借助三角形中角的关系巧解题

◇　陕西　任艳宁



借助三角形中角的关系巧解题

◇陕西任艳宁

在解三角形问题中除了常用的正弦定理、余弦定理及三角形面积公式以外,若能准确把握各角之间的关系,往往能快速找到问题的突破口．下面就这些关系的应用举例说明．

1　利用三角形内角和定理

(2) 求tanC的值.

2　利用三角形外角定理

图1

(1) sin∠BAD;

(2)BD,AC的长.

所以

sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-

(2) 在△ABD中,由正弦定理得

在△ABC中,由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=

所以AC=7.

欲继续求解,需要借助sin2∠BAD+cos2∠BAD=1,计算较为烦琐,致使解题半途而废．因此解题中要注意转化的方向,尽可能地用已知来表示未知．

3　利用两角互补关系

图2

即

在△ADC中,由正弦定理得

即

又sin∠BDA=sin∠ADC,BD=CD,所以∠DAC=90°, ∠BAC=120°.

在△ABC中,由余弦定理

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,

得

4　利用2角互余关系

(1) 求B的值;

(2) 若点E、P分别在边AB、BC上,且AE=4,AP⊥CE,求AP的长.

图3

所以在Rt△ACP中,

陕西省渭南市大荔县城郊中学)