.中学数学（下），2014（10）.

4.张宁.由一道中考题得出矩形的两个优美性质［J］.中小学数学（初中版），2014（1-2）.Z