租赁设备的最优预防性维修策略研究

杨爱峰,　范世庆,　胡小建

(合肥工业大学 管理学院,安徽 合肥　230009)



租赁设备的最优预防性维修策略研究

杨爱峰,范世庆,胡小建

(合肥工业大学 管理学院,安徽 合肥230009)

科学合理租赁设备预防性维修策略对租赁商来说可以降低设备维修成本和延长设备生命周期,对承租企业来说可以拥有工作状态良好的设备。文章假设对租赁设备进行不定期的预防性维修且每次进行相同的维修强度,租赁商以利润最大化为目标,联合优化预防性维修的阀值、维修强度和维修次数,据此通过算例分析故障率和租期分别对维修次数、预防性维修较单纯故障维修的节约成本及节约成本占单纯故障维修成本比重的影响。

设备;租赁;预防性维修;故障维修

随着科学技术和生产力水平的快速发展,生产设备更新换代的速度大大加快,其购置价格也随之大幅上涨,同时更新和维修现有生产设备成本占整个企业生产成本的很大一部分,并且在更新和维修的过程中势必会对生产效率及服务能力带来一定的消极影响。因此,许多大型制造型企业开始由购买生产设备转向租赁生产设备,以减少昂贵的购买成本和维修费用等开支。在租赁模式下设备的所有权始终归租赁商所有,承租企业只需与租赁商签订设备的租赁合同,并支付一定的租金便可获得一定时期内设备的使用权,而设备在租赁期内发生的一系列维修服务成本则由租赁商承担。为了保证设备在租赁期内正常运转,降低设备故障维修成本,租赁商需制定包括租赁次数和维修强度等在内的租赁设备维修方案。

生产设备维修方案按照维修目的不同可分为故障维修(correctivemaintenance,CM)和预防性维修(preventivemaintenance,PM)[1]。其中,故障维修是指当设备发生故障后才进行维修,使设备恢复到其故障前的工作状态,不改变设备的故障率和使用寿命,它是一种传统的维修方式，且是出现不可预知紧急状况后的唯一处理手段,因此故障维修一般都会使企业承担高昂的维修费用;预防性维修是指根据设备运行时间、设备故障维修数据和零部件磨损规律等制订科学的预防性维修策略,在设备发生故障前就采取各种预防性维修策略来保证生产设备能够处于正常工作状态。有效的预防性维修可以降低设备故障率,延长设备使用寿命,以及有效降低企业的维修成本。因此,有效地运用这2种维修方式成为租赁企业亟待解决的重要问题。

国内外众多学者对租赁设备维修进行了深入地研究,文献[2]通过考虑租赁设备残值和预防性维修来确定租期和维修策略,其中租期是租赁商获取租赁生产设备利润的决定性因素,租期越长利润就越高,所以该模型重点揭示租期与利润的关系。文献[3]通过计算预防性维修的故障率阀值来确定最佳维修策略,该模型重点研究阀值在预防性维修中的作用,用阀值来决定是否进行预防性维修,进而决策预防性维修策略。文献[4]认为通过预防性维修的保修策略可以延长保修期,该模型的主要特点是定期进行预防性维修,这种维修策略对于租赁商来说可以降低维修成本,但是对于承租企业来说却降低了其生产效率,因为在设备生命周期的后期,其故障率上升的速率较快,这时故障次数必然较多,此时仍定期维修显然不符合设备的实际运行状态。文献[5]通过模型阐明预防性维修与故障维修相结合的维修策略可以降低租赁商的维修成本,但是该模型的计算过程较为复杂,这是因为该模型需要决策每次预防性维修的强度,这样就需要决策n次维修强度才能得到最终的维修策略。文献[6]给出了一个周期性预防性维修策略以降低维修成本,虽然该模型与文献[3]中的模型相类似,但是其决策的维修周期较短,克服了文献[4]提出方案的弊端,不过由于维修周期缩短必然会增加维修次数,从而提高了维修成本。文献[7]提出在产品生产和检查过程中,利用预防性维修和重加工可以有效地降低产品的次品率,提高承租企业的生产效率,该模型扩展了预防性维修的适用范围,不仅适用在租赁设备,而且对整个生产过程同样适用。文献[8]通过建立数学模型说明利用预防性维修来降低租赁品的故障率可以降低租赁商的维修成本,该模型主要考虑故障维修成本、惩罚成本与预防性维修成本之间的平衡来决策维修策略。文献[9] 建立了时变需求下带有多种原材料订购及预防性维修中断的制造系统在有限计划期内的经济生产批量模型,利用动态规划方法求得各原材料的最优订购策略,采取(tj,Q)策略给出了寻求最优生产批量、最优维修中断次数及最优生产周期数的简单算法。文献[10]主要从经济效益的角度对模型的解进行优化,在设备的生命周期、维修时间分布和参数已知的情况下,运用Newton迭代法来确定设备的最佳预防性维修时间分布及其可靠性,该模型对现有模型是否达到最优提供了一种验证的方法。

