《垂直于弦的直径》教学设计

陈超江

【关键词】《垂直于弦的直径》

教学设计 初中数学 圆的对称性

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）08A-0063-03

一、教学重难点及关键点

（一）教学重点：探究垂径定理及其推论，并运用这些结论解决一些与圆有关的证明和计算问题。

（二）教学难点：分清垂径定理及其推论的条件和结论。

（三）教学关键点：圆的轴对称性。

二、教学目标

（一）知识与技能：理解圆的轴对称性，掌握圆是轴对称图形的证明方法；掌握垂径定理及其推论，并学会运用这些结论解决与圆有关的证明和计算题。

（二）过程与方法：主要采用设疑激趣、讲授、直观演示、引导发现的教法。学生历经“实验、观察、猜想、证明”的探索过程、体会探索问题的一般方法和由一般化为特殊的化归数学思想方法，从而对知识的发生、发展和形成的过程认识得更加深刻。

（三）情感态度与价值观：学生感受探索数学问题的乐趣，获得解决数学问题的成就感；体会数学图形的对称美，知识的内在美、形式美、和谐美，从而激发对数学的热爱。

三、教学过程设计

（一）复习旧知

如图1，复习作出已知点关于直线对称的方法和步骤。

设计意图：电子白板和几何画板相结合，让学生回顾并派代表回答作出已知点关于直线对称的方法和步骤（教师通过电子白板链接几何画板动态演示），为证明圆的轴对称性做好知识铺垫。

（二）直观体会圆的轴对称性

如图2所示，让学生拿出手中的圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次。

设计意图：通过学生自主探究活动，让学生经历探索圆的轴对称性的过程，能直观体验并理解圆是轴对称图形，增强学生之间互相学习，学会分享的情感，并提高学生自身的动手操作能力。最后，教师通过电子白板和几何画板相结合，动态演示改变直径，将圆沿着直径所在的直线折叠，增强学生对该知识点的理解。

（三）探究并证明圆的轴对称性

如图3，在⊙O中，CD为⊙O的任意一条直径。怎样证明⊙O是轴对称图形呢？

设计意图：通过电子白板和几何画板相结合，利用图形的动态演示，教师拖动点在圆上滑动，学生观察并发现点关于直径的对称点也都在圆上，让学生体会把证明圆的轴对称性转化为证明圆上任意一点的轴对称性问题中蕴含的由一般化为特殊的数学思想方法。

（四）探究垂径定理

理解了圆的轴对称性后，利用如图4所示的图形引导学生探究垂径定理。

如图4（1）和图4（2），利用电子白板和几何画板相结合，通过动态演示将这个图形沿着直径CD折叠，在折叠的过程中，学生观察、猜想并发现了相等的线段和相等的弧。就这样，自然而然地引出了垂径定理。为了让学生进一步学习垂径定理，分清定理的条件和结论，笔者组织学生学习垂径定理的内容和几何语言，从几何语言的表述中，学生能较直观地找出并分清垂径定理的条件和结论。

教师让学生观察并找出相等的线段和相等的弧。

设计意图：结合圆的轴对称性，学生在图形的动态演示过程中，通过观察、猜想并发现了垂径定理。教师为学生创造了探究问题情境和实践活动，让他们亲身历经探究结论的过程，能理解并分清垂径定理的条件和结论，掌握垂径定理的几何语言。

（五）探究垂径定理的推论

学习了垂径定理后，引导学生通过交换垂径定理的条件和部分结论，进行探究垂径定理的推论，提出这样的猜想：如果一条直径平分弦，那么这条直径会不会垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧呢？

师生活动：问题提出后，让学生思考，学生回答：“不一定。”教师把握时机，按条件画出图形（如图5（1），5（2）所示），让学生观察、思考，得出垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

设计意图：通过命题中条件和结论的交换，引导学生提出垂径定理推论的猜想，形成新旧知识的碰撞，让学生在数学问题的情境中生成思维的火花。根据条件，用图形的直观分析，降低学习的难度，让学生在不同条件下的两个图形得到不同结论的鲜明对比中得出垂径定理的推论，并真正理解推论中的条件“平分弦（不是直径）的直径”。

（六）定理辨析：判断下列图形，哪些能够使用垂径定理，为什么？

设计意图：通过上述具有相同或不同特点的图形让学生判断哪些能够使用垂径定理，学生能够正确找出这些图形，教师进而引导学生总结这类图形的共同点，即得出垂径定理的条件：（1）过圆心；（2）垂直于弦。进而加深了学生对垂径定理条件的理解。

（七）课堂练习

如图6，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm。求⊙O的半径。

设计意图：学生刚刚学了垂径定理的内容，本道练习题能让学生初步掌握定理的简单应用。教师还可以利用本道习题引导学生总结使用垂径定理解决与圆有关问题的解题思路：①构造直角三角形，把与圆有关的问题转化到直角三角形中；②使用垂径定理和勾股定理求解。另外，这个解题思路可以为例2中利用垂径定理解决实际问题做好铺垫。

（八）例题讲解

例 赵州桥（图7所示）的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求出赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）。

设计意图：解题思路如图7（1）-7（4），本例题与“课堂练习”不同，它是垂径定理进一步的应用，它首先让学生学会将实物图转化为平面图形来研究。通过学习本例题，提高学生将所学知识联系实际问题并利用所学知识解决实际问题的能力。

（九）能力提升

原题：如图8，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD。

设计意图：在学习垂径定理之前，证明线段相等常用的方法就是证明三角形全等。然而，本题让学生在新旧知识中产生了“思考的火花”，让他们学会选择简便方法证明线段相等。这是垂径定理在证明线段相等方面的重要应用，能进一步提高学生灵活应用垂径定理解决问题的能力。

变式1：如图8（1），将原题中的大圆隐去，连接OA、OB，设OA=OB，求证：AC=BD.

变式2：如图8（2），将原题中的小圆隐去，连接OC、OD，设OC=OD，求证：AC=BD.

设计意图：变式1和变式2虽然对原题进行了条件改变，证明的结论不变，但是解决问题的方法和思路与原题仍然是相同的。这两道变式题有利于培养学生观察、分析、对比问题进而寻找问题共同实质的能力。

（十）课堂小结

教师和学生一起回顾本节课所学的主要内容以及在学习过程中运用的数学思想方法，并让学生互相之间充分交流和分享学习心得。

设计意图：课堂小结能够让学生对本节课学习的内容有一个比较完整的知识结构框架，也有利于培养学生善于及时总结知识的良好学习习惯。

（十一）布置作业

教科书第83页练习第2题，第90页第10题、11题。

设计意图：让学生及时巩固垂径定理的应用。

（十二）板书设计

24.1.2 垂直于弦的直径

1.圆的对称性。

2.（1）垂径定理；（2）垂径定理的推论。

3.垂径定理及其推论的概括：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（推论中的弦不是直径）；④平分弦所对的两条弧。

4.利用垂径定理解题的思路。

（1）构造直角三角形；

（2）利用垂径定理和勾股定理求解。

设计意图：板书设计能让学生便于记忆本节课所学的主要内容，并形成知识结构框架。

[此教学实录荣获2014年第十届全国民族中学“民教杯”信息技术与教学融合技能竞赛一等奖]

（责编 林 剑）