考虑到有效实施预防性维修和故障维修计划不仅可以减少租赁商的维修成本,同时也为承租企业提供了高效、稳定的生产设备,使租赁双方达到双赢的局面,更加符合现代生产方式。因此,本文在前人研究的基础上,深入研究在租期给定的情况下,租赁商按照固定的维修强度x进行不定期预防性维修,突出需要进行预防性维修阀值的作用,决策最优的预防性维修强度x及最优的预防性维修次数n以实现在租期内利润最大化目标。

1　模型参数及假设

1.1模型参数

根据一般租赁设备故障维修的实际,结合有关文献的研究成果,本文定义模型参数如下:L为设备的租期;P为设备单位时间的租赁价格;V为租赁商购买设备的成本;R(t)为设备故障率的分布函数;r(t)为设备故障率的密度函数,∫r(t)dt=R(t);Ti为每次进行预防性维修的时间点,i=1,2,…,n;θ为需要进行预防性维修的阀值(决策变量);x为每次预防性维修使得故障率下降的程度,即维修强度(决策变量);Cm为故障维修的单位成本;Cp(x)为预防性维修的单位成本,Cp(x)=a+bx,其中a,b为成本系数;m为在租期L内设备发生故障的总次数;n为在租期L内预防性维修的总次数(决策变量);TP为租赁商的总利润。

1.2基本假设

(1) 本文假设设备故障维修时间及预防性维修时间均远远小于设备的平均故障间隔时间及租赁期限,因此本文忽略故障维修时间及预防性维修时间。

(2) 在租期L内,当且仅当设备故障率达到阀值θ时才需要进行一次预防性维修,每次预防性维修之后,故障率较预防性维修前下降相同的程度x,x≤θ;而设备发生故障进行故障维修修复后,故障率与故障维修前相同。

(3) 本文假设设备故障率随时间变化而增加且增速越来越快,即r(t)为关于时间t的严格单调递增和下凸函数,因此其反函数r-1也是严格单调递增的。

(4) 本文假设引入预防性维修后,租赁商的总维修成本比没有引入预防性维修时降低,即mCm+nCp(x)

2　数学模型的建立及求解

2.1数学模型的建立

在没有预防性维修的情况下,租赁设备的故障率函数在其生命周期内在设备的磨损、老化等因素的影响下随着时间的推移而升高,设备故障率用密度函数r(t)刻画,其中r′(t)>0且r″(t)>0;而引入预防性维修之后,每当故障率达到一固定阀值θ时,将进行一次预防性维修,故障率的密度函数r(t)随之下降一个固定的强度x,具体如图1所示。阀值θ、维修强度x和维修次数n 3个决策变量构成一个完整的预防性维修方案。

图1　进行预防性维修设备故障率变化情况

因此,在租期L内的总的故障次数为

(1)

又因为r(ti)=θ+(i-1)x,i=1,2,…,n,所以有:

(2)

由(1)式和 (2)式可得故障维修总成本为:

(3)

则进行n次预防性维修的总成本为:

nCp=n(a+bx)

(4)

因为租赁商的总利润是租期L内设备租赁收入减去购买成本、设备故障维修成本和预防性维修成本,所以根据(3)式和(4)式可得:

(5)

2.2数学模型的求解

在给定租期L情况下优化租赁商的利润函数TP(θ,x,n)实质为本文所要求解得到的租赁设备最优预防性维修策略。首先假定预防性维修强度x和预防性次数n不变,决策进行预防性维修的阀值θ。

定理1给定L,n≥0,x≥0,则θ*=x。

证明在(5)式中对θ求一阶偏导可得：

根据假设3,r-1是严格单调递增函数,因此有∂r-1(θ+(i-1)x)/∂θ>0,故∂TP(θ,x,n)/∂θ<0,又因θ≥x,所以θ*=x。

定理1的结果表明进行预防性维修的阀值θ等于预防性维修的强度x,此时进行预防性维修设备故障率变化情况如图2所示,(5)式将变为:

(6)

图2　当θ=x时进行预防性维修设备故障率变化情况

定理2给定L,n≥0,则x*=min{x，r(L)/n},其中x′为下列方程的根，该方程为：

证明对(6)式求关于x的一阶偏导可得：

考虑到文献[2-6,8]中故障率均采用Weibull分布,其密度函数r(t)=αβ(αt)β-1(α>0,β>1),显然r(t)是关于时间的严格单调递增和下凸函数,将r(t)=αβ(αt)β-1代入(6)式可得:

(7)

对(7)式求关于x的二阶偏导可得:

下面求解最优的预防性维修次数n,因为n是正整数,无法运用一阶导数条件优化。本文采用搜索算法寻找最优的n*,算法如下:

(1) n=1,max=0。

(2) 计算TP(θ*,x*,n),若TP(θ*,x*,n)>max,则令n*=n,max=TP(θ*,x*,n)。

(3) n=n+1,如果n≤365L返回步骤(2),否则算法结束,输出n*,max。

3　算　　例

设故障率函数服从Weibull分布,即r(t)=αβ(αt)β-1,其中α>0,β>1。另外,为比较预防性维修策略与单纯故障维修策略,用ΔC表示预防性维修的节约成本,即ΔC=CmR(L)-(mCm+nCp),η表示维修节约成本占单纯故障维修成本的比重,即η=[ΔC/CmR(L)]×100%。在α=1,a=20,b=5,Cm=100时,具体计算结果见表1所列。

表1　计算结果

由表1可知,当β相同时,随着租期L的增加,其预防性维修的次数n增加,并且可节约更多的维修成本ΔC,节约成本占原维修成本的比值η越大,这与实际相符,因为租期越长,需要进行预防性维修的次数就越多,预防性维修相对于故障维修的优越性越能体现出来。在租期L内,随着β的增加,其预防性维修的次数n增加,可节约更多的维修成本ΔC,节约成本占原维修成本的比值η变化没有规律,这也与实际相符,因为β是反映故障率的参数,β越大,需要进行预防性维修的次数就越多,预防性维修相对于故障维修的优越性越能体现出来,致使ΔC增加,同时故障维修的成本也增加,导致η变化没有规律。

4　结　　论

本文假设进行不定期的预防性维修,但每次进行相同的维修强度,该模型主要适用于大型耐用生产设备的租赁。预防性维修策略对租赁商来说可以降低维修成本,延长设备的生命周期,对承租企业来说可以拥有工作状态良好的设备,因此租赁设备的预防性维修是租赁商和承租企业的双赢策略。租赁设备定价、生命周期以及回收后的再制造成本都与预防性维修策略相关,将租赁设备的预防性维修与定价等相结合将是今后的研究方向。另外,也可以研究多周期租赁设备的预防性维修问题。

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(责任编辑万伦来)

Studyofoptimalpreventivemaintenancestrategyofleasingequipments

YANGAifeng,FANShiqing,HUXiaojian

(SchoolofManagement,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009，China)

Thescientificandrationalpreventivemaintenancestrategyofleasingequipmentscanreducemaintenancecostandextendlifecycleofequipmentsfortheleasor,andcanalsoprovidetheleaseewithwell-conditionedequipments.Inthispaper,itisassumedthatthepreventivemaintenanceisirregular,buthassamemaintenancestrength.Thethreshold,strengthandfrequencyofthepreventivemaintenancearejointlyoptimizedtomaximizetheprofitoftheleasor.Finally,thenumericalexamplesareconductedtoanalyzetheimpactoffailurerateandtenancyonthefrequencyofthepreventivemaintenance,thesavingcostandtheratioofthesavingcosttothepurecorrectivemaintenance.

equipment;leasing;preventivemaintenance;correctivemaintenance

2015-03-30

国家自然科学基金青年基金资助项目(71301038)

杨爱峰(1976-),女,河南濮阳人,博士,合肥工业大学副教授,硕士生导师;

胡小建(1965-),男,安徽安庆人,博士,合肥工业大学教授,博士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.025

F253

A

1003-5060(2016)08-1133-